6.1.1-6.1.2 构成空间几何体的基本元素 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦基本立体图形，系统梳理构成空间几何体的基本元素（点、线、面），通过实物观察归纳棱柱、棱锥、棱台的结构特征，进而延伸至空间几何体的平面展开图，构建从基础元素到具体几何体再到应用展开的学习支架。 资料以问题引导结合实物观察培养直观想象，通过定义辨析与例题解析提升逻辑推理，如棱台判定中强调侧棱延长线交于一点。课中助力教师引导学生探究，课后对点练习与任务再现帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§1　基本立体图形 1.1　构成空间几何体的基本元素 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 学习目标 1.了解构成空间几何体的基本元素.　2.通过对实物模型的观察，归纳认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征，培养直观想象的核心素养.　3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征解决简单多面体的有关计算，提升数学运算的核心素养. 任务一　构成空间几何体的基本元素 问题1.教室是长方体，金字塔是棱锥，观察这些空间几何体是由哪些基本几何元素构成的？ 提示：空间几何体的基本几何元素是点、线、面等. 问题2.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，你是怎样理解平面的？ 提示：平面是无限延展的，无大小的等. 1.空间几何体的基本几何元素是点、线(直线和曲线)、面(平面和曲面)等. 2.平面 (1)平面是空间最基本的图形.平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象，平面是无限延展的. (2)平面的画法与表示法 画法 一般地，用平行四边形表示平面 当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45°，横边长画成邻边长的两倍 当两个平面相交时，把被遮挡部分画成虚线或不画 图示 表示法 图示(左)的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD [微提醒]　平面是无限延展的，无大小，无厚薄. 下列说法正确的是　　　　. ①平面是无限延展的； ②一个平面长3 cm，宽4 cm； ③两个平面重叠在一起，比一个平面厚； ④通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内. 答案：①④ 解析：①正确，平面是无限延展的；②不正确，平面没有大小；③不正确，平面没有厚薄；④正确，平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内. 1.平面是从现实物体中抽象出来的，无法度量、无限延展. 2.平面图形是指平面上的三角形、正方形等几何图形，它们有长度、面积的大小，可以度量. 对点练1.已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于1 m2.其中正确结论的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：A 解析：在立体几何中，平面是无限延展的，所以①、③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面，但并不是说平面就是平行四边形，故②错误.故选A. 学生用书⬇第147页 任务二　棱柱的结构特征 问题3.观察下列几何体：它们各有什么特点？哪些几何体有共同点，可以归为一类？ 提示：①②③中的物体由若干个平面多边形围成，可以归为一类，为多面体，而④⑤⑥⑦中的物体是曲面或平面与曲面围成的，可以归为一类，但不是多面体. 问题4.观察下列多面体，这些多面体各有什么特点？根据这些多面体的不同点和共同点能否再进一步分类？ 提示：这些多面体被称为棱柱.结构特征是有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行.可以按照底面的边数进行分类. 1.多面体 由平面多边形围成的几何体称为多面体.这些多边形称为多面体的面，两个相邻的面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体的顶点. 2.棱柱 棱柱 图形及表示 定义：每个多面体都有两个面是边数相同的多边形，且它们所在平面平行；其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行.像这样的几何体称为棱柱 图中棱柱表示为棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1或棱柱AC1 相关概念：底面(底)：两个互相平行的面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻侧面的公共边； 顶点：侧面与底面的公共顶点； 对角线：既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线； 高：过上底面上一点O1作下底面的垂线，这点和垂足O间的距离OO1称为点O1到下底面的距离，也是两底面间的距离 棱柱的性质：(1)侧棱都相等； (2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形； (3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形 棱柱的分类：(1)侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱，其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱. 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… (2)底面是平行四边形的棱柱称为平行六面体.侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体是长方体；棱长都相等的长方体是正方体 [微提醒]　(1)棱柱的底面多边形平行且全等，棱柱的侧面均为平行四边形.(2)既不在同一底面上也不在同一侧面上的对角线称为体对角线，而在同一侧面或底面上的对角线称为面对角线. 学生用书⬇第148页 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点. (1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？ (2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？用符号表示该棱柱；如果不是，请说明理由. 解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义. (2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M-CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1-DCND1. 棱柱结构的辨析方法 扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是其结构特征是否符合棱柱的定义. 1.看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面是否是平行四边形. 2.看“线”，即观察相邻两个四边形的公共边是否平行. 对点练2.(1)下列说法正确的是(　　) A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B.棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D.棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形 (2)(多选题)下列说法正确的是(　　) A.直四棱柱是长方体 B.正方体是平行六面体 C.长方体是平行六面体 D.平行六面体是四棱柱 答案：(1)C　(2)BCD 解析：(1)对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，故A错误；对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，故B错误；对于C，由棱柱的定义知，故C正确；对于D，棱柱的侧面一定是平行四边形，它的底面可能是平行四边形，比如长方体，故D错误.故选C. (2)对于A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故A错误；对于B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；对于C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；对于D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确.故选BCD. 任务三　棱锥、棱台的结构特征 问题5.类比棱柱结构特征的研究过程研究下列几何体的结构特征，请结合图形说一说. 提示：这些多面体被称为棱锥，结构特征是由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形. 问题6.如果我们用平行于底面的平面分别去截问题5中的前两个几何体，分析所得两平行平面间的几何体与棱锥有何区别与联系？ 提示：(1)区别：这两个几何体都有两个面相互平行而棱锥没有.(2)联系：这两个几何体都可由棱锥截得. 1.棱锥的结构特征 棱锥 图形及表示 定义：由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体称为棱锥 图中棱锥表示为棱锥S-ABCDEF或棱锥S-AC 相关概念：底面(底)：多边形ABCDEF； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 顶点：各个侧面的公共点； 高：顶点到底面的距离； 斜高：棱锥侧面三角形底边上的高 学生用书⬇第149页 分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥也叫作四面体. (2)底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，那么这个棱锥称为正棱锥 棱锥的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似 2.棱台的结构特征 棱台 图形及表示 定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分称为棱台 图中棱台表示为棱台ABC-A1B1C1 相关概念：上底面：截面； 下底面：原棱锥的底面； 侧面：其余各面； 侧棱：相邻两个侧面的公共边； 高：上底面、下底面之间的距离； 斜高：棱台侧面梯形的高 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台，分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… 由正棱锥截得的棱台称为正棱台 [微思考]　怎样判断一个多面体是棱台？ 提示：一是利用棱台的定义；二是有两个面互相平行，其余相邻两个面的交线的延长线是否交于一点. (1)(多选题)下列说法中，正确的是(　　) A.棱锥的各个侧面都是三角形 B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥 C.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 D.棱锥的各侧棱长相等 (2)有下列四种叙述，其中正确的是(　　) A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 答案：(1)AC　(2)D 解析：(1)对于A，由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；对于B，有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故B错误；对于C，四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体，因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故C正确；对于D，棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故D错误.故选AC. (2)A中的平面不一定平行于底面，故A错误；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误；由棱台的定义知，D正确.故选D. 判断棱锥、棱台的方法 1.举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法. 2.直接法 棱锥 棱台 定底面 只有一个面与其他面均有公共边，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 对点练3.(1)(多选题)下列命题中正确的是(　　) A.棱台的侧面可以是平行四边形 B.三棱锥又称四面体，则在四面体ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形有4个 C.棱台的两个底面相似 D.棱锥的侧面和底面可以都是三角形 (2)在三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A-A'B'C'，则剩余部分是(　　) A.三棱锥 B.三棱台 C.四棱锥 D.组合体 答案：(1)BCD　(2)C 解析：(1)棱台的侧面一定是梯形，故A错误；棱台的底面是相似多边形，故C正确；三棱锥的侧面和底面都是三角形，并且每个三角形都可以作为底面，故B、D正确.故选BCD. (2)三棱台ABC-A'B'C'中，截去三棱锥A-A'B'C'后得到的是四棱锥A-BCC'B'，故选C. 任务四　空间几何体的平面展开图 (1)如图是一个正方体纸盒的平面展开图，则以下图形中，可能是展开前的正方体的是(　　) (2)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2AA1＝2，N为A1C1的中点，M为线段AA1上的点.则＋的最小值为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)对于A，直线和长方形在直观图中一定没有交点，故A错误；对于B和D，由展开图得到的直线和黑色三角形没有交点，而直观图有交点，故B、D错误；由题意知，C选项符合题意.故选C. (2)将侧面ABB1A1沿A1A展开，使得侧面ABB1A1与侧面ACC1A1在同一平面内，如图，连接BN交AA1于M，则＋，＝＝＝.所以＋. 学生用书⬇第150页 空间几何体的展开图问题的解题策略 1.若给出多面体画其展开图，常常给多面体标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出侧面；若是已知表面展开图，则按上述过程逆推. 2.若求几何体表面上两点间的最小距离应将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.将所求曲线问题转化为平面上的线段问题求解. 对点练4.(1)如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为(　　) A.梦 B.就 C.成 D.想 (2)如图，在侧棱长为2的正三棱锥V-ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值. 答案：C 解析：根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示. 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系.故选C. (2)解：沿着侧棱VA把正三棱锥V-ABC展开在一个平面内，如图所示. 则AA'的长即为截面△AEF周长的最小值，且∠AVA'＝3×40°＝120°.在△VAA'中，AA'＝2×2×＝6，故截面△AEF周长的最小值为6. 任务再现 1.构成空间几何体的基本元素.2.多面体的概念.3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征.4.空间几何体的平面展开图 方法提炼 举反例法、定义法 易错警示 棱台的结构特征认识不清 1.下列多面体中，是棱柱的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：D 解析：根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足.故选D. 2.下列几何体中，顶点个数最少的是(　　) A.四面体 B.四棱锥 C.四棱台 D.长方体 答案：A 解析：四棱锥有5个顶点，长方体和四棱台有8个顶点，四面体有4个顶点.故选A. 3.下列说法中，正确的是(　　) A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B.一个多面体至少有4个面 C.有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D.正四棱锥的侧面都是正三角形 答案：B 解析：对于A，正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面射影落在底面正多边形的中心，故A错误；对于B，多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故B正确；对于C，有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱，还需要满足各个侧面的交线互相平行，故C错误；对于D，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，故D错误.故选B. 4.(多空题)如图是一个几何体的平面展开图. (1)该几何体是　　　　； (2)该几何体中与“祝”字相对的是　　　　，与“你”字相对的是　　　　. 答案：(1)四棱台　(2)前　程 解析：还原几何体如图，棱台的上底面为祝，下底面为前，左侧面为似，右侧面为锦，前面为程，后面为你. 学科网（北京）股份有限公司 $