2.6.1 第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦余弦定理、正弦定理在实际测量中的应用，系统梳理测量距离（含不可到达点、可视不可到达点等类型）、高度（底部可达与不可达）、角度（仰角、俯角、方位角）及综合问题的解题方法，搭建从定理到实际应用的学习支架。 资料特色在于结合真实情境（如巢湖水质检测站、蜚英塔测量），通过分类例题与对点练，培养学生用数学眼光观察现实问题、用数学思维推理（灵活选用定理）、用数学语言表达（转化为三角形模型）的核心素养，课中辅助教学，课后助力巩固，弥补应用盲点。

第4课时　余弦定理、正弦定理应用举例 学习目标 会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题，提升数学建模和数学运算的核心素养. 任务一　测量距离问题 测量距离问题的基本类型及求解方法 类型 图形 方法 两点间不可到达的距离 余弦定理 两点间可视不可到达的距离 正弦定理 两个不可到达的点之间的距离 先用正弦定理，再用余弦定理 (链教材P122例10)“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立A，B，C，D四个水质检测站.已知C，D两个检测站建在巢湖的南岸，距离为20 km，检测站A，B在湖的北岸，工作人员测得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. (1)求B，D两个检测站之间的距离； (2)求A，B两个检测站之间的距离. 解：(1)依题意，在△BDC中，∠BCD＝45°，∠CBD＝60°. 由正弦定理，得＝， 则BD＝·sin ∠BCD＝×＝20. 所以B，D两个检测站之间的距离为20 km. (2)在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，所以∠CAD＝30°， 所以∠ADC＝∠CAD，所以AC＝CD＝20. 由余弦定理，得AD2＝AC2＋DC2－2AC·DCcos ∠ACD＝(20)2＋(20)2－2×20×20cos 120°＝3 600， 所以AD＝60. 在△ADB中，由余弦定理，得 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB＝602＋(20)2－2×60×20cos 45°＝2 000， 所以AB＝20，即A，B两个检测站之间的距离为20 km. 求两个不可到达的点之间距离的方法 　　一般是把问题转化为求三角形的边长问题. 1.认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形. 2.把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正弦定理、余弦定理求解. 对点练1.如图，某海域的东西方向上分别有A，B两个观测塔，它们相距5海里，现A观测塔发现有一艘轮船在D点发出求救信号，经观测得知D点位于A点北偏东45°，同时B观测塔也发现了求救信号，经观测D点位于B点北偏西75°，这时位于B点南偏西45°且与B相距30海里的C点有一救援船，其航行速度为30海里/小时. (1)求B点到D点的距离； (2)若命令C处的救援船立即前往D点营救，救援船能否在1小时内到达救援地点？请说明理由.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.65) 解：(1)如图所示.依题意，知AB＝5，∠DBA＝90°－75°＝15°，∠DAB＝90°－45°＝45°， 所以∠ADB＝180°－45°－15°＝120°. 在△ABD中，由正弦定理，得＝，即＝， 所以BD＝＝＝10(海里). 因此B点到D点的距离为10海里. (2)在△BCD中，∠CBD＝180°－75°－45°＝60°，BC＝30，BD＝10. 由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos ∠CBD＝900＋100－2×30×10×＝700， 所以CD＝10海里. 所以需要的时间为×60＝20≈20×2.65＝53(分钟)＜60(分钟). 所以救援船能够在1小时内到达救援地点. 学生用书⬇第95页 任务二　测量高度问题 测量高度问题的类型及方法 类型 图形 方法 底部可达 测量BC和∠BCA，解直角三角形求AB 底部不可达 点B与C，D共线 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值 点B与C，D不共线 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 (链教材P123例11)蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年(1621年)，为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.如图，某学生为测量蜚英塔的高度CD，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得AB＝35米，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝150°，求蜚英塔的高度CD. 解：设CD＝x米， 在△ACD中，∠CDA＝90°，∠CAD＝45°，则AD＝x米. 在△BCD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝30°，则BD＝x米. 因为∠ADB＝150°， 所以由余弦定理，得cos 150°＝＝， 整理得7x2＝，得x＝35. 所以蜚英塔的高度为35米. 测量高度问题的解题策略 1.“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题. 2.“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路. 对点练2.(1)一电线杆CD位于某人的正东方向上，某人在点A测得电线杆顶端C的仰角为45°，此人往电线杆方向走了10米到达点B，测得电线杆顶端C的仰角为60°，则电线杆CD的高度约为(≈1.732，忽略人的身高)(　　) A.23.66米 B.24.66米 C.25.66米 D.26.66米 (2)如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，CD＝40 m，在点C 测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝　　　　m.(其中：sin 75°＝) 答案：(1)A　(2)60＋20 解析：(1)依题意，设CD＝x，则在Rt△ACD中，A＝45°，所以AD＝CD＝x.在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，所以BD＝＝CD＝x.因为AB＝10，所以x－x＝10，所以x＝5≈23.66米，即电线杆CD的高度约为23.66米.故选A. (2)在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝180°－30°－105°＝45°， 且sin ∠BDC＝sin 105°＝sin 75°＝.由正弦定理得＝， 所以BC＝＝＝20.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC＝60＋20. 学生用书⬇第96页 任务三　测量角度问题 实际测量中的有关名称、术语 名称 定义 图示 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角 方向 角 从指定方向线到目标方向线所形成的角(指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°) 南偏西60°(指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角) 方位 角 从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角 一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行2 n mile到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少n mile？ 解：(1)在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝－1，BC＝2. 由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos ∠ABC＝＋22－2×2cos 120°＝6， 解得AC＝ n mile. (2)在△ABC中，由余弦定理，得cos ∠CAB＝＝＝， 所以∠CAB＝45°，又75°－45°＝30°， 因此应沿北偏东30°方向航行n mile即可到达C处. 测量角度问题的基本思路 　　测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 对点练3.(1)(多选题)一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时24 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，40分钟后到达B处，此时测得货轮与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的(　　) A.北偏东15°方向 B.南偏东15°方向 C.北偏东75°方向 D.南偏东75°方向 (2)一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东15°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为12海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　) A.南偏东60°方向 B.南偏西30°方向 C.北偏西60°方向 D.北偏西30°方向 答案：(1)BC　(2)D 解析：(1)如图所示，由题意得AB＝24×＝16 n mile，BS＝8 n mile，∠BAS＝30°， 则＝，解得sin ∠ASB＝＝＝，且0°＜∠ASB＜180°，所以∠ASB＝45°或∠ASB＝135°，如图所示，则有：当货轮在B处时，∠ASB＝45°，所以∠B'BS＝75°；当货轮在B'处时，∠ASB'＝135°，所以∠AB'S＝15°.综上所述：灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°方向.故选BC. (2)如图所示，依题意，在△ABD中，B＝15°＋30°＝45°，AB＝12，∠ADB＝60°.由正弦定理得＝＝＝24，所以AD＝24.在△ACD中，因为AC＝12，∠CAD＝30°.由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°＝＋242－2×12×24×＝144，所以CD＝12.由正弦定理得＝，所以sin ∠CDA＝＝，因为AD＞AC，故∠CDA为锐角，故∠CDA＝60°，此时灯塔C位于渔船的北偏西30°方向.故选D. 任务四　用余弦定理、正弦定理解决三角形综合问题 如图，一架飞机以600 km/h的速度，沿方位角60°的航向从A地出发向B地飞行，飞行了36 min后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知AD＝600 km，CD＝1 200 km，BC＝500 km，且∠ADC＝30°，∠BCD＝113°.问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：tan 37°＝) 解：如图所示，连接AC，CE.在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝(600)2＋1 2002－2×600×1 200×＝360 000， 所以AC＝600， 则CD2＝AD2＋AC2，即△ACD是直角三角形，且∠ACD＝60°， 又∠BCD＝113°，则∠ACB＝53°. 因为tan 37°＝，所以cos 53°＝sin 37°＝， 所以cos ∠ACB＝. 在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝6002＋5002－2×600×500×＝5002， 所以AB＝500， 又BC＝500，则△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝53°， 由已知有AE＝600×＝360(km)， 在△ACE中，由余弦定理，有CE＝＝480(km)， 又AC2＝AE2＋CE2，则∠AEC＝90°. 由飞机出发时的方位角为60°，则飞机由E地改飞C地的方位角为90°＋60°＝150°. 所以收到命令时飞机应该沿方位角150°的航向飞行，E地离C地480 km. 学生用书⬇第97页 用余弦定理、正弦定理解决三角形综合问题的策略 1.在实际问题中，分清仰角、俯角，方位角等概念. 2.把实际问题的图形进行简化，将实际问题中的量转化为三角形中的边角关系，再选择正弦定理或余弦定理解三角形. 对点练4.(多选题)货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里.货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是(　　) A.A处与D处之间的距离是24海里 B.灯塔C与D处之间的距离是8海里 C.灯塔C在D处的西偏南60° D.D在灯塔B的北偏西30° 答案：ABC 解析：依题意，作出图形.由货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为12海里，得∠BAD＝75°，AB＝12.又在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为8海里，得∠CAD＝30°，AC＝8.又货轮自A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，得∠ADB＝60°.所以在△ABD中，B＝180°－60°－75°＝45°.对于A，在△ABD中，由正弦定理得＝，所以AD＝＝24(海里)，故A正确； 对于B，在△ACD中，由余弦定理得CD＝，即CD＝＝8(海里)，故B正确；对于C，因为CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以灯塔C在D处的南偏西30°方向，即灯塔C在D处的西偏南60°，故C正确；对于D，由∠ADB＝60°，可知灯塔B在D的南偏东60°，则D在灯塔B的北偏西60°，故D错误.故选ABC. 任务再现 1.测量距离问题.2.测量高度问题.3.测量角度问题.4.用余弦定理、正弦定理解决三角形综合问题 方法提炼 数形结合思想方法、转化与化归思想方法 易错警示 方位角与方向角的概念易混淆 1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 答案：B 解析：灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，且AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即灯塔A在灯塔B的北偏西10°.故选B. 2.如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据(　　) A.α，a，b B.α，β，a C.a，b，γ D.α，β，b 答案：C 解析：由余弦定理知AB2＝a2＋b2－2abcos γ，所以只要测量出a，b，γ，且这三个数据便于测量.故选C. 3.如图，从热气球A上测得地面上点B的俯角为60°，点C的俯角为45°，图中各点在同一铅垂平面内，已知B，C两点间距离为100 m，则热气球距地面的高度AO为(　　) A. m B.200 m C. m D. m 答案：C 解析：在Rt△AOB中，∠OAB＝30°，所以OB＝OAtan ∠OAB＝OA.在Rt△OAC中，∠OAC＝45°，所以OC＝OA.因为B，C两点间距离为100 m，所以OC－OB＝OA－OA＝100，解得OA＝ m.故选C. 4.如图A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC＝10 m，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，则A，B两点间的距离为　　　　m. 答案：5 解析：依题意，知∠BAC＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝45°.由正弦定理得＝，故AB＝＝＝＝5，故A，B两点间的距离为5 m. 学科网（北京）股份有限公司 $