4.1.1-4.1.2 基本关系式 由一个三角函数值求其他三角函数值-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦同角三角函数的基本关系，以单位圆中三角函数定义为起点，推导出平方关系（sin²α＋cos²α＝1）和商数关系（tanα＝sinα/cosα），进而构建“定义推导—关系式理解—由值求其他三角函数值—综合应用”的完整学习支架。 该资料以问题驱动培养逻辑推理，如通过单位圆交点坐标引导学生自主推导基本关系式，结合分类讨论（如已知三角函数值判断象限求其他值）提升数学运算能力。例题链教材且设对点练，任务再现与易错警示助力学生课后查漏补缺，课中辅助教师落实数学抽象与逻辑推理核心素养，提升教学效果。

§1　同角三角函数的基本关系 1.1　基本关系式　1.2　由一个三角函数值求其他三角函数值 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式，培养逻辑推理的核心素养.　2.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，培养数学抽象的核心素养.　3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值，提升数学运算的核心素养. 任务一　基本关系式 问题1.如图所示，如果对于任意角α的终边与单位圆的交点为P(cos α，sin α)，那么角α的三个三角函数值sin α，cos α与tan α之间的关系是什么呢？ 提示：sin2α＋cos2α＝1；tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z). 同角三角函数的基本关系式 基本关系 基本关系式 语言描述 平方 关系 sin2α＋cos2α＝1 同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1 商数 关系 tan α＝(α≠kπ＋，k∈Z) 同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切 [微提醒]　(1)“同角”的含义：一是“角相同”，与角的表示形式无关.如sin2＋cos2＝1成立，这里的同角是指.二是对“任意”一个角，关系式都成立.(2)sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ，k∈Z成立. (1)对任意角α，β，下列等式恒成立的为(　　) A.sin23α＋cos23α＝1 B.＝tan C.sin2α＋cos2β＝1 D.sin α＝cos α tan α (2)设x∈R，则“sin x＝0”是“cos x＝1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：(1)A　(2)B 解析：(1)对于A，由平方关系知，sin23α＋cos23α＝1恒成立，故A正确； 对于B，当α＝π＋2kπ(k∈Z)时，＝＋kπ(k∈Z)， 此时无意义，故B错误； 对于C，当α＝，β＝时，sin2 α＋cos2 β＝＋＝≠1， 所以sin2α＋cos2β＝1不恒成立，故C错误； 对于D，由商数关系知，当α≠kπ＋(k∈Z)时， sin α＝cos αtan α成立，故D错误，故选A. (2)若sin x＝0，则sin2x＝1－cos2x＝0⇒cos x＝±1，故充分性不成立，若cos x＝1，则cos2x＝1－sin2x＝1⇒sin x＝0，故必要性成立，故“sin x＝0”是“cos x＝1”的必要不充分条件.故选B. 　　同角三角函数的基本关系式中的角都是“同一个角”，注意平方关系式和商数关系式中的角α的取值范围. 对点练1.(多选题)已知α是第四象限角，则下列结论正确的是(　　) A.sin2＋cos2＝1 B.＝cos α C.＝sin α－cos α D.＝sin 答案：AB 解析：对于A，平方关系中α为任意角，则sin2＋cos2＝1恒成立，故A正确；对于B，由第四象限角余弦值为正，结合平方关系有＝＝cos α，故B正确；对于C，由第四象限角正弦值为负，则＝＝，而cos α－sin α＞0，故＝cos α－sin α，故C错误；对于D，由α是第四象限角，故为第二或第四象限角，sin 的符号不确定，所以＝＝，故D错误.故选AB. 学生用书⬇第106页 任务二　由一个三角函数值求其他三角函数值 问题2.利用基本关系式，若已知一个角的某一个三角函数值，如何求这个角的其他三角函数值？ 提示：(1)若已知sin α＝m，先求cos α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (2)若已知cos α＝m，先求sin α＝±，再由公式tan α＝求tan α. (3)若已知tan α＝m，则tan α＝＝m⇒sin α＝mcos α，结合sin2α＋cos2α＝1，通过方程组求解. 基本关系式的变形 1.sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α. 2.sin α＝tan α·cos α；cos α＝(α≠，k∈Z). (1)(链教材P146例2)已知cos α＝－，求sin α，tan α的值. (2)(链教材P147例3)已知tan θ＝a(a≠0)，求sin θ和cos θ. 解：(1)因为cos α＝－＜0，所以角α的终边在第二或第三象限. 当α的终边在第二象限时，sin α＞0，tan α＜0，所以sin α＝＝＝， tan α＝＝－. 当α的终边在第三象限时，sin α＜0，tan α＞0，所以sin α＝－＝－＝－， tan α＝＝. (2)因为tan θ＝a，所以＝a，所以sin θ＝acos θ. 又因为sin2θ＋cos2θ＝1，所以a2cos2θ＋cos2θ＝1，解得cos2θ＝. 因为tan θ＝a(a≠0)，所以角θ的终边不在x轴上、y轴上. 所以cos θ＝ 所以sin θ＝cos θtan θ＝ 1.如果已知三角函数值，但没有指定角的终边在哪个象限，那么先由已知三角函数值确定角终边可能所在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解. 2.如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要进行分类讨论. 对点练2.(1)已知α∈，sin α＝，则tan α＝(　　) A. B. C.－ D.－ (2)已知α是第三象限角，且sin α＝－，则cos α＋tan α＝　　　　. 答案：(1)D　(2)－ 解析：(1)由α∈，sin α＝，得cos α＝－＝－.所以tan α＝＝－.故选D. (2)因为sin α＝－，且α是第三象限角，所以cos α＝－＝－，tan α＝＝＝，所以cos α＋tan α＝－＋＝－. 任务三　基本关系式的简单应用 已知sin θ＝，cos θ＝，求tan θ的值. 解：由sin2θ＋cos2θ＝1，得＋＝1， 解得m＝0或m＝8. 当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π，所以m＝0舍去； 当m＝8时，sin θ＝，cos θ＝－，所以tan θ＝－. 　　在利用基本关系式求值时，注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数值的符号，且注意sin2α＋cos2α＝1的变形应用. 对点练3.已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值. 解：因为sin α＋3cos α＝0，所以sin α＝－3cos α. 又sin2α＋cos2α＝1，所以(－3cos α)2＋cos2α＝1， 即10cos2α＝1，所以cos α＝±. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， 所以角α的终边在第二或第四象限. 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－，sin α＝； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝，sin α＝－. 任务再现 1.同角三角函数的基本关系式.2.由一个三角函数值求其他三角函数值.3.基本关系式的简单应用 方法提炼 公式法、解方程(组)法、分类讨论思想方法 易错警示 求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论 学生用书⬇第107页 1.下列四个命题中正确的是(　　) A.sin α＝且cos α＝ B.sin α＝0且cos α＝－1 C.tan α＝1且cos α＝－1 D.tan α＝－(α为第二象限角) 答案：B 解析：由sin2α＋cos2α＝1可知A不正确，B正确；D不正确，tan α＝；C不正确，若cos α＝－1，则α＝π＋2kπ(k∈Z)，则tan α＝0.故选B. 2.若sin θ＝－，θ是第三象限角， 则tan θ＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：C 解析：因为sin θ＝－，θ是第三象限角，则cos θ＝－＝－.所以tan θ＝＝＝.故选C. 3.(多选题)已知cos α＝，则sin α的值可以是(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：AB 解析：cos α＝＞0，易知α是第一象限角或第四象限角，则sin2α＝1－＝.当α是第一象限角时，sin α＝；当α是第四象限角时，sin α＝－.故选AB. 4.已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为　　　　. 答案：－ 解析：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，所以cos2α＝.易知cos α＜0，所以cos α＝－，sin α＝，故sin α＋cos α＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $