5.2.1 复数的加法与减法-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦复数的加法与减法运算，先通过对比实数运算引入复数加减法法则及运算律，再结合向量阐释几何意义，最后延伸至复数模的综合应用，构建从基础运算到几何直观再到综合问题的学习支架。 该资料以问题链驱动探究，如通过“复数加减法是否满足交换律”等问题培养数学抽象，结合向量图示强化直观想象，例题采用多解法（如复数模问题的几何法与代数法）提升数学运算能力。课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后通过对点练和任务再现帮助学生巩固知识，查漏补缺。

§2　复数的四则运算 2.1　复数的加法与减法 学习目标 1.掌握复数代数形式的加法与减法运算，提升数学运算的核心素养.　2.理解复数代数形式的加法与减法的运算律，培养数学抽象的核心素养.　3.了解复数代数形式的加法与减法运算的几何意义，培养直观想象的核心素养. 任务一　复数的加法与减法 问题1.任意两个实数的加减法运算结果仍然是实数，那么复数集内可进行复数的加减法运算吗？ 提示：能进行复数的加减法运算，复数的加减运算可以按照向量的加减运算进行. 问题2.对比实数加法的结合律和交换律，复数加法是否满足结合律和交换律呢？ 提示：对于复数z1，z2，z3有结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)；交换律：z1＋z2＝z2＋z1. 复数的加法与减法 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R) 加法 减法 运算 法则 两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和. 也就是：z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i 两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差. 也就是：z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 运算 律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) [微提醒]　(1)两个复数相加(减)，类似于两个多项式相加(减)，实部与实部相加减作为实部，虚部与虚部相加减作为虚部.(2)加法的运算律可以推广到多个复数相加. (链教材P181例1)计算： (1)(3－5i)＋(－4－i)－(3＋4i)； (2)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)； (3)(链教材P181例2)已知z1＝3＋2i，z2＝－2＋i，求＋. 解：(1)＋－＝＋i＝－4－10i. (2)－－3i＝＋[b－－3]i＝－a＋i. (3)依题意，得＝3－2i，＝－2－i，故＋＝3－2i＋(－2－i)＝1－3i. 　　两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算，两个复数相减，也可以看成是加上这个复数的相反数，当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 对点练1.(1)已知i为虚数单位，设复数z1＝2＋i，z2＝1－3i，则z1－z2＝(　　) A.1＋4i B.1－2i C.2＋4i D.2－2i (2)复数z1＝a＋3i，z2＝－4＋bi，a，b为实数，若z1＋z2为实数，z1－z2为纯虚数，则a＋b＝(　　) A.－1 B.1 C.－7 D.7 答案：(1)A　(2)C 解析：(1)由z1＝2＋i，z2＝1－3i，则z1－z2＝2＋i－＝1＋4i.故选A. (2)因为z1＋z2＝a－4＋i为实数，所以3＋b＝0，即b＝－3，又z1－z2＝a＋4＋i为纯虚数，所以即a＝－4且b≠3，综上可知所以a＋b＝－7.故选C. 学生用书⬇第138页 任务二　复数加法与减法的几何意义 问题3.若复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别与向量＝(a，b)，＝(c，d)对应，如何表示＋呢？＋的几何意义是什么？ 提示：由＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 问题4.类比复数加法的几何意义，复数z1，z2的差z1－z2的几何意义是什么？ 提示：向量与复数z1－z2对应. z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线 加法 减法 几何意义 复数的和z1＋z2与 向量＋＝的坐标对应 复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应 [微提醒]　由复数加减运算的几何意义可得出：｜｜z1｜－｜z2｜｜≤｜z1±z2｜≤｜z1｜＋｜z2｜. (链教材P182例4)如图，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，求： (1)所表示的复数，所表示的复数； (2)对角线所表示的复数； (3)对角线所表示的复数及的长度. 解：(1)因为＝－，所以所表示的复数为－3－2i. 因为＝，所以所表示的复数为－3－2i. (2)因为＝－，所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线＝＋＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i， 所以｜｜＝＝. 1.根据复数加、减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差. 2.求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则. 3.在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行. 对点练2.(1)(多选题)已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i，2，则点D对应的复数可以是(　　) A.1－7i B.3＋7i C.－7－3i D.－11＋3i (2)已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i，3＋2i，则向量对应的复数为　　　　. 答案：(1)ABD　(2)1＋3i 解析：(1)分三种情况：①当＝时，zA－zB＝zD－zC，所以zD＝zA－zB＋zC＝－＋2＝1－7i；②当＝时，zA－zB＝zC－zD，所以zD＝zC－zA＋zB＝2－＋＝3＋7i；③当＝时，zC－zA＝zB－zD， 所以zD＝zB－zC＋zA＝－2＋＝－11＋3i，所以点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.故选ABD. (2)因为复平面内的平面向量，表示的复数分别是－2＋i，3＋2i，且＝＋，所以向量＋＝1＋3i. 任务三　复数模的综合问题 (一题多解)设z1，z2∈C，已知｜z1｜＝｜z2｜＝1，｜z1＋z2｜＝，则｜z1－z2｜＝　　　　. 答案： 解析：法一：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量，(图略)，因为｜z1｜＝｜z2｜＝1，｜z1＋z2｜＝，所以，不共线.以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，因为｜z1｜＝｜z2｜＝1，所以平行四边形OZ1ZZ2为菱形.因为｜z1｜2＋｜z2｜2＝｜z1＋z2｜2，所以∠Z1OZ2＝90°，所以平行四边形OZ1ZZ2为正方形，所以｜z1－z2｜＝｜z1＋z2｜＝. 法二：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题意可得所以2ac＋2bd＝0，所以｜z1－z2｜2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2，所以｜z1－z2｜＝. 法三：因为｜z1＋z2｜2＋｜z1－z2｜2＝2(｜z1｜2＋｜z2｜2)＝4，所以｜z1－z2｜2＝2，所以｜z1－z2｜＝. 复数模的几何意义 1.｜z－z0｜表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式. 2.｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆. 3.涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题时，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 学生用书⬇第139页 对点练3.(1)已知△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足｜z－z1｜＝｜z－z2｜＝ ｜z－z3｜，则z对应的点P是△ABC的(　　) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 (2)已知a，b∈R，复数z1＝a＋i，z2＝b(b－a)－i，且z1＋z2＝0，若z＝a＋bi，则的最小值为　　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，所以点P为△ABC的外心.故选A. (2)复数z1＋z2＝a＋i＋b－i＝a2＋b2－2ab＝0，所以a＝b，所以＝＝＝，因为a∈R，所以当a＝1时，＝ . 任务再现 1.复数的加法与减法.2.复数加法与减法的几何意义.3.复数模的综合问题 方法提炼 待定系数法、数形结合思想方法 易错警示 忽略模的几何意义 1.复数－＋3i＋6等于(　　) A.5＋i B.7－i C.6＋i D.6－i 答案：A 解析：依题意得，－＋3i＋6＝＋i＝5＋i.故选A. 2.若复数z＝1－i，则｜－z｜＝(　　) A. B.2i C.2 D.4 答案：C 解析：＝＝＝2.故选C. 3.复数m－在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A.＜m＜1 B.＜m＜1 C.＜m＜ D.m＞1 答案：A 解析：复数m－＝＋i，由此复数在复平面内对应的点在第四象限，有＜m＜1.故选A. 4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是　　　　. 答案：5－2i 解析：由题意知，对应的复数为3＋2i，对应的复数为2－4i，又＝＋，所以对应的复数为(3＋2i)＋(2－4i)＝5－2i，所以点C对应的复数是5－2i. 学科网（北京）股份有限公司 $