2.6.1 第3课时 用余弦定理、正弦定理解三角形(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

本高中数学讲义聚焦用余弦定理、正弦定理解三角形的综合应用，承接前两节课的定理基础，系统梳理多边形计算、平面几何证明及面积问题的解题方法，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过例题解析与跟踪训练结合，引导学生用数学眼光拆分图形，以数学思维实现边角互化，用数学语言规范推理过程，课中助力教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，提升综合解题能力。

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形 1.能灵活选择恰当的三角形的面积公式解决有关面积的问题．　2.能够运用正、余弦定理解决三角形中的一些综合问题． 我们前两节课学习了余弦定理和正弦定理，这节课我们继续利用这两个定理解决多边形中的计算问题、平面几何中的证明问题以及正、余弦定理的综合应用． 思考　利用余弦定理和正弦定理可以求解哪些类型的三角形问题？ 提示：可以求解以下四类三角形问题：①已知两边和夹角；②已知三边；③已知两角和一边；④已知两边和其中一边的对角． 　(对接教材例7)在四边形ABCD中，A＝45°，∠ABC＝105°，C＝60°，BC＝1，CD＝2.求： (1)∠CBD的大小； (2)AB的值． 【解】　(1)在△BCD中，BC＝1，CD＝2，由余弦定理，得BD＝ ＝＝. 则BC2＋BD2＝CD2， 所以∠CBD＝90°. (2)因为∠ABC＝105°，∠CBD＝90°， 所以∠ABD＝105°－90°＝15°， 所以∠ADB＝180°－A－∠ABD＝120°， 在△ABD中，由正弦定理得＝， 所以AB＝＝＝. 求解有关多边形的计算问题的思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦定理、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题． [跟踪训练1] 如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，AC＝，∠BAD＝60°，DE⊥AB，求梯形的高． 解：因为∠BAD＝60°，AB∥CD，所以∠ADC＝120°.在△ACD中，AC＝，CD＝2，∠ADC＝120°，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC，即()2＝AD2＋22－4ADcos 120°，整理得AD2＋2AD－15＝0，所以AD＝3或AD＝－5(舍去)．所以DE＝ADsin 60°＝，所以梯形的高为. 　在△ABC中，2B＝A＋C，b＝1，求证：1<a＋c≤2. 【证明】　因为A＋B＋C＝180°，又2B＝A＋C，所以B＝60°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得1＝a2＋c2－ac，即(a＋c)2－1＝3ac≤，所以0<a＋c≤2，当且仅当a＝c时，等号成立．又a＋c>b＝1，故1<a＋c≤2. 三角形中不等关系的证明有两种策略 (1)利用正弦定理将边转化为角的正弦，利用三角函数值域的有界性即可得出． (2)应用余弦定理，借助于基本不等式和三角形三边关系，便可得到． [跟踪训练2] 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记作a，b，c.若a＝sin B，b＝sin C，且c＝λa(λ∈R＋)，求证：B≤. 证明：由题可得＝，由正弦定理得＝，即b2＝ac.由于c＝λa(λ∈R＋)，且由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝ac，将c＝λa代入，则有(λ2＋1)a2－2λa2cos B＝λa2，化简可得(λ2＋1)－2λcos B＝λ，即cos B＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即λ＝1时，取等号．因为B∈(0，π)，y＝cos x在(0，π)上单调递减，所以B≤. 　在△ABC中，D为BC上一点，DA＝CD，BA＝7，BC＝8. (1)若B＝60°，求△ABC外接圆的半径R； (2)若sin∠BAD＝，∠BAD为锐角，求△ABC的面积．(注：sin2α＋cos2α＝1) 【解】　(1)由余弦定理AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcos B＝72＋82－2×7×8cos 60°＝57，解得AC＝.又＝2R，解得R＝＝＝，所以△ABC外接圆的半径R为. (2)因为sin∠BAD＝，∠BAD为锐角， 则cos∠BAD＝＝. 设BD＝x，则CD＝8－x，DA＝8－x， 在△ABD中， 由余弦定理得BD2＝BA2＋DA2－2BA·DAcos∠BAD，即x2＝72＋(8－x)2－2×7×(8－x)×，解得x＝3， 所以BD＝3，DA＝5. 由正弦定理＝，得＝，解得sin B＝，所以S△ABC＝BA·BC·sin B＝×7×8×＝10， 即△ABC的面积为10. 利用正弦定理、余弦定理求解综合问题 (1)三角形中的综合应用问题常常把正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等知识联系在一起，解答此类题目，首先要正确应用所学知识“翻译”题目条件，寻找三角形中的边角关系． (2)抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键． [跟踪训练3] 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.向量m＝(cos A，cos B)，n＝(b－2c，a)，且m⊥n. (1)求角A； (2)若a＝2， ①求的值； ②求△ABC周长的取值范围． 解：(1)因为m⊥n，所以m·n＝0，所以(b－2c)cos A＋acos B＝0，即bcos A＋acos B＝2ccos A，由余弦定理得b·＋a·＝2ccos A， 即c＝2ccos A，因为c≠0，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝. (2)①由正弦定理得＝＝ ＝＝， 所以＝. ②由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，即4＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc， 所以bc＝. 又b＋c≥2，当且仅当b＝c时，等号成立， 所以(b＋c)2≥4·， 即(b＋c)2≤16，所以0<b＋c≤4，当且仅当b＝c时，等号成立． 又b＋c>a＝2， 所以2<b＋c≤4. 故4<a＋b＋c≤6， 即△ABC周长的取值范围为(4，6]． 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选A.由sin C＝2sin B可得c＝2b，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝，又0°<A<180°，所以A＝30°.故选A. 2．已知a，b，c分别表示△ABC中内角A，B，C所对的边长，若A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则的值为(　　) A. B．2 C. D. 解析：选A.因为A＝60°，b＝1，S△ABC＝，所以＝×1·csin 60°，所以c＝4.由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bccos A，所以a2＝1＋16－4＝13，a＝，所以由正弦定理得＝＝＝.故选A. 3．在△ABC中，A，B，C三个内角所对的边分别为a，b，c，且a2＋c2＝b2＋ac，若b＝4，则△ABC的面积的最大值为________． 解析：由余弦定理的推论可知，cos B＝＝＝，因为B∈(0，π)，所以B＝.由余弦定理及基本不等式可知，b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac，所以ac≤b2＝16，当且仅当a＝c＝4时取等号，所以△ABC的面积为S＝acsin B≤×16×＝4.所以△ABC的面积的最大值为4. 答案：4 4．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角．证明：B－A＝. 证明：由a＝btan A及正弦定理，得＝＝，所以sin B＝cos A，因为在△ABC中B为钝角，所以A为锐角，所以sin B＝sin，所以＋A∈，则B＝＋A，即B－A＝. 1．已学习：多边形中的计算问题、平面几何中的证明问题、正、余弦定理的综合应用． 2．须贯通：结合条件能顺利选择三角形的面积公式、正确选择正弦或余弦定理结合三角形实现边与角的互化，应用转化与化归、数形结合的思想方法． 3．应注意：利用正弦定理进行边和角的正弦相互转化时易出现不等价变形． 学科网（北京）股份有限公司 $