第5章 2.1 复数的加法与减法（教用Word）-【金榜题名】2025-2026学年高一数学必修第二册高中同步学案（北师大版）

本讲义聚焦高中数学复数的加法与减法，通过类比多项式加减法引入运算法则，明确实部虚部分别加减的方法及交换律、结合律，再结合向量几何意义，构建“代数运算-几何直观”的学习支架，衔接复数概念与后续四则运算。 资料以问题驱动引导自主梳理，通过“类比多项式运算”“向量几何意义”等环节，结合题型示例（如平行四边形顶点对应复数求解）提升数学运算与直观想象素养。课中助力教师系统授课，课后通过反思感悟与自主检验，帮助学生查漏补缺，深化知识理解。

§2　复数的四则运算 2．1　复数的加法与减法 学习目标 素养要求 1．掌握复数的加法与减法法则，并能熟练应用． 2．理解复数加法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解决问题． 1．通过复数加法与减法法则的熟练应用，提升数学运算的核心素养． 2．通过复数加法几何意义的应用，提升直观想象的核心素养． [自主梳理] 知识点一　复数的加法与减法 [问题1]　 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？ 答：两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i. [问题2]　复数的加法满足交换律和结合律吗？ 答：满足．(1)z1＋z2＝z2＋z1；　 (2) (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3). ►知识填空 1．复数加法与减法的运算法则 对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R). (1)(a＋bi)＋(c＋bi)＝__(a＋c)＋(b＋d)i__； (2)(a＋bi)－(c＋di)＝__(a－c)＋(b－d)i__． 2．复数的加法运算满足的运算律 (1)结合律：(z1＋z2)＋z3＝__z1＋(z2＋z3)__； (2)交换律：z1＋z2＝__z2＋z1__． 知识点二　复数加减法的几何意义 [问题1]　 设向量，分别表示复数z1，z2，那么向量＋表示的复数应该是什么？ 答：＋表示的复数是z1＋z2. [问题2]　设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别为，，那么向量，，＋的坐标分别是什么？ 答：＝(a，b)，＝(c，d)，＋＝(a＋c，b＋d). ►知识填空 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2 ＝c＋di(c，d∈R)， (1)则＋＝__(a＋c，b＋d)__，这说明两个向量，的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的__加法__来进行，这是复数加法的几何意义． (2)设点A满足＝，则－＝，就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量，因此复数的减法可按向量减法进行，这是复数减法的几何意义． [自主检验] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)在进行复数的加法运算时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (3)若复数z1，z2满足z1－z2>0，则z1>z2.(　　) (4)若复数z1，z2对应复数分别为，，则z1＋z2＝＋.(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i　　　　　　　 B．1－i C．i D．－i 解析：选A　原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i. 3．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限． 4．设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3＋2i和2－4i，则点C对应的复数是________． 解析：由题意知，对应的复数为3＋2i，对应的复数为2－4i，又＝＋， 所以对应的复数为(3＋2i)＋(2－4i)＝5－2i， 所以点C对应的复数是5－2i. 答案：5－2i 题型一　复数的加、减法运算 [例1]　计算： (1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)； (3) (1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (4)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]. 解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋＋(1＋i)＝－1＋i＋1＋(1＋i)＝1＋2i. (3)原式＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (4)原式＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. [反思感悟] 复数加、减法运算技巧 根据复数的加减法法则，依次进行，碰到括号，先算括号内的，因为复数加减法运算满足交换律、结合律也可类比合并同类项一次完成． 计算： (1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2) (－3＋2i)－(4－5i)； (3) (5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i). 解：(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i. (2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i ＝－7＋7i. (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋(－6－2－3)i＝－11i. 题型二　复数加减法几何意义的应用 [例2]　(1)在复平面内，平行四边形ABCD(顶点顺序为ABCD)的三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋3i，－i，2＋i，则点D对应的复数为________． (2)已知z1，z2∈C，|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 解析：(1)设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R). 则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i. 又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i. 由已知＝. ∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i. ∴， ∴， 即点D对应的复数为3＋5i. (2)设复数z1，z2，z1＋z2在复平面上对应的点分别为Z1，Z2，Z，由|z1|＝|z2|＝1知，以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是菱形，在△OZ1Z中，由余弦定理，得 cos ∠OZ1Z＝＝－， 所以∠OZ1Z＝120°，所以∠Z1OZ2＝60°， 因此，△OZ1Z2是正三角形， 所以|z1－z2|＝|Z2Z1|＝1. 在复平面内，点A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i.以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长． 解析：如图，由复数加减法的几何意义，＝＋， 即z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)， ∴z4＝z2＋z3－z1＝7＋3i. |AD|＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)| ＝|6＋2i|＝2. 题型三　复数模的综合问题 [例3]　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1　　　　　　　 B． C．2 D． 解析： 选A　设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1.故选A． 答案：A [反思感悟] 复数模的最值问题解法 (1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数的差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 1．△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心． 答案：A 2．已知|z|＝2，则|z＋3 － 4i|的最大值为____________，最小值为________． 答案：7　3 [课堂小结] 1．复数的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算． 2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则． 3．根据z1－z2的几何意义，即z1－z2对应向量为＝，那么|z1－z2|的几何意义是向量的长度即复数z1，z2对应复平面内的两点Z1，Z2之间的距离．如|z－i|＝1的几何意义：复数z对应点Z到点(0，1)的距离为1，即构成以(0，1)为圆心，半径为1的圆． 学科网（北京）股份有限公司 $