2.5.1.2 向量数量积的应用（教师版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第二册五维课堂同步复习（北师大版）

数学s·必修第二册 由已知a,b不共线，可得入k=1,k=入， :A正=A店+B花-A店+B武 解得k=λ=1， 因此，实数的取值范围是 -店+子（心-）=号店+3 {5±百，》 2 :D成=2A,A币=号A成。 素养培优 SU YANG PEI YOU D苑-A应-A市-号A店+}AC-子A店 14.如图，在△ABC中，AB=2, AC=3,∠BAC=60°，DB= 子店+a. (2),AB=2,AC=3,∠BAC=60°， 2 AD.CE=2 EB. (1)试用AB和AC表示DE; A店：AC=2X3×号=3 (2)求AE·DE的值。 ∴A.D=(3AC+号A商·(A+A) 解：(1)：CE=2EB, 号A花+号A店+}AC.A店=号×9+号×4+ 脏-}就， 号×8-8 第二课时向量的数量积的应用 课程标准 素养解读 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 通过引入平面向量数量积的运算律，体会数学 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明 抽象及数学运算素养的生成过程 课前。预习学案 对应学生用书P81 [情境引入] 解析：B[:(a+b)⊥(a-b),.(a+b)·(a-b) 没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权 =0,∴.a2-b|2=0,∴.a=b.] 利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习 2.已知a=2,|b|=1,a与b之间的夹角为60°，则 生活环境…可见，世间事物往往要遵循一定的规律 a-4b= () 和法则才能生存.初中我们学过实数的乘法运算及乘 A.2B.2√3C.6D.12 法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运 解析：B[,a-4b2=a2-8a·b+16b 算律呢？ =22-8X2×1×cos60°+16×12=12， 提示：a·b=b·a .a-4b=2√5.] (a)b=a·(b)=λ(a·b) 3.非零向量a,b满足a=|b=a十b,则a,b的夹 [知识梳理] 角为 [知识点]向量的夹角（与垂直） 解析：由a=b=a+b, 1.设非零向量a,b的夹角为(a,b)=0,当a=b时，有 所以a2=a十b2, a·a=|a·a|·cos0=|a·al.则|a 所以a2=a2+2a·b+|b2, =√a·a, 2.设非零向量a,b的夹角〈a,b〉=0，则cos0= 得ab=b, Ta·1b.a⊥b=a·b=0. a·b 所以a·b=a·bcos=-2b12, [预习自测] 所以c0s=一2，又9c[0,,所以0=受 3 1.已知非零向量a,b满足(a+b)⊥(a一b),则( A.a=b B.al=b 答案弩 C.a⊥b D.a∥b ·136· 第二章平面向量及其应用 课堂。互动学案 对应学生用书P81 题型一 求向量的模 (2)由题意，知a·b=a1bcos0=4cos0=2, [例1]已知向量a、b满足|a=2,b=3,a十b1 即c0s0=子又0≤0长x,所以0=号 4,求a-b. [答案](1)B(2)C [思路点拨]要求a一b,利用模长公式a一b 规律方法 =√a-2a·b+b2,只需求2a·b即可. (1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使 [解]由已知，a十b=4,∴.a+b2=42, 两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照 .a2+2a·b+b2=16. ① “一作二证三算”的步骤求出. a=2,b=3, (2)特别地，a与b的夹角为0，入1a与入2b(入1，d2是 .a2=a2=4,b2=|b12=9, 非零常数)的夹角为0。，当入1入2<0时，0。= 代入①式得4+2a·b+9=16,即2a·b=3. 180°-0；当入1入2>0时，0。=8. 又，(a-b)2=a2-2a·b十b2=4-3+9=10, ◇[变式训练] ∴.a-b=√10 2.已知a=9,b=6√2，a·b=一54，则a与b的 规律方法 夹角0为 此类问题直接套用公式求解即可· A.45 B.135° C.120° D.150° (1)a·a=a2=a2或a=√a·a. 解析：B [cos 0=TaTbT9x62 a·b -54 的 2 (2)la±b=√a±2a·b+b. 0°≤0≤180°，.0=135°. ◇[变式训练] 题型两向量的垂直与夹角问题 1.已知a=4,b=8,a与b的夹角是120°.计算 [例3]已知非零向量a,b满足a+3b与7a一5b互相垂 (1)a+b;(2)4a-2b. 直，a一4b与7a-2b互相垂直，求a与b的夹角. 解：由已知，a·b=4×8× -16. [思路点拨]首先转化向量的两个垂直关系，得 (1).a+b2=a2+2a·b+b 出中同给论与o9后治联立求架 =16+2×(-16)+64=48, .a+bl=43. [解] 由已知条件得a+3b)·(7a-5b)=0, 1(a-4b)·(7a-2b)=0. (2)4a-2b12=16a2-16a·b+4b ① =16×16-16×(-16)+4×64=3×16 即7a+16a·b-15b=0 {7a2-30a·b+8b2=0 ② .4a-2b=16√5. ②-①得23b2-46a·b=0, 题型二 向量的夹角 .2a·b=b2,代入①得a=b2,∴.a=|b, [例2] (1)已知向量|a=10,1b=12,且a·b 一60，则向量a与b的夹角为 设向量a,b的夹角为0，则cos0=a·b Tabb A.60 B.120° C.135 D.150° (2)已知向量a,b满足a=1,b=4,且a·b=2, :0c[0,]0=号 则a与b的夹角0= A哥 B至 一向量a与b的夹角为子 规律方法 c晋 D受 (1)通常用两向量垂直来列方程，达到化简条件或 求值的目的. [思路点拨]求向量的夹角的关键是计算a·b (2)要求a与b的夹角，只要求出a、b|及a·b 及ab|,在此基础上结合数量积的定义或性质 a·b 计算cos0= a6,最后借助9c[0,],求出6 a·b 即可.注意向量夹角范围.由c0s0=日6 (其中a、b是非零向量，0为a与b的夹角)判 值、 定0的大小时，有五种可能情形：①当cos=1 [解析](1)设a与b的夹角为0， 时，0=0°；②当cos0=0时，0=90°；③当cos0= a·b -60 1 -1时，0=180°；④当cos0<0且c0s0≠-1 则cos0=1a4:1b=10X12=-2, 时，0为钝角；⑤当c0s0>0,且cos0≠1时，0 .0=120°. 为锐角. ·137 数学s·必修第二册 ◇[变式训练】 2t=入， [入=一√14， 3.已知a=2.b=1,(a十b)L(a-b求a与b {7=λt, √/14 故实数t的取值范围是 (<0, t二 2 的夹角大小 7,- 14 √14 2 2 规律方法 :a+b…(a- 1.求向量夹角时需求得a,b及a,b或它们之 间的关系，再代入夹角公式即可，注意夹角的范 即a-2ab=0 围是[0，x]. 2.灵活应用a=a,这给出了解决与模有关问 :a2=a2=4,b=|b2=1, 题的思路， 设向量a与b的夹角为0， ⊙[变式训练] 54-3cos0-号=0.c0s0=2 4.已知向量a,b,c,满足a+b+c=0,且a=3,lb =5,cl=7. 又0∈[0，x]. (1)求a与b的夹角0： 六a与b的夫角0为景 (2)是否存在实数使ua+b与a-2b垂直？ 解：(1)a十b十c=0, 题型四 数量积的综合应用 ..a+b=-c,..a+b=cl, ∴.(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2, [例4]设两个向量e1e2满足|e1=2.|e2|=1,向 量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1十7e2与e1+ ∴a…b=c2-a2-b 2 te2的夹角0为钝角，求实数t的取值范围. =1c3-a2-12=49-9-25_1 2 思路点拨]首先根据夹角公式得出关于t的一 又，a·b=|al|bcos0, 元二次不等式，然后解不等式，注意两向量共线的 情况 5-8×5Xc0s0, [解]由向量2e1+7e2与e1十e2的夹角0为钝 cos0=合即060， ,得s620 (2).(a+b)⊥(a-2b), .(a+b)·(a-2b)=0, .(2te1+7e2)·(e1+te2)<0. ∴a2-2b2-2a·b+a·b=0, 化简得2r+15x+1<0,解得-7<1<-2 ÷94-2X25-2μ×5+15=0， 、22 当夹角0为元时，也有(2te1+7e2）·(e1+e2)<0, 但此时夹角不是钝角. =2 设2te1+7e2=入(e1十te2),A<0, .存在u= 使得m十b与a-2b套直. 随堂⊙步步夯实 对应学生用书P83 1.下面给出的关系式中正确的个数是 又a=bl=1,.ab=2, 1 ①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④a·b ≤a·b⑤(a·b)2=a2·b2. 0=7即cos0= A.1B.2C.3D.4 解析：C[①②③正确，④错误，因为(a·b)2= 又0e[0,x],a,b的夹角为5.] (a1bcos)2=a·bcos20,⑤错误.故选C.] 3.若|a=4,b=2,(b+a)·(b-a)=3a·b,则向 2.设向量a,b满足|a=b=1及3a-2b|=√7，则 量a与向量b夹角为 () a,b的夹角为 ) A吾B答C平D A营B号C浮n爱 解析：B[:a=4,b=2,(b十a)·(b-a)=3a 解析：A[设a与b的夹角为0， ·b,.b2-a2=3a·b=4-16=-12,故3a·b= 由题意得(3a一2b)2=7, 一12，得a·b=-4,设向量a与向量b的夹角为0， ∴.9a|2+4|b|2-12a·b=7, 则s9:。克子时9等故选] ·138· 第二章平面向量及其应用 4.在△ABC中，M是BC的中点，AM=3,点P在 5.在△ABC中，AB⊥AC,CD=(√2-1)BC,AC· AM上，且满足AP=2PM,则PA·(PB+PC)= AD=42,求AC. 解析：如图，由AM=3, 且AP=2PM,可知AP|=2. 解：AB⊥AC,.AB.AC=0,CD=W2-1)BC, ,M为BC的中点， ..BD=/2BC..AC.AD=AC.(AB+BD)= ∴.PB+PC=2PM=AP, .PA·(PB+PC)=PA·AP AC.BD=√2AC.BC=√2AC,(AC-AB)= =-AP=-AP12=-4. 答案：一4 √2AC2=42,∴.|AC=2. ● 课后⊙素养提升 对应学生课时P52 基础过关 5.已知非零向量m,n满足4m=3n,cos(m,n》= JI CHU GUO GUAN 1.设e和e2是互相垂直的单位向量，且a=3e1十 名若nlm十a),则实数：的值为 2e2,b=-3e1十4e2,则a·b等于 ( A.-2 A.4 B.-4 B.-1 C.1 D.2 c D￥ 解析：B[因为e1|=e2|=1,e1·e2=0, 所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1十4e,)=-9e2 解析：B[由题意知cos(m,m)=m·n=m·n +8|e212+6e·e2=-9×12+8×12+6×0= m阿辛m -1.] 1 2.已知a,b方向相同，且a=3,b=4,则|2a+b= 3 A.10 B.100 所以mn=子n=,图为n(m+n)=0, C.11 D.121 解析：A[,2a+b12=4a2+b2+4a·b=36+16 所以m·n十n=0,即子m十n2=0,所以1 +48=100,.2a+b=10.] -4.] 3.设向量a,b满足a十b|=√10，a-b|=√6，则a·b 6.(多选)已知两个非零向量a,b满足|a+b=a一b, 等于 A.1 B.2 则下面结论错误的是 ) C.3 D.5 A.a∥b B.ab 解析：A[|a+b12=(a+b)2=a2+2a·b十b2 C.al=b D.a+b=a-b =10, 解析：ACD[由a十b=a-b可得a·b=0, |a-b2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=6, .a⊥b,B正确.] 将上面两式左右两边分别相减，得4a·b=4, .a·b=1.] 7.已知a=1,b=√2，且(a+b)与a垂直，则a与b 4.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB 的夹角是 OC)·(OB+OC-2OA)=0,则△ABC的形状为 解析：，(a十b)·a=a2十a·b=0,∴.a·b=-a ( =-1, A.等腰三角形 B.直角三角形 设a与b的夹角为0， C.正三角形 D.等腰直角三角形 解析：A[因为(OB-OC)·(OB+OC-2OA) s9日洛1汉方 =0, 即CB·(AB+AC)=0, 又c[0]0-平 又因为AB-AC=CB, 答案： 所以(AB-AC)·(AB+AC)=0, 即AB=|AC, 8.已知正方形ABCD的边长为2，则AB·(AC+ 所以△ABC是等腰三角形.] AD)= ·139· 数学s·必修第二册 解析：正方形ABCD的边长为2， 能力提升 NENG LI TI SHENG AB·(AC+AD)=AB·(AB+2AD) 12.已知a=4,b1=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. =AB十2AB·AD=4. (1)求a+bl; (2)求向量a在向量a+b方向上的投影数量. D 解：(1)(2a-3b)·(2a+b)=4a-3b2-4a·b= 4×16-3×9-4a·b=61,解得a·b=-6, .a+b|2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13, 答案：4 ∴.a+b=√13. 9.若|a=1,b=2,c=a十b且c⊥a,则向量a与b (2)设a与a十b的夹角为0，a·(a+b)=a+a·b= 的夹角为 ,(a-b)·c= 解析：由c⊥a,得a·c=0,所以a·c=a·（a十b) 4X丽2√后则a在a+b方向上 10,cos0=10 -5 =0,即a2十a·b=0.设向量a与b的夹角为0，则 的投影数量为acos0=4X5=10W3 2√/13 13 s9日治a。=日所以向量a与6的 一a2 13.已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互 夹角0=120°. 之间的夹角均为120°. (a-b)·c=(a-b)(a+b)=a2-b2=1-4=-3. (1)求证：(a-b)⊥c; (2)若|ka+b+c>1(k∈R),求k的取值范围. 答案：120°-3 解：(1)因为a=|b|=|c=1,且a、b、c之间的 10.已知a=b=5,向量a与b的夹角0为号，求 夹角均为120°，所以(a-b)·c=a·c-b·c =|al|ccos120°-|bl|ccos120°=0， a+bl,a-bl. 所以(a-b)⊥c. 解：a·b=abms9=5X5X号-要 (2)因为|ka+b+c|>1,所以(ka+b+c)2>1, 即2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, |a+b=√(a+b)=√Ja2+2a·b+b 所以k2+1+1+2kcos120°+2kcos120°+2c0s120 √25+2×2+25=55. >1. 所以一2k>0,解得k<0或>2. |a-b|=√(a-b)=√a2-2a·b+b 所以实数k的取值范围为{k<0,或>2}. 25-2x号+25=5. 素养培优 SU YANG PEI YOU 11.已知非零向量a,b,满足a=1,(a-b)·(a+b) 14.(1)若AB·BC+AB=0,试判断三角形ABC的 形状； =且ab=2 (2)若M为△ABC所在平面内一点，且满是(MB (1)求向量a,b的夹角；(2)求a-b. -M)·(MB+M元-2MA)=0,试判断△ABC 解：1)r(a-b)(a+b)= 的形状. 解：(1)：AB·BC+AB=AB·(AB+BC)= a-6=7,即a2-b=2 AB.AC=0, 又a=1b1-g ∴.AB⊥AC,即∠A=90°， 三角形ABC是直角三角形. 设a,b)=0, (2)由(MB-MC)·(MB+MC-2MA)=0,可得 ab分aaos9=名∴os0-9 CB.(AB+AC)=0. 又AB-AC=CB, .向量a,b的夹角为45°. ..CB.(AB+AC)=(AB-AC).(AB+AC) (2).|a-b2=(a-b)2=|a2-2a|bcos0+ =AB-A亡=1AB12-AC12=0. 1b=子a-b1- 21 即AB=AC,由此可得△ABC是等腰三角形. ·140·