2.5.1 向量的数量积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦向量的数量积核心知识点，从物理中力的做功实例切入，通过分解力与位移理解数量积的物理意义，抽象出数学定义，结合几何直观学习投影向量与投影数量，进而掌握运算性质及综合应用，构建完整知识支架。 该资料以问题链驱动学习，通过物理情境培养数学抽象，结合图形分析发展直观想象，例题与对点练习强化数学运算。课中助力教师引导知识建构，课后学生可借实例解析与练习巩固，查漏补缺，有效提升核心素养。

§5　从力的做功到向量的数量积 5.1　向量的数量积 学习目标 1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积，提升数学抽象、数学运算的核心素养.　2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义，培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.　3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，培养数学运算的核心素养. 任务一　向量的数量积的定义 问题1.如图所示，如果力F的方向与物体运动的方向成θ角，我们可以将力F进行分解：与位移方向平行的分力F1满足＝cos θ，物体在F1方向上产生了位移s，因而力F1对物体做的功为cos θ·｜s｜.与位移方向垂直的分力F2，由于没有使物体在该分力的方向上产生位移，因而对物体不做功.那么力F所做的功怎么表示？ 提示：力F对物体做的功为W＝cos θ.当0°≤θ＜90°时，W＞0，即力F做正功；当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功. 问题2.力对物体所做的功是向量吗？运算结果是由哪些量确定的呢？ 提示：力对物体所做的功是一个数量，它由力和位移两个向量来确定，功可以看作力F和位移s这两个向量的某种运算的结果. 向量的数量积 数量积 的定义 如图所示，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，向量a与b的夹角∠AOB记为＜a，b＞或θ(0°≤θ≤180°).｜a｜｜b｜cos θ称为a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝｜a｜｜b｜cos θ 规定 零向量与任一向量的数量积为0 常用 结论 当0°≤＜a，b＞＜90°时，a·b＞0；当＜a，b＞＝90°时，a·b＝0； 当90°＜＜a，b＞≤180°时，a·b＜0；当＜a，b＞＝0°时，a·b＝｜a｜｜b｜； 当＜a，b＞＝180°时，a·b＝－｜a｜｜b｜ [微思考]　向量的数量积的运算结果与线性运算的结果有什么不同？若a·b＜0，那么a，b的夹角一定是钝角吗？ 提示：向量的数量积的运算结果是实数，而线性运算的结果是向量；两向量的夹角为钝角或平角. [微提醒]　两个向量的数量积在书写时只能写成a·b，而不能写成a×b或ab. (链教材P108例1)已知｜a｜＝4，｜b｜＝5，a与b的夹角为θ.分别求满足下列条件时，a与b的数量积： (1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为30°. 解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝｜a｜｜b｜cos 0°＝4×5＝20. 若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝｜a｜｜b｜cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)a⊥b时，θ＝90°，a·b＝｜a｜｜b｜cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝｜a｜｜b｜cos 30°＝4×5×＝10. 学生用书⬇第77页 定义法求平面向量的数量积 1.若给出了两向量模及夹角，直接代入定义式计算. 2.计算平面图形中的向量的数量积，关键是把两向量平移到公共起点，以便准确确定两向量的夹角. 对点练1.(1)在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，则·＝(　　) A.12 B.6 C.－6 D.－12 (2)如图，网格纸上的每个小正方形的边长均为1，下列关于向量a，b，c，d的判断正确的是(　　) A.a·b＜0 B.a·d＞0 C.b·c＞0 D.b·d＝0 答案：(1)C　(2)C 解析：(1)△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝60°，的夹角为角B的补角，则·＝cos＜，＞＝AB·BC·cos 120°＝－6.故选C. (2)由向量的数量积的定义知，结合题图，a，b夹角为锐角，则a·b＞0，故A错误；a，d夹角为钝角，则a·d＜0，故B错误；b，c夹角为锐角，则b·c＞0，故C正确；b，d夹角为锐角，则b·d＞0，故D错误.故选C. 任务二　投影向量和投影数量 问题3.如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么与位移s方向一致的分力F1的大小是多少？ 提示：如图所示，F1的大小为｜F｜cos θ. 投影向量 如图，已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，过点A向直线OB作垂线，垂足为A'，得到向量γ＝，γ称为a在b上的投影向量 投影数量 ｜a｜cos＜a，b＞称为投影向量γ的数量，也称为向量a在向量b方向上的投影数量，可以表示为a· 数量积 a·b的 几何意义 b的长度｜b｜与a在b方向上的投影数量｜a｜cos θ的乘积，或a的长度｜a｜与b在a方向上的投影数量｜b｜cos θ的乘积 [微提醒]　a在b上的投影向量，可能与b同向，可能反向，也可能为0，它的方向取决于θ角的范围. (链教材P108例1)在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，D为BC的中点. (1)求·； (2)求在方向上的投影数量；在方向上的投影数量. 解：(1)依题意，知，的夹角＜，＞＝120°， 所以·＝｜｜｜｜·cos＜，＞＝2×2×＝－2. (2)如图所示，连接AD.因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC. 又AB＝2，∠ABC＝30°，所以CD＝BD＝AB cos 30°＝.由图可知的夹角为∠ABC的补角，所以向量的夹角为150°. 方向上的投影数量为｜｜cos 150°＝2×＝－. 方向上的投影数量为｜｜cos 150°＝×＝－. 1.投影数量是一个数，可正、可负、可为零. 2.计算投影数量时要分清“谁是投影线”，即a在b方向上的投影数量为｜a｜cos θ＝a·；b在a方向上的投影数量为｜b｜cos θ＝b·. 对点练2.(1)已知平面向量a，b是非零向量，｜b｜＝2，a，b夹角为120°，则向量b在向量a方向上的投影数量为(　　) A.1 B.－1 C.2 D.－2 (2)已知非零向量a，b满足＝，且向量b在向量a上的投影向量是a，则向量a与b的夹角是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)向量b在向量a方向上的投影数量为｜b｜cos 120°＝2×＝－1.故选B. (2)因为＝，向量b在向量a上的投影向量是a，所以cos＜a，b＞·＝a＝a＝a，则cos＜a，b＞＝，即cos＜a，b＞＝，且＜a，b＞∈，则＜a，b＞＝.故选A. 学生用书⬇第78页 任务三　数量积的运算性质 问题4.类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？ 提示：交换律、与数乘的结合律、加法的分配律. 问题5.结合数量积公式a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞，若b＝e(e为单位向量)，或b＝a时，你能得到什么结论呢？你能通过公式的变形得到cos＜a，b＞吗？ 提示：当b＝e(e为单位向量)时，a·e＝e·a＝｜a｜cos＜a，e＞；当b＝a时，a·a＝｜a｜2，即｜a｜＝； cos＜a，b＞＝(｜a｜｜b｜≠0). 数量积 的运算律 对任意的向量a，b，c和实数λ： (1)交换律：a·b＝b·a； (2)与数乘的结合律：λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)； (3)关于加法的分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 数量积 的性质 (1)若e是单位向量，则a·e＝e·a＝｜a｜cos＜a，e＞； (2)若a，b是非零向量，则a·b＝0⇔a⊥b； (3)a·a＝｜a｜2，即｜a｜＝； (4)cos＜a，b＞＝(｜a｜｜b｜≠0)； (5)｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，当且仅当a∥b时等号成立 [微思考]　对于任意的向量 a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)一定成立吗？为什么？ 提示：不一定成立.因为a·b，b·c均为实数，(a·b)c为向量c的共线向量；a(b·c)为向量a的共线向量，而向量a，c未必共线，所以不一定成立. (链教材P109例2)已知＝4，＝3，·＝13. (1)求a与b的夹角； (2)若a在b方向上的投影向量为c，求c·的值. 解：(1)因为·＝13， 所以4－4a·b－3＝13， 即64－4a·b－27＝13， 所以a·b＝6，所以cos＜a，b＞＝＝， 所以＜a，b＞＝60°. (2)因为c＝cos＜a，b＞＝b，所以c·＝b·＝a·b＋b2＝4＋6＝10. 1.求解向量的模：就是要灵活应用a2＝｜a｜2，即｜a｜＝，勿忘记开方. 2.求向量的夹角：主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及｜a｜，｜b｜的值，然后代入求解，也可以寻找｜a｜，｜b｜，a·b三者之间的关系，然后代入求解. 对点练3.(1)已知向量a，b满足＝3，＝2，且a⊥，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. (2)已知向量a，b满足＝2，＝，则向量a在向量b方向上的投影数量为(　　) A.1 B.2 C. D. 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为a⊥，＝3，所以a·＝｜a｜2＋a·b＝0，所以a·b＝－｜a｜2＝－9，所以cos＜a，b＞＝＝－，故夹角为.故选D. (2)将＝两边同时平方，可得a2＋2a·b＋b2＝a2－4a·b＋4b2，得a·b＝b2＝2，故向量a在向量b方向上的投影数量为＝1.故选A. 任务四　向量数量积的综合应用 已知向量a，b，c满足＝1，＝2，c＝a－b，且c⊥a. (1)求向量a与b的夹角； (2)求. 解：(1)由c＝a－b且c⊥a，可得(a－b)·a＝a2－a·b＝0， 所以a·b＝a2，又＝1，＝2， 则cos＜a，b＞＝＝＝＝， 因为＜a，b＞∈[0，π]，所以＜a，b＞＝， 即向量a与b的夹角为. (2)因为＝1，＝2，且a·b＝a2＝1， 所以＝9a2＋b2＋6a·b＝9＋4＋6＝19， 所以＝. 学生用书⬇第79页 数量积的综合问题 1.与垂直问题有关时，主要利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量). 2.与模有关的问题通常进行“模方”运算；与夹角有关时，利用夹角公式. 对点练4.(1)若向量a，b满足＝1，⊥b，⊥a，则＝(　　) A. B. C.2 D.3 (2)(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　) A.＝2 B.a·b＝－2 C.⊥ D.＝1 答案：(1)A　(2)AC 解析：(1)由已知有·b＝·a＝0，故0＝2·b－·a＝2－＝2b2－a2.所以＝a2＝2b2＝2＝2×12＝2，故＝.故选A. (2)对于A，依题意，知b＝－2a＝－＝，则＝＝2，故A正确；对于B，a·b＝·＝·cos 120°＝×2×2×＝－1，故B错误；对于C，·＝·b＝4a·b＋b2＝4×＋22＝0，则⊥，故C正确；对于D，＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋4＝7，即＝，故D错误.故选AC. 任务再现 1.向量的数量积的定义.2.投影向量和投影数量.3.数量积的运算性质.4.向量数量积的综合应用 方法提炼 定义法、转化与化归思想方法、数形结合思想方法 易错警示 向量夹角共起点；a·b＞0不能得到两向量夹角为锐角(易忽视零角)，a·b＜0不能得到向量夹角为钝角(易忽视平角) 1.已知向量a与向量b的夹角为60°，｜a｜＝4，｜b｜＝5，则a·b＝(　　) A.20 B.10 C.5 D.5 答案：B 解析：因为向量a与向量b的夹角为60°，｜a｜＝4，｜b｜＝5，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos 60°＝4×5×＝10.故选B. 2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝8，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影数量为(　　) A.4 B.－4 C.2 D.－2 答案：A 解析：因为｜a｜＝6，｜b｜＝8，a与b的夹角为60°，所以向量b在a方向上的投影数量为｜b｜cos 60°＝8×＝4.故选A. 3.已知向量a和b的夹角为120°，且＝2，＝5，则·a＝(　　) A.12 B.8＋ C.4 D.13 答案：D 解析：因为向量a和b的夹角为120°，且＝2，＝5，则·a＝2a2－b·a＝2－cos 120°＝2×22－5×2×＝13.故选D. 4.已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝　　　　. 答案： 解析：依题意，得a·b＝1×1×cos 45°＝.由向量垂直的充要条件可得(ka－b)·a＝0，即k·a2－a·b＝k－＝0，解得k＝. 学科网（北京）股份有限公司 $