第5章 2.2 复数的乘法与除法(概念课—逐点理清式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2.2　复数的乘法与除法(概念课—逐点理清式教学) 1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算． 2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 逐点清(一)　复数的乘法 [多维度理解] 1．复数乘法的定义 对任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，类比多项式乘法，并利用i2＝－1，定义复数的乘法如下：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．乘法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) 乘法对加法的分配律 z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 3.乘方的运算性质 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z(其中m，n∈N＋)． 4．虚数单位i的幂的周期性 i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(其中n∈N)． 5．常用公式 (1)(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； (2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)． 6．共轭复数的性质 互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2. [细微点练明] 1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　 ) A．2－13i B．13＋2i C．13－13i D．－13－2i 解析：选D　(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，故选A. 3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选B　因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)．又此点在第二象限，所以解得a＜－1. 4．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　 ) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 解析：选C　(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0. 5．已知复数z满足|z|＝，且(1－2i)z是实数，则＝________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i.又(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a.又|z|＝，所以a2＋b2＝5，解得或所以当z＝1＋2i时，＝1－2i，当z＝－1－2i时，＝－1＋2i，即＝±(1－2i)． 答案：±(1－2i) 逐点清(二)　复数的除法 [多维度理解] 1．复数的倒数 给定复数z2，若存在复数z，使得z2·z＝1，则称z是z2的倒数，记作z＝. 2．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·，即＝－i. 微点助解 (1)复数的除法与根式的除法类似：根式的除法是分子、分母都乘以分母的“有理化因式”．从而使分母“有理化”；复数的除法是分子、分母都乘以分母的共轭复数，从而使分母“实数化”． (2)复数的除法是作为复数乘法的逆运算来定义的，因此，定义本身提供了求两个复数的商的另外一种方法——待定系数法，即设(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi，则a＋bi＝(c＋di)(x＋yi)，由此依据复数相等的充要条件求出x，y即可． (3)常用公式 ①＝－i；②＝i；③＝－i；④＝(z2≠0)；⑤＝(2≠0)． [细微点练明] 1.＝(　 ) A．1＋2i B．1－2i C．2＋i D．2－i 解析：选D　＝＝＝2－i. 2．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝(　 ) A．3＋5i B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 解析：选A　∵z(2－i)＝11＋7i， ∴z＝＝＝＝3＋5i. 3．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　 ) A．－i B．i C．0 D．1 解析：选A　因为z＝＝＝－，所以＝，所以z－＝－－＝－i，故选A. 4．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　 )