6.3.1-6.3.2 空间图形基本位置关系的认识 刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3)-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word

本讲义聚焦空间点、直线、平面的位置关系，从长方体模型直观认识入手，抽象出点与线、点与面、线与线、线与面、面与面的位置关系定义，通过符号语言规范表达，进而学习三个基本事实及推论，构建点共线、线共点问题的证明方法，形成完整学习支架。 资料以直观想象为起点，通过长方体观察、问题链引导，结合图形、符号、文字语言转换，培养逻辑推理与数学表达能力。例题与对点练结合，提炼纳入法等证明方法，课中助力教师引导学生从具体到抽象，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 3.1　空间图形基本位置关系的认识 3.2　刻画空间点、线、面位置关系的公理(基本事实1、2、3) 学习目标 1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出点、直线、平面的位置关系的定义.　2.会用符号表达点、线、面的位置关系，培养直观想象的核心素养.　3.掌握空间图形三个基本事实、三个推论，提升逻辑推理和直观想象的核心素养. 任务一　空间图形基本位置关系的认识 问题1.我们知道长方体有8个顶点、12条棱、6个面，12条棱对应12条棱所在的直线，6个面对应6个面所在的平面.观察如图所示的长方体，你能发现这些顶点、直线、平面之间的位置关系吗？ 提示：点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外；点与平面的位置关系有两种：点在平面内和点在平面外；直线与直线的位置关系有两种：直线与直线相交和直线与直线不相交；直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交和直线与平面平行；平面与平面的位置关系有两种：平面与平面不相交和平面与平面相交. 1.点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点与 直线 点A在直线a外 A∉a 点B在直线a上 B∈a 点与 平面 点A在平面α内 A∈α 点B在平面α外 B∉α 2.直线与直线、直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 直线与直线 相交 a∩b＝O 不相交 a∩b＝⌀ 直线与平面 直线在平面内 a⊂α 直线与平面相交 a∩α＝A 直线与平面平行 a∥α⇔a∩α＝⌀ 3.平面与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 平面与平面 平面与平面平行 α∥β⇔α∩β＝⌀ 平面与平面相交 α∩β＝a (链教材P222练习T1)用符号和图形表示下列语句： (1)点A在平面α内但在平面β外； (2)直线a经过平面α内一点A，平面α外一点B； (3)直线a在平面α内，也在平面β内. 解：(1)A∈α，A∉β(如图①所示). (2)A∈a，B∈a，A∈α，B∉α(如图②所示). (3)α∩β＝a(如图③所示). 学生用书⬇第158页 1.用文字语言以及符号语言描述一个图形时，首先确定图形中平面、直线的个数以及相互之间的位置关系，先用文字语言描述清楚，再用符号语言表示. 2.使用符号语言时注意相应的意义.如点与直线、点与平面的位置关系要用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系要用“⊂”，“⊄”等表示. 3.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别. 对点练1.(1)“平面α内有一条直线l，则这条直线上的一点A必在这个平面内”用符号语言表述是(　　) A.⇒A⊂α B.⇒A∈α C.⇒A∈α D.⇒A⊂α (2)平面α与平面β相交于直线l，点A，B在平面α上，点C在平面β上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R.设A，B，C三点确定的平面为γ，则β与γ的交线是(　　) A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上均不正确 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)因为平面α内有一条直线l，所以l⊂α.因为点A在直线l上，所以A∈l，所以A∈α.故选B. (2)因为直线AB与直线l相交于点R，R∈l，所以R∈平面β，又点C在平面β上，所以CR⊂平面β，因为AB⊂平面γ，R点在直线AB上，所以R∈平面γ，又C∈平面γ，所以CR⊂平面γ，所以β与γ的交线是直线CR，如图所示.故选C. 任务二　三个基本事实及推论 问题2.我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面？ 提示： 不共线的三点. 问题3.如果直线l与平面α只有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？ 提示： 不在平面α内；在平面α内. 问题4.把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只交于一点？ 提示： 相交于一条直线. 1.三个基本事实 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α，使A，B，C∈α 用来确定一个平面 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α 用来证明直线在平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，P∈β⇔α∩β＝l，且P∈l 用来证明空间的点共线和线共点 学生用书⬇第159页 2.基本事实的推论 推论 文字语言 图形语言 作用 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面 确定平面的依据 推论2 两条相交直线确定一个平面 推论3 两条平行直线确定一个平面 如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上.求证：直线AD，BD，CD在同一平面内. 证明：因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上， 所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，所以l⊂α. 因为C∈l，所以C∈α. 因为A，B，C，D∈α，所以AD⊂α，BD⊂α，CD⊂α. 即直线AD，BD，CD在同一平面内. 证明点、线共面问题的常用方法 1.先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”. 2.先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”. 对点练2.(1)(多选题)下列基本事实叙述正确的是(　　) A.经过两条相交直线，有且只有一个平面 B.经过两条平行直线，有且只有一个平面 C.经过三点，有且只有一个平面 D.经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 (2)下列命题中， ①若空间四点共面，则其中必有三点共线； ②若空间四点中有三点共线，则此四点必共面； ③若空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面； ④若空间四点不共面，则其中任意三点不共线. 其中真命题的个数是(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：(1)AB　(2)B 解析：(1)根据基本事实以及推论，易知A、B正确；对于C，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误；对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数个平面，故D不正确.故选AB. (2)对于①，四点共面不一定得到三点共线，比如平面四边形，故①错误；对于②，若空间四点中有三点共线，则此四点必共面，故②正确；对于③，若空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面；比如平面四边形，故③错误；对于④，若空间四点不共面，则其中任意三点不共线；假若其中三个点共线，则第四个点要么与这三点在一条直线上，要么在直线外，根据直线和直线外一点可确定一个平面可知，这四点共面，矛盾，故任意三点不共线，故④正确.故选B. 任务三　点共线、线共点问题 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，F，H，G. 求证：E，F，G，H四点必定共线. 证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β. 因为AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，所以E∈β，所以E在α与β的交线l上. 同理，F，G，H也在α与β的交线l上， 所以E，F，G，H四点必定共线. 利用基本事实3证明点共线、线共点 1.点共线：证明多点共线通常利用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上. 2.三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点. 对点练3.如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一个平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1. 学生用书⬇第160页 求证：AA1，BB1，CC1三线共点. 证明：由题意可知AB≠A1B1，则四边形AA1B1B为梯形， 所以AA1与BB1相交，设其交点为S，则S∈AA1，S∈BB1. 因为BB1⊂平面BCC1B1，所以S∈平面BCC1B1.同理可证，S∈平面ACC1A1， 所以点S在平面BCC1B1与平面ACC1A1的交线上，即S∈CC1， 所以AA1，BB1，CC1三线共点. 任务再现 1.点、线、面之间的位置关系.2.三个基本事实及推论.3.点共线、线共点问题 方法提炼 纳入法、同一法、转化与化归思想 易错警示 三种语言的相互转换(符号语言、图形语言、文字语言)，尤其是符号语言的正确表达 1.如图，点A、直线m、平面α之间的数学符号语言关系为(　　) A.m∈α，A∉m B.m∈α，A∈m C.m⊂α，A∉m D.m⊂α，A∈m 答案：C 解析：由图可知，A∉m，A∈α，m⊂α.故选C. 2.当我们停放自行车时，只要将自行车的脚撑放下，自行车就停稳了，这用到了(　　) A.三点确定一个平面 B.不在同一直线上的三点确定一个平面 C.两条相交直线确定一个平面 D.两条平行直线确定一个平面 答案：B 解析：自行车的前轮、后轮、脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线，它们可以确定一个平面，因此自行车就停稳了.故选B. 3.如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面(　　) A.没有其他公共点 B.仅有这一个公共点 C.仅有两个公共点 D.有无数个公共点 答案：D 解析：如果两个不重合平面有一个公共点，那么这两个平面有一条过公共点的公共直线.故选D. 4.三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面的个数是　　　　. 答案：1个或3个 解析：三条直线两两相交，若三条直线交于同一点，则这三条直线确定的平面的个数是1个或3个，若三条直线两两相交于三个不同的点，则这三条直线确定1个平面.综上，这三条直线所确定的平面的个数为1个或3个. 学科网（北京）股份有限公司 $