（课件） 第6章 §6 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积-【提分教练】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

第六章　立体几何 §6　简单几何体的再认识 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 1 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 2 必备知识·情境导学探新知 01 知识点1 知识点2 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 3 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 4 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 5 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 6 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 7 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 8 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 9 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 10 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 11 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 12 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 13 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 14 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 15 关键能力·合作探究释疑难 02 类型1 类型2 类型3 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 16 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 17 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 18 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 19 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 20 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 21 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 22 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 23 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 24 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 25 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 26 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 27 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 28 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 29 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 30 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 31 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 32 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 33 学习效果·课堂评估夯基础 03 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 34 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 35 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 36 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 37 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 38 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 39 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 40 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 41 点击右图进入… 课 时 分 层 作 业 6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积 必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 课时分层作业 1 2 4 学习效果·课堂评估夯基础 3 42 谢谢观看 THANK YOU! 43 1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图. (难点) 2．掌握柱、锥、台的侧面积的求法．(重点) 1．通过对柱、锥、台的侧面展开，培养学生直观想象素养． 2．通过利用柱、锥、台的侧面积计算公式，培养学生数学运算素养． 小明在自家花园为他家小狗搭了个外形为三棱锥的小帐篷，帐篷的底面边长为2 eq \r(3)，侧棱长为4 eq \r(3)，如图所示． 问题：你能计算出小明搭的帐篷的侧面积吗？ 知识点1　圆柱、圆锥、圆台的侧面积 旋转体 侧面展开图 侧面积公式 圆柱 S圆柱侧＝_____ r—底面半径， l—母线的长 2πrl 旋转体 侧面展开图 侧面积公式 圆锥 S圆锥侧＝_____ r—底面半径， l—母线的长 πrl 圆台 S圆台侧＝_________ r1，r2—圆台上、下 底面半径 l—母线的长 π(r1＋r2)l 1．比较圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，它们之间有什么联系？ 提示： eq \x(S圆柱侧) eq \o(――→,\s\up17(r1＝r2)) eq \x(S圆台侧) eq \o(――→,\s\up17(r1＝0)) eq \x(S圆锥侧) 1．底面半径为3，母线为5的圆锥的侧面积为(　　) A．12π B．15π C．24π D．36π B　[圆锥的底面半径r＝3，母线l＝5， ∴S圆锥侧＝πrl＝15π.] 知识点2　直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 多面体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝___ c—底面周长，h—高 ch 多面体 侧面展开图 侧面积公式 正棱锥 S正棱锥侧＝ eq \f(1,2)ch′ c—底面周长， h′—棱锥侧面的高 多面体 侧面展开图 侧面积公式 正棱台 S正棱台侧＝ eq \f(1,2)(c1＋c2)h′ c1，c2—上、下底面周长 h′—棱台侧面的高 2．如何求一个斜棱柱的侧面积？ 提示：求出各侧面的面积，各侧面的面积之和就是斜棱柱的侧面积． 2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)斜三棱柱的侧面积也可以用cl来求解，其中l为侧棱长，c为底面周长． (　　) (2)多面体的表面积等于各个面的面积之和． (　　) (3)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS. (　　) [提示]　(1)错误．若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长l不相等时，不能用公式cl来求解． (2)正确． (3)错误．圆柱的侧面积是4πS. [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 类型1　旋转体的侧面积 【例1】　设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°，且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积． [解]　如图所示，作出轴截面A1ABB1，设上、下底面半径、母线长分别为r、R、l，作A1D⊥AB于D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°. ∵∠BA1A＝90°， ∴∠BA1D＝60°， ∴AD＝A1D·tan 30°＝3× eq \f(\r(3),3)＝ eq \r(3)＝R－r， BD＝A1D·tan 60°＝3× eq \r(3)＝3 eq \r(3)＝R＋r. ∴R＝2 eq \r(3)，r＝ eq \r(3)， l＝A1A＝ eq \f(A1D,sin 60°)＝ eq \f(3,\f(\r(3),2))＝2 eq \r(3). ∴圆台的侧面积S侧＝π(r＋R)l＝π(2 eq \r(3)＋ eq \r(3))×2 eq \r(3)＝18π.即圆台的侧面积是18π. 计算旋转体的侧面积的方法 (1)旋转体侧面积的计算一般通过轴截面寻找其中的数量关系． (2)解决台体的问题通常要还台为锥，求面积时要注意侧面展开图的应用，上、下底面圆的周长是展开图的弧长． [跟进训练] 1．圆锥的中截面(过高的中点且平行于底面)把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为(　　) A．1∶1　 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 C　[如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心．因为O1为PO2的中点， 所以 eq \f(PO1,PO2)＝ eq \f(PA,PB)＝ eq \f(O1A,O2B)＝ eq \f(1,2)， 所以PA＝AB，O2B＝2O1A. 又因为S圆锥侧＝π·O1A·PA，S圆台侧 ＝π·(O1A＋O2B)·AB， 则 eq \f(S圆锥侧,S圆台侧)＝ eq \f(O1A·PA,（O1A＋O2B）·AB)＝ eq \f(1,3).] 类型2　多面体的侧面积 【例2】　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积． [解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9， ∴a2＋52＝152，b2＋52＝92， ∴a2＝200，b2＝56. ∵该直四棱柱的底面是菱形， ∴AB2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,2))) eq \s\up25(2)＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BD,2))) eq \s\up25(2)＝ eq \f(a2＋b2,4)＝ eq \f(200＋56,4)＝64， ∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160. [跟进训练] 2．如图所示，已知六棱锥P­ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm.求六棱锥P－ABCDEF的侧面积． [解]　S侧面＝6S△PCD＝6× eq \f(1,2)×2× eq \r(PC2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))\s\up25(2))＝6 eq \r(32－12)＝12 eq \r(2) cm2. 类型3　组合体的侧(表)面积 【例3】　已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积． 该梯形旋转一周形成什么几何体？该旋转体的表面积由几部分组成？ [解]　如图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥． 在直角梯形ABCD中， AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝ eq \r(3)a， DC＝ eq \f(2a－a,cos 60°)＝2a. 又DD′＝DC＝2a. ∴S表＝S圆环＋S圆柱侧＋S圆C＋S圆锥侧 ＝[π·(2a)2－πa2]＋2π·2a· eq \r(3)a＋π·(2a)2＋π·a·2a＝(9＋4 eq \r(3))πa2. [母题探究] 把例3中的梯形换为如图所示的△ABC，其中AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积． [解]　过C点作CD⊥AB于点D．如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，这两个圆锥的高的和为AB＝5，底面半径DC＝ eq \f(AC·BC,AB)＝ eq \f(12,5)， 故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝ eq \f(84,5)π. 求解组合体表面积的解题思路 (1)求解组合体的表面积问题首先要弄清楚它是由哪些简单几何体组成的，将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体后，先求这些几何体的表面积，再通过求和或作差，得到所求组合体的表面积． (2)若遇到与旋转体有关的问题，应根据条件确定各个旋转体的底面半径和母线长，再代入公式求解． [跟进训练] 3．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2 eq \r(2)，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所成几何体的表面积． [解]　四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周形成一个被挖去圆锥的圆台，如图． 由题中条件知CD＝2 eq \r(2)，AD＝2， CE＝ED＝2，AB＝5，∴AE＝4，BC＝5. ∴S表＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4 eq \r(2)π＋35π＋25π＝60π＋4 eq \r(2)π. 1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为(　　) A．22 B．20 C．10 D．11 A　[所求长方体的表面积S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22.] 2．若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　) A．1∶2 B．1∶ eq \r(3) C．1∶ eq \r(5) D． eq \r(3)∶2 C　[设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝ eq \r(5)r.∴S侧＝πrl＝ eq \r(5)πr2，S底＝πr2，S底∶S侧＝1∶ eq \r(5).] 3．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的侧面积是(　　) A． eq \f(3＋\r(3),4)a2 B． eq \f(3,4)a2 C． eq \f(3＋\r(3),2)a2 D． eq \f(6＋\r(3),4)a2 B　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于 eq \f(\r(2),2)a， ∴该三棱锥的侧面积是3× eq \f(1,2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a)) eq \s\up25(2)＝ eq \f(3,4)a2.] 4．若圆台的高是12，母线长为13，两底面半径之比为8∶3，则该圆台的侧面积为________． 143π　[设圆台上底面与下底面的半径分别为r，R，由勾股定理可得R－r＝ eq \r(132－122)＝5.∵r∶R＝3∶8，∴r＝3，R＝8.S侧＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π.] 5．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 eq \r(2)，体对角线长为 eq \r(6)，则这个棱柱的侧面积是________． 8　[易知底面正方形的边长为1，棱柱的高为2，所以这个棱柱的侧面积是4×2＝8.] 回顾本节内容，自我完成以下问题： 1．求解多面体的表面积时应注意什么问题？ [提示]　多面体的表面积为围成多面体的各个面的面积之和，求解时不要漏掉部分面的面积． 2．求解旋转体的表面积时应注意什么问题？ [提示]　有关旋转体的表面积的计算要充分利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借助相似的相关知识求解． $$