2.6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦平面向量在几何与物理中的应用，前承向量线性运算及数量积知识，通过问题引导、方法对比表及步骤归纳，构建从几何证明（平行、垂直、求角等）到物理应用（力、速度、做功）的学习支架。 资料以结构化表格对比几何法与坐标法，结合链教材例题及对点练，跨学科融合物理场景，培养逻辑推理与数学建模素养，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固提升，查漏补缺。

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 学习目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题，培养逻辑推理的核心素养.　2.会用向量方法解决物理中简单的力学问题和其他实际问题，体会向量在解决实际问题中的作用，提升数学建模的核心素养. 任务一　向量在几何证明中的应用 问题1.证明线线平行、三点共线问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可以转化为共线向量的基本定理： 即a∥b⇔a＝λb(b≠0，λ∈R)⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 问题2.证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可转化为向量的数量积等于零，即a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 学生用书⬇第98页 向量在几何证明中的应用 问题类型 解题方法 几何法 坐标法 证明线段平行或点共线问题，以及相似问题 a∥b⇔a＝λb(λ∈R，b≠0) x1y2－x2y1＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线是否垂直等 a⊥b⇔a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 求角问题，如求三角形或四边形的内角或两直线的夹角 cos θ＝ (a，b的夹角为θ) cos θ＝ ， a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 求线段的长度或证明线段相等 ｜a｜＝ ｜a｜＝，a＝(x，y)或AB＝｜｜＝，A(x1，y1)，B(x2，y2) 角度1　线性运算在几何证明中的应用 (链教材P125例13，P126例14)如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD所在的直线上取两点E，F，使BE＝DF.用向量方法证明：四边形AECF是平行四边形. 证明：如图所示，＝＋，＝＋，因为四边形ABCD为平行四边形， 所以＝. 又BE＝DF，E，F在直线BD上，所以＝， 从而＋＝＋， 所以＝，即AE与FC平行且相等， 所以四边形AECF是平行四边形. 向量的线性运算的四个步骤 第1步：选取一组基； 第2步：用基表示相关向量； 第3步：利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； 第4步：把计算所得向量关系转化为几何问题的结果. 对点练1.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T.试证明R，T把AC三等分. 证明：设＝a，＝b，则＝a＋b. 因为共线，所以存在n∈R，0＜n＜1，使得＝n＝n(a＋b). 又共线，所以存在m∈R，0＜m＜1，使得＝m＝m(＋)＝m. 所以＝＋＝b＋m， 所以b＋m＝n(a＋b)， 即(n－m)a＋b＝0. 因为a，b不共线，所以由平面向量基本定理，得 解得n＝m＝，所以＝. 同理，可得＝＝， 所以AR＝RT＝TC＝AC，即R，T把AC三等分. 角度2　数量积在几何证明中的应用 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别为边AB，BC上的点，且AE＝EB，2BF＝FC.设＝a，＝b. (1)用a，b表示，； (2)用向量的方法证明：CE⊥AF. 解析：(1)因为＝＋＝－＋＝a－b， ＝＋＝＋＝＋－)＝＋＝a＋b. (2)由·＝0，AB＝AC，所以a·b＝0且｜a｜＝｜b｜， 得·＝(a－b)·(a＋b)＝｜a｜2－｜b｜2－a·b＝0， 所以⊥，即CE⊥AF. 　　数量积在平面几何证明中的作用主要体现在求角、证垂直、求线段的长度等. 对点练2.向量是研究几何的一个重要工具，在证明某些几何结论时会大大简化证明过程.已知矩形ABCD，M为平面内任意一点，请用向量法证明：＋＝＋. 证明：以A点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示.记A，B，C，D，设M， 则有＋＝x2＋y2＋＋＝2x2＋2y2－2ax－2by＋a2＋b2， ＋＝＋y2＋x2＋＝2x2＋2y2－2ax－2by＋a2＋b2， 故＋＝＋. 学生用书⬇第99页 任务二　向量在物理中的应用举例 问题3.如何利用向量研究力、速度、加速度、位移等物理问题？ 提示：力、速度、加速度、位移以及运动的合成与分解都与向量的加减法有关，用到平行四边形法则或三角形法则等. 向量在物理中的应用 问题类型 涉及知识 补充说明 力学问题 向量的线性运算 力的合成与分解就是向量的加减法 加速度、速度、位移问题 向量的线性运算 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算 做功问题 向量的数量积运算 物理学中的功是一个标量，即为力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝｜F｜｜s｜cos θ(θ为F与s的夹角) 角度1　向量的线性运算在物理中的应用 (链教材P127例17，例18)如图所示，把一个物体放在倾角为30°的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力G，沿着斜面向上的摩擦力F1，垂直斜面向上的弹力F2.已知｜F1｜＝30 N，求G，F2的大小. 解：建立如图坐标系， 由｜F1｜＝30 N，可得＝(15，15). 设｜F2｜＝a N，｜G｜＝b N，则＝(－，)，＝(0，－b). 因为＋＋＝0， 所以 所以重力G的大小为60 N，垂直斜面向上的弹力F2的大小为30 N. 　　用向量处理物理中的问题时，根据题意把物理量用有向线段表示，利用平行四边形法则转化为代数方程来计算，也可建立平面直角坐标系，把向量作正交分解. 对点练3.一条宽为 km的河，水流速度为2 km/h，在河两岸有两个码头A，B，已知AB＝ km，船在水中的最大航速为4 km/h，问该船怎样安排航行速度可使它从A码头最快到达对岸B码头？用时多少？ 解：如图所示，设为水流速度，为航行速度，以AC和AD为邻边作▱ACED，且当AE与AB重合时能最快到达对岸，根据题意知AC⊥AE，在Rt△ADE和▱ACED中，｜｜＝｜｜＝2，｜｜＝4，∠AED＝90°， 所以｜｜＝＝2，又AB＝， 所以用时0.5 h，易知sin ∠EAD＝， 所以∠EAD＝30°. 故该船航行速度大小为4 km/h，与水流方向成120°角时能最快到达B码头，用时0.5 h. 角度2　向量的数量积在物理中的应用 (链教材P128例19，例20)质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力｜F｜＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行｜s｜＝2.0 m的距离(g＝9.8 N/kg). (1)分别求物体所受各力对物体所做的功； (2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 解：(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如图所示. 拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝｜F｜｜s｜cos 0°＝20(J)；支持力N与位移方向垂直，不做功，所以WN＝N·s＝0；重力G对物体所做的功为WG＝G·s＝｜G｜｜s｜cos(90°＋θ)＝｜mg｜·｜s｜cos(90°＋θ)＝－19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J). 　　物理上的功实质上就是力与位移两向量的数量积. 学生用书⬇第100页 对点练4.一个物体在一个平面内受到F1，F2，F3三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的功和位移.其中＝10 N，方向为北偏东30°；＝8 N，方向为北偏东60°；＝6 N，方向为北偏西30°. 解：如图所示，以物体初始位置为原点，以正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意，得F1＝，F2＝，F3＝， 设合力为F，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2＋4，4＋8)， 则＝＝×， 则＝＝， 所以位移s＝10·＝10·＝， 所做的功为W＝F·s＝20＋40. 任务再现 1.向量在几何证明中的应用.2.向量在物理中的应用 方法提炼 数形结合思想方法、转化与化归思想方法 易错警示 要注意选择恰当的一组基 1.已知一个物体在三个力F1＝，F2＝，F3的作用下，处于静止状态，则F3＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为该物体静止，所以F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－，又因为F1＋F2＝＋＝，所以F3＝－＝.故选B. 2.设a表示“向东走8 km”，b表示“向南走4 km”，则b＋a＋b所表示的意义为(　　) A.向东南走8 km B.向西南走8 km C.向东南走4 km D.向西南走4 km 答案：A 解析：a表示“向东走8 km”，b表示“向南走4 km”，即2b表示向南走8 km，根据向量加法的平行四边形法则可知，b＋a＋b＝a＋2b表示向东南走8 km.故选A. 3.在四边形ABCD中，若·＝0，且＝，则四边形ABCD的形状是(　　) A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 答案：C 解析：四边形ABCD中＝，所以AB＝DC且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形，又·＝0，所以⊥，即AB⊥AD，所以平行四边形ABCD为矩形.故选C. 4.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2.则对角线AC的长为　　　　. 答案： 解析：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.而｜｜＝｜a－b｜＝＝＝＝2，所以5－2a·b＝4，所以a·b＝.又｜｜2＝｜a＋b｜2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，所以｜｜＝，即AC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $