4.1.3 综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦同角三角函数基本关系式的综合应用，前承同角三角函数基本关系式的理解，后接三角函数式的求值、化简与证明，搭建从基础公式到综合应用的学习支架，具体涵盖sinθ±cosθ与sinθcosθ关系求值、sinθ和cosθ齐次式求值、三角恒等式化简证明三大任务。 该资料以核心素养为导向，通过变式探究（如由sinθ+cosθ求sinθ-cosθ、tanθ）和一题多解（如齐次式求值的代入法与弦化切法），培养学生逻辑推理与数学运算能力。方法提炼环节总结“1”的代换、整体代换等思想，课中辅助教师系统授课，课后通过对点练和任务再现帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.3　综合应用 学习目标 1.理解同角三角函数的基本关系式及其变形.　2.会运用弦切互化求值，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、证明，提升逻辑推理的核心素养. 任务一　利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值 (链教材P148例4)已知sin θ＋cos θ＝，求sin θcos θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝， 即sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝， 所以sin θcos θ＝－. [变式探究] 1.(变结论)已知本例条件不变，若0＜θ＜π，求sin θ－cos θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝＞0，sin θcos θ＝－＜0，0＜θ＜π， 所以sin θ＞0，cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝＝＝. 2.(变结论)已知本例条件不变，若0＜θ＜π，求tan θ的值. 解：因为sin θ＋cos θ＝，sin θ－cos θ＝， 解得sin θ＝，cos θ＝， 所以tan θ＝＝－. 　　关于sin θ±cos θ与sin θcos θ的求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.常涉及的三角恒等式有： 1.(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ. 2.(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ. 3.(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2. 4.(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ. 对点练1.(1)已知sin αcos α＝－，α∈，则sin α－cos α＝(　　) A. B.－ C. D.－ (2)(多选题)设α∈，sin α＋cos α＝，则下列等式正确的是(　　) A.sin αcos α＝－ B.sin α－cos α＝ C.tan α＝ D.cos2α－sin2α＝－ 答案：(1)A　(2)BD 解析：(1)因为α∈，所以sin α＞0.又sin αcos α＝－，所以cos α＜0，所以sin α－cos α＞0.又(sin α－cos α)2＝sin2α－2sin αcos α＋cos2α＝1－2×＝，所以sin α－cos α＝.故选A. (2)因为sin α＋cos α＝，所以＝，即sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝，即1＋2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝－，故A错误；又α∈，sin α＞0，所以cos α＜0，则α∈，则tan α＜0 ，所以sin α－cos α＝＝ ＝，故B正确、C错误；cos2α－sin2α＝＝×＝－，故D正确.故选BD. 学生用书⬇第108页 任务二　关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题 (一题多解)(链教材P149例5)已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)； (2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α. 解：(1)法一(代入法)：因为tan α＝2，所以＝2，所以sin α＝2cos α. 所以＝＝－. 法二(弦化切)：因为tan α＝2，所以＝＝＝＝－. (2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α ＝＝ ＝＝＝. 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 1.方法：切化弦后代入；弦化切后代入. 2.模型：(1)对于形如的分式，分子、分母同时除以cos α或cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值. (2)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，先将分母1变形为sin2α＋cos2α，再转化为形如的式子求值. 对点练2.(1)若＝，则tan α＝(　　) A.－5 B.5 C.－ D. (2)已知tan α＝－，则＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)由＝，得＝，所以tan α＝5.故选B. (2)＝＝＝＝－.故选C. 任务三　简单的三角恒等式的化简与证明 (1)化简：＋(1＋tan2α)cos2α. (2)(链教材P149例7)(一题多解)求证：＝. 解：(1)原式＝＋(1＋) cos2α＝＋·cos2α ＝1＋1＝2. (2)证明：法一：左边＝＝＝＝＝右边. 所以等式成立. 法二：右边＝＝ ＝＝ ＝＝左边. 所以等式成立. 三角函数式的化简与证明的技巧 1.化切为弦：即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的. 2.含根号的三角函数式：常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的. 3.高次的三角函数式：往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低幂次数，达到化简的目的. 学生用书⬇第109页 对点练3.(1)已知α是第一象限角，则＝(　　) A.sin α B.－sin α C.cos α D.1 (2)已知＝－，则的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)因为sin2α＋cos2α＝1，所以－＝－＝1.又α是第一象限角，故原式＝＝sin α.故选A. (2)因为·＝＝＝－1，且＝－，所以＝.故选A. 任务再现 1.利用sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的关系求值.2.关于sin θ，cos θ齐次式的求值问题.3.简单的三角恒等式的化简与证明 方法提炼 “1”的代换、配方法、整体代换法、弦切互化、左右归一、方程思想方法、分类讨论思想方法 易错警示 化简求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论 1.化简的结果是(　　) A.cos 160° B.±｜cos 160°｜ C.±cos 160° D.－cos 160° 答案：D 解析：＝＝｜cos 160°｜＝－cos 160°.故选D. 2.化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是(　　) A. B. C.1 D. 答案：C 解析：原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.故选C. 3.已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为＝1－2sin αcos α＝，所以sin αcos α＝.故选B. 4.若tan θ＝－3，则＝　　　　. 答案：－ 解析：因为tan θ＝－3，所以＝＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $