2.6.2.2 向量在物理中的应用举例（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

第二章平面向量及其应用 11.如图，平行四边形ABCD中， 13. 如图，在Rt△ABC中， 点M是AB的中点，点N在 ∠BAC=90°，AB=AC,E, BD上，且BN= BD,求证： F分别为边AB,BC上的 点，且AE=EB,2BF=FC. M,N,C三点共线. 求证：CE⊥AF. 证明：设AD=x,AB=y, 示=+号-y+x-)(2x+ 证明：C元=C+A正=一AC+2AB, y), A-+B丽=A店+}BC-A店+吉(A花 MC-MB+BC-y+x-z(2x+y), A)=号A店+子AC .M元=3M,又MC与MV有公共，点M, 由题意得AB,AC-0且AB=|AC1, M,N,C三点共线. 所以C它·A产=（-AC+AB· 能力提升 NENG LI TI SHENG 12.在△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，用向量 号A店+号A=号1A店：-子AC:-A成 法证明CD=AB, ·AC=0,所以CE⊥AF,即CE⊥AF 证明：如图，设CA=a,CB=b,则 素养培优 SU YANG PEI YOU a与b的夹角为90°，故a·b 14.如图，在□ABCD中，点E,F D =0. 分别是AD,DC边的中点， AB-b-a.CD-(a+D). BE,BF分别与AC交于R,T 两点，你能发现AR,RT,TC .còi=2a+b 之间的大小关系吗？用向量方法证明你的结论 -2/a+b 解：因为ABCD是平行四边形，所以设AR=入AC =A(AB+AD)=2入AE+入AB,因为B,R,E三 -2Val12a6F16 点共线，所以2以十入=1，所以入=子，所以A京 =2a+a, 号ad 1AB=b-a=√b-a) =√Tb2-2a·b+a下=√Ta2+1b 同里可证：C7=}A, “C可1-，即CD-AB 所以AR=RT=CT=子AC 第二课时 向量在物理中的应用举例 课程标准 素养解读 通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向 用向量方法解决物理的相关问题，培养学 量研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本 生数学建模，逻辑推理，数学抽象等数学 题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识 素养 课前。预习学案 对应学生用书P105 [情境引入] 向量有丰富的物理背景，向量源于物理中的力、速度、 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向 加速度、位移等“失量”；向量在解决涉及上述物理量 量的加、减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成， 的合成与分解时，实质就是向量的运算. ·179· 数学s·必修第二册 [知识梳理] [知识点一]力与向量 力与前面学过的自由向量有区别。 1.相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向. 2.不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和 方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是 A.2 km/h B.√34km/h 不相等的. C.4 km/h D.8 km/h [知识点二]向量方法在物理中的应用 解析：C[由题意画出失量图如下： 1.力、速度、加速度、位移都是向量. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 D C 加、减运算，运动的叠加也用到向量的合成. 3.动量mv是数乘向量. 4.功是力F与所产生位移s的数量积. [预习自测] 1.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,一5)， f=(3,1),且A(1,1),则合力f=f1+f2+f的 终点坐标为 () AD为船在静水中的速度，DC为水流的速度，AC为 A.(9,1) B.(1,9) 船实际航行的速度， C.(9,0) D.(0,9) 解析：A[f=f1+f2+f=(3,4)+(2,-5)+ 由此可得AC IAD?-ICDI=4 km/h.] (3,1)=(8,0).设合力f的终点为P(x,y),则 3.若OF1=(2,2),OF2=(-2,3)分别表示F1,F2,则 OP=OA+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).] 2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行 F,+F2为 运输.如图所示，一艘船从长江南岸的A点出发， 解析：：F1十F2=(0,5),.F1+F2|=√02+5 以5km/h的速度沿AD方向行驶，到达对岸C点， =5. 且AC与长江南岸垂直，同时江水的速度为向东 答案：5 3km/h,则船实际航行速度的大小为 ( 课堂。互动学案 对应学生用书P105 题型向童的线性运算在物理中的应用 所以v=√/302+(10√3)2=20√3(km/h) [例1]帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内 竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向 因为tana 105-5(a为v和，的夹角a为锐 303 为北偏东30°，速度为20km/h,此时水的流向是正 东，流速为20km/h.若不考虑其他因素.求帆船的 角)，所以a=30°. 速度与方向 所以帆船向北偏东60的方向行驶，速度为20√3km/h. [思路点拨了“建立坐标系，利用向量坐标运算 规律方法 求解， 利用向量法解决物理问题的两种思路 [解] 建立如图所示的直 (1)几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向 角坐标系，风的方向为北偏 东30°， 量用基底表示，利用向量运算法则、运算律 速度为|y1=20(km/h), 或性质计算. 水流的方向为正东，速度为 0 (2)坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向 y2|=20(km/h),设帆船 量的坐标化，转化为代数运算， 行驶的速度为v, 则v=y1十y2. ◇[变式训练] 由题意，可得向量v1=(20cos60°，20sin60°) 1.一条宽为√3km的河，水流速度为2km/h,在河两 =(10,10√3)，向量y2=(20,0), 岸有两个码头A,B,已知AB=√3km,船在水中最 则帆船的行驶速度 v=y1十y2=(10,10√3)+(20,0)=(30,10√3) 大航速为4km/h;问怎样安排航行速度，可使该船 从A码头最快到达彼岸B码头？用时多少？ ·180 第二章平面向量及其应用 解：如图所示，设AC为水流速 个B 支持力F与位移方向垂直，不做功，即W,=F,·S 度，AD为航行速度，以AC和 =0. 重力G对物体所做的功为： AD为邻边作□ACED,当AE 与AB重合时能最快到达彼 Wc=G·s=|GIs cos(90°+)=-19.6(J). (2)物体所受各力对物体做功的代数和为： 岸.根据题意知AC⊥AE,在 W=WF+WN+W6=20+0-19.6=0.4(J). Rt△ADE和☐ACED中， (3)物体所受合外力的大小为： DEI=ACI=2,ADI=4,ZAED=90, |F念=Fl-Gsin30°=0.2(N), 所以AE=AD?-1DE2=25,3÷23= 所以合外力对物体所做的功为： W=F念·s=0.2×2=0.4(J). 0.5h),sin∠EAD=2,所以∠EAD=30, 所以物体所受合外力对物体所做的功与物体所受 各力对物体做功的代数和相等 所以船实际航行速度大小为4km/h,与水流成 规律方法… 120°角时能最快到达B码头，用时0.5小时. 用向量解决物理问题的一般步骤 题型二向量的数量积在物理中的应用 (1)转化：把物理问题转化为数学问题： [例2]如图，质量m=2.0kg的 (2)建模：建立以向量为主体的数学模型； 木块，在平行于斜面向上的拉 (3)求解：求出数学模型的相关解； 力F=10N的作用下，沿倾斜 (4)回归：回到物理现象中，用已获取的数值去 角0=30°的光滑斜面向上滑行 解释一些物理现象. |s=2.0m的距离. ◇[变式训练] (1)分别求物体所受各力在这一过程中对物体做 2.已知两恒力F1=(3,4)、F2=(6,一5)作用于同一 的功； 质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求： (2)在这一过程中，物体所受各力对物体做的功的 (1)F1、F2分别对质点所做的功； 代数和是多少？ (2)F1,F2的合力F为质点所做的功， (3)求物体所受合外力对物体所做的功.并指出它 解：设物体在力F作用下的位移为、.则所做的功为W 与物体所受各个力对物体做功的代数和之间有什 =F·s.AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15). 么关系。 (1)W1=F·AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13) 汇思路点拨]做好受力分析，用向量解决物理问 +4×(-15)=-99(J),W2=F2·AB=(6,-5)· 题， (-13·,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15) [解](1)木块共受三个力的作用，重力G,拉力F =-3(J) 和支持力F1,如题图所示，拉力F与位移s方向相 (2)W=F·AB=(E+F,)·AB=[(3,4)+(6,-5)刀· 同.所以拉力对木块所做的功为： (-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9× Wr=F.s=Fs cos a=20(J). (-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J). 随堂。步步夯实 对应学生用书P106 1.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行， 2.如图为某种礼物降落伞的示意 直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的 图，其中有8根绳子和伞面连 影子的速度是40m/s,则鹰的飞行速度为( 接，每根绳子和水平面的法向 A警a B.40 量的夹角均为60°.已知礼物的 -m/s 3 质量为1kg,每根绳子的拉力 C.803 大小相同.若重力加速度g取9.8m/s2,则降落伞在 /s D.n 匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 ( 解析：C[如图，AC1=y,=430 A.2.25N B.2.45N C.2.5N D.2.75N 40,且∠CAB=30°，则|AB|= 解析：B[由题意知，8根绳子的合力的大小与礼 =80.故选C] 物的重力的大小相等，设每根绳子的拉力的大小为 3. T,则8Tcos60°=1×9.8，解得T=2.45(N).] ·181· 数学s·必修第二册 3.共点力F1=(1g2,lg2),F2=(1g5,lg2)作用在物 解：如图.用OA表示无风时雨滴下 P 体M上，产生位移s=(21g5,1),则共点力对物体 落的速度，OB表示风使雨滴水平向 做的功W为 ( A.1g2 B.Ig 5 东的速度，以OA,OB为邻边作矩 C.1 D.2 形OACB,OC就是雨滴下落的实际 解析：D[F十F2=(1,21g2..W=(F十F2)·s= (1,21g2)·(21g5,1)=21g5+21g2=2.] 速度.在Rt△ABC中，|OA|=4, 4.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(x,y) 443 的合力F1+F2十F=0,则F3的坐标为 IACI=43 3 31 解析：由F1十F2十F3=0,则F3=一(F1十F2), 因为F1=(3,4),F2=(2,一5)，所以F1十F2= (5,-1),即F3=(-5,1) 所以 oc 答案：(-5,1) 5.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨 _83 滴下落的速度是4m/s,现在有风，风使雨滴以 3 4y5m/s的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速 即雨滴着地时的速度大小为8 m/s. 度大小 3 课后。素养提升 对应学生课时P68 基础过关 解析：B[由题意知，两只胳膊的拉力的大小为 JI CHU GUO GUAN 1.一个质点在力F1=(一3,5)，F2=(2,-3)的共同 |F1=F2|=400N,夹角9=60°，所以体重G 作用下，由点A(10,一5)移动到点B(一4,0)，则 -(F1+F2), F,F2的合力F对该质点所做的功为 .G=(F1+F2)2=400+2×400×400×c0s60° A.24B.-24C.110D.-110 +4002=3×4002, 解析：A[由题意可知，F1,F2的合力F=F1十F2 =(-3,5)+(2,-3)=(-1,2), .G=400√3(N),则该学生的体重约为40√= AB=(-4-10,0+5)=(-14,5), 40×1.732≈69(kg). 则合力F对该质点所做的功为 4.已知两个力F1,F2的夹角为90°，它们的合力大小 F·AB=(-1,2)·(-14,5)=24.故选A.] 为10N,合力与F,的夹角为60°，那么F2的大 2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90° 小为 时，合力大小为20N,则当它们夹角为120°时，合 A.55N B.5N 力大小为 A.40N B.10√2N C.10N D.5√2N C.20√2N D.10√5N 解析：A[由题意可知，对应 F 解析：B[|F1l=F2|=|F|cos45°=10√2，当0 向量如图所示，由于a=60°，所 =120°时，由平行四边形法则知：F令=F1|= 以F2的大小为|F念|sin60°= |F2|=10√2N.] 3.体育锻炼是青少年生活学习中非 10x5=55(N,故选A.] 2 常重要的组成部分.某学生做引 5.水平横梁的一端A插在 体向上运动，处于如图所示的平 墙壁内，另一端装有一 衡状态时，若两只胳膊的夹角为 60°，每只胳膊的拉力大小均为 光滑的小滑轮，一轻绳 30°T7 400N,则该学生的体重（单位： 的一端C固定于墙壁 kg)约为 () 上，另一端跨过滑轮后 (参考数据：取重力加速度大小为 悬挂一质量为m=10kg m g=10m/s2,W5≈1.732) 的重物，∠CBA=30°，如图所示，则滑轮受到绳子 A.63 B.69 的作用力大小为(g=10N/kg) C.75 D.81 ·182 第二章平面向量及其应用 A.50N B.50√5N 9.一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3, C.200N D.103N 1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在 解析：C[设重物所学的重力为G,滑轮受到绳子 这个过程中三个力的合力所做的功等于 的作用力为F,由力的分解可知F|sin30°=G, 解析：因为F,=(3,-4),F2=(2,-5),F=(3, p 1),所以合力F=F1十F2十F3=(8,-8), =200N.故选C.] AB=(-1,4), 6.(多选)在日常生活中，我们会看 则F·AB=-1×8-8×4=-40, 到如图所示的情景，两个人共提 即三个力的合力所做的功为一40. 一个行李包.假设行李包所受重 答案：一40 力为G,作用在行李包上的两个拉 10.某人在静水中游泳，速度为4√3km/h,水的流速 力分别为F,F2,且F=|F2,F1与F2的夹角为 为4km/h,他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂 6.下列结论正确的是 ( 直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？ A.0越大越费力，0越小越省力 解：如图所示，设此人的实际速 B B.0的范围为[0，π] 度为OB,水流速度为OA, C.当0=时，F,=G 实际速度=游速十水速， D.当0=时，E=c .游速为OB-OA=AB, 在Rt△AOB中，|AB=4√3，|OA1=4,|OB1= 解析：AD[对于A,由题意知|G=F1十F2为 4√2，cos∠BAO= IOAI_3 定值 |AB31 所以|G2=|F112+F212+2|F11×|F2|×cos0= 2F(1+c0s0),所以E,2=21十c0sD GI2 故此人应沿与河岸夫角的余弦值为。，逆着水流 的方向前进，实际前进速度的大小为4√2km/h. 由题意知0∈[0，π)，则y=cos0单调递减，所以 11.一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直 F12单调递增，即日越大越费力，0越小越省力，A 于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际行程为 正确.对于B,由题意知0的取值范围是[0，π)，B错 8km,求河水的流速。 说对于C,当0-受时，R=G,所以R= 解：如图，用”1表示河水的流 号G,C错误对于D,高0=经时，K=G, 速，2表示船的速度，则v= 十v2为船的实际航行速度 所以|F|=G,D正确.故选AD.] 由图知，OA=4,OB=8, 7.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生 则∠AOB=60°.又|v2|=2, 的位移s的大小为100m,且F与s的夹角为60°， 所以1|=|v2|·tan60°=2√3. 则力F所做的功W= J 即河水的流速是2√5km/h. 解析：W=F·s=6×100×cos60°=300(J). 答案：300 能力提升 NENG LI TI SHENG 8.已知F=(2,3)作用一物体，使物体从A(2,0)移动 12.一个物体受到同一平面内的三个力F1,F2,F3的 到B(4,0),则力F对物体做的功为 作用，沿北偏东45°的方向移动了8m,其中F 解析：根据题意，力F对物体做的功为W=F·AB =2N,方向为北偏东30°，|F2|=4N,方向为北 =(2,3)·(4-2,0-0)=2×2+3×0=4. 偏东60°，F3=6N,方向为北偏西30°，求合力F 答案：4 所做的功. ·183· 数学s,·必修第二册 解：以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平 素养培优 SU YANG PEI YOU 面直角坐标系，如图所示， 14.如图.在同一平面内， 则F1=(1,√)，F2=(25,2), 北 一个质点O受三个力 F=(-3,3√3)， F1,F2,F,的作用保持 B 平衡，其中F3与F2的 所以F=F,十F,十F,=(2√5 夹角为a,F与F1的夹角为B. 2,2+4√3)： (1)若a=120°，3=150°，F3=10,求力F1,F2的 又因为位移s=(4√2,4√2)， 大小： 所以合力F所做的功为 (2)若|F:F2|:F=1:√2：√3，求a与g W=F·s=(2√5-2)X4√2+(2+4√5)X4√2 的余弦值. 解：(1)因为质点在F1,F2,F3的作用下保持 4√2×63=246(J). 平衡， 即合力F所做的功为24√6J 所以F1十F2十F3=0,所以F3=一(F1十F2), 13.有两根柱子相距20m,分别位于电车的两侧，在 又a=120°，3=150°， 两柱之间连接一条水平的绳子，电车的送电线就 所以F1与F2的夹角为90°， 悬挂在绳子的中点.如果送电线在这点垂直向下 所以F1·F2=0, |F312=[-(F1+F2)]=F+2F1·F2+F=F 的作用力是17.8N,则这条呈水平的绳子的中点 +, 下降0.2m,求此时绳子所受张力的大小. 将|F3|=10代入可得F+F=100. 解：如图，设垂直向下的作 F 如图.易得∠1=30°， 用力对应向量AB,绳子所C 所以|F1|=F3|×cos30 受张力对应向量分别为 -10×9-5. AC,AD, 则根据平面向量加法法则，得AF=AC+AD,其 F,=F,×sin30-10×2=5. 中AF是向量AB的相反向量， (2)因为F:F2:F3=1:√2：√5，且质点 因为两根柱子相距20m,绳子的中点下降0.2m, 处于平衡状态， 所以以F1,F2,F3|为边 所以等腰△ACD中，CE-DE-10m,AE=0.2m, 长的三角形为直角三角形， 可得an∠ACE=品，可符sin∠ACE- 1 如图所示， 2501 因为送电线在这点垂直向下的作用力是17.8N, 53 所以绳子所受张力大小分别为|AC1=|AD 所以cosB=cos(π-∠1)=-c0s∠1=- 3 3 IAB sin∠ACE=8.9XW250T≈445.0N. cosa=c0s(r-∠2)=-c0s∠2=- 3 则此时绳子所受的张力大小约为445.0N. ·184·