4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦两角和与差的正弦、正切公式及其应用，以两角差的余弦公式为基础，通过类比与诱导公式推导正弦公式，再结合正余弦公式推导出正切公式，构建“公式推导-变形拓展-综合应用”的学习支架，涵盖公式结构、使用条件及典型解题策略。 资料以问题链驱动探究，如通过“用两角差余弦公式推导正弦公式”培养逻辑推理，例题一题多解提升数学运算能力。课中助力教师引导学生自主构建知识，课后通过对点练和易错警示帮助学生查漏补缺，落实数学抽象与转化思想。

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 学习目标 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系，培养数学抽象、逻辑推理的核心素养.　2.掌握两角和与差的正弦、正切公式，并能灵活运用公式进行简单的恒等变换，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　两角和与差的正弦公式 问题1.你能用类比的方法，借助诱导公式，根据两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式吗？ 提示：sin(α＋β)＝cos＝cos［(－α)－β］＝coscos β＋sinsin β＝sin αcos β＋cos αsin β，用－β代替β可以得到：sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β. 两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正弦公式 Sα＋β sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β α，β∈R 两角差的 正弦公式 Sα－β sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β α，β∈R [微提醒]　(1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；②“符号相同”：即两角和时用“＋”，两角差时用“－”. (链教材P155例3)已知cos＝，x∈. (1)求sin x的值； (2)(一题多解)求sin的值. 解：(1)因为cos＝， 所以sin2＝1－cos2＝， 又因为x∈，所以x－∈， 所以sin＞0， 所以sin＝＝， 所以sin x＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. (2)由(1)知，sin x＝，x∈，所以cos x＝－＝－， 法一：sin＝sin xcos＋cos xsin＝(－)×＝. 法二：sin＝cos(－x)＝cos(x－)＝. 解决给角求值问题的策略 1.对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形. 2.一般途径有：将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，变换分子、分母的形式进行约分，解题时要注意逆用或变形应用公式. 对点练1.(1)sin 75°－sin 15°的值为(　　) A. B. C. D.－ (2)sin 35°cos 25°－cos 145°sin 25°＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)sin 75°－sin 15°＝sin(45°＋30°)－sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°－(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝2cos 45°sin 30°＝2××＝.故选B. (2)sin 35°cos 25°－cos 145°sin 25°＝sin 35°cos 25°－cossin 25° ＝sin 35°cos 25°－sin 25°＝sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°＝sin＝sin 60°＝.故选C. 学生用书⬇第113页 任务二　两角和与差的正切公式 问题2.你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公式吗？ 提示：tan(α＋β)＝＝(α＋β≠＋kπ，k∈Z).分子、分母同时除以cos αcos β(当cos αcos β≠0时)，得到两角和的正切公式tan(α＋β)＝，用－β来代替tan(α＋β)中的β即可得到tan(α－β). 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的 正切公式 Tα＋β tan(α＋β) ＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 两角差的 正切公式 Tα－β tan(α－β) ＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) [微提醒]　(1)只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，上述公式才能成立.(2)公式的符号变化简记为：“分子同，分母反”. (链教材P156例4)已知0＜α＜，＜β＜π且tan α＝，tan ＝. (1)求tan β的值； (2)求2α＋β的大小. 解：(1)tan β＝tan＝＝－. (2)tan＝tan＝＝1. 因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜2α＋β＜2π， 所以2α＋β＝π. 1.关于求值问题：利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. 2.关于求角问题：先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 对点练2.(1)已知α，β都是锐角，tan α＝，tan β＝，则α＋β的值为(　　) A. B. C. D. (2)已知α∈，sin α＝，且tan＝，则tan β＝(　　) A. B.－ C.1 D.－1 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)因为tan α＝，tan β＝，所以tan ＝＝＝1.因为α，β都是锐角，所以0＜α＋β＜π，所以α＋β＝.故选B. (2)由α∈，sin α＝可得cos α＝＝，所以tan α＝2.因为tan＝，所以＝＝，解得tan β＝－1.故选D. 任务三　两角和与差的正切公式的变形 (1)＝(　　) A. B.－ C.－ D. (2)tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝(　　) A.tan 19° B.1 C.－tan 19° D.－1 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)依题意，得＝ ＝＝ tan＝tan ＝.故选A. (2)因为tan 45°＝tan＝＝1，所以tan 13°＋tan 32°＋tan 13°tan 32°＝1.故选B. 1.熟记变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β). tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β). tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β). tan αtan β＝1－. tan αtan β＝－1. 学生用书⬇第114页 2.“1”的代换 在中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值的目的，如＝tan. 对点练3.(1)计算tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°的结果为(　　) A.－ B. C.－ D. (2)(多选题)下列各式中值为的是(　　) A. B.tan 255°－tan 15°－tan 75°tan 375° C. D.－ 答案：(1)B　(2)BC 解析：(1)因为tan 60°＝tan(25°＋35°)＝＝，所以tan 25°＋tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)，所以tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝.故选B. (2)对于A，＝tan 45°＝1，故A错误；对于B，tan 255°＝tan＝tan 75°， tan 375°＝tan＝tan 15°，由＝tan 60°＝，则tan 75°－tan 15°＝， 故原式＝tan 75°－tan 15°－tan 75°tan 15°＝－tan 75°tan 15°＝，故B正确；对于C，＝＝tan ＝tan 60°＝，故C正确；对于D，tan 155°＝tan ＝－tan 25°，故原式＝－＝－tan＝－，故D错误.故选BC. 任务四　两角和与差公式的综合应用 (链教材P156例4)在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点.已知点A，B的横坐标分别为，. (1)求tan(α－β)的值； (2)求的值. 解：(1)根据三角函数的定义得cos α＝，cos β＝， 因为α，β为锐角，所以sin α＝，sin β＝， 因此tan α＝2，tan β＝， 所以tan(α－β)＝＝＝. (2)＝· ＝tan[(α－β)＋β]＝tan α＝×2＝. 利用三角函数公式解题时的三看 1.看角：注意已知角和所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧. 2.看名：恰当地利用同角的三角函数关系式进行转换，尽量减少函数的名称. 3.看式子的结构和特征：恰当地找到有相同结构和特征的公式进行变换. 对点练4.已知sin＝，sin＝. (1)求证：tan α＝3tan β； (2)若α，β∈，求tan β. 解：(1)证明：因为sin＝sin αcos β＋cos αsin β＝， sin＝sin αcos β－cos αsin β＝， 联立方程组，可得sin αcos β＝，cos αsin β＝， 所以sin αcos β＝3cos αsin β.所以tan α＝3tan β. (2)因为α，β∈，可得－＜α－β＜， 又因为sin＝，可得tan＝， 因为tan α＝3tan β， 所以tan＝＝＝， 即3tan2β－2tan β＋1＝0， 解得tan β＝. 任务再现 1.两角和与差的正弦公式.2.两角和与差的正切公式.3.两角和与差的正切公式的变形.4.两角和与差公式的综合应用 方法提炼 构造法、“1”的代换、转化与化归思想方法 易错警示 求值或求角时忽视角的范围、公式中加减符号易记错 学生用书⬇第115页 1.式子cos 12°sin 42°－cos 42°sin 12°的值等于(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：cos 12°sin 42°－cos 42°sin 12°＝sin＝sin 30°＝.故选C. 2.的值是(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：＝＝tan ＝tan 120°＝－.故选B. 3.已知sin α＝，α∈(0，)，则sin(α－)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：A 解析：因为sin α＝，α∈(0，)，所以cos α＝＝，则sin(α－)＝sin αcos－cos αsin＝×－×＝.故选A. 4.已知sincos α－cossin α＝，β是第三象限角，则sin＝　　　　. 答案： 解析：因为sincos α－cossin α＝sin ＝sin＝，且β为第三象限角，所以sin β＝－，cos β＝－.所以sin＝sin βcos ＋cos βsin ＝×＋×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $