2.5.2 向量数量积的坐标表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦向量数量积的坐标表示核心知识点，从向量坐标出发推导数量积公式，延伸至向量模、夹角、垂直的坐标运算，构建“公式推导—性质应用—实际问题解决”的学习支架，衔接向量基本概念与坐标运算的知识脉络。 资料以问题驱动引导探究，通过例题与对点练强化数学运算，借助夹角公式推导培养逻辑推理，应用案例（如点到直线距离）提升数学应用意识。课中辅助教师清晰授课，课后帮助学生通过任务再现和练习查漏补缺，深化核心素养。

5.2　向量数量积的坐标表示 学习目标 1.能用坐标表示平面向量数量积，会进行平面向量数量积的坐标运算，提升数学抽象、数学运算的核心素养.　2.能用坐标表示向量的模、两个向量的夹角、垂直，并能够用向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题，培养数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　向量数量积的坐标表示 问题1.已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a与b的坐标表示a·b呢？ 提示：如图所示，在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，则a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i·i＋x1y2i·j＋x2y1j·i＋y1y2j·j，因为i·i＝j·j＝1，i·j＝j·i＝0，所以a·b＝x1x2＋y1y2. 　　已知两个向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　) A.3 B.－3 C.10 D.－10 (2)已知a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)因为a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.故选D. (2)依题意，得8a－b＝(6，3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，所以18＋3x＝30，解得x＝4.故选B. 学生用书⬇第80页 1.在给出向量或点的坐标时，一般用坐标计算数量积. 2.计算与几何图形有关的数量积，只要具备建立坐标系的条件，一般建系利用坐标进行计算. 对点练1.(1)设平面向量a＝，b＝，若a与b不能作为平面向量的一组基底，则a·b＝(　　) A.－6 B.0 C.2 D.10 (2)如图，在方格边长为1的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点上，则 b·＝(　　) A.－8 B.8 C.－6 D.6 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)因为a与b不能作为平面向量的一组基底，所以a∥b，又a＝，b＝，所以4－2m＝0，故m＝2，所以b＝，所以a·b＝4×2＋2×1＝10.故选D. (2)如图所示，建立平面直角坐标系，则a＝，b＝，c＝，则 a＋c＝， 所以b·＝－1＋＝－8.故选A. 任务二　向量的模与夹角的坐标运算 问题2.根据数量积的坐标表示，已知a＝(m，n)，如何计算｜a｜？ 提示：a＝(m，n)＝mi＋nj，其中{i，j}为平面的一组单位正交基，则｜a｜2＝a2＝(mi＋nj)·(mi＋nj)＝m2i2＋2mni·j＋n2j2＝m2＋n2，故｜a｜＝. 问题3.已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， (1)若a，b均为非零向量，＜a，b＞记为θ，如何计算cos θ的值？ (2)a⊥b的充要条件如何表示？ 提示：(1)因为｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝x1x2＋y1y2，所以cos θ＝＝(｜a｜｜b｜≠0). (2)若a⊥b时，a·b＝0，则x1x2＋y1y2＝0，所以a⊥b的充要条件为x1x2＋y1y2＝0. 向量的模 的坐标表示 (1)设a＝(x，y)，则｜a｜2＝x2＋y2，或｜a｜＝. (2)如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，｜a｜＝｜｜＝.这就是平面直角坐标系中两点间的距离公式 两向量夹 角公式的 坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝(｜a｜｜b｜≠0). 特别地，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 [微提醒]　设a＝(x，y)，则与a共线的单位向量为±. (链教材P110例3)(1)已知向量a＝，b＝，且＝，则x的值是(　　) A.－6 B.6 C.－ D. (2)已知向量a＝，b＝且⊥b，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)B 解析：(1)a＋b＝＋＝，a－b＝－＝，由＝，得＝，解得x＝6.故选B. (2)因为a＝，b＝，所以b－2a＝，又⊥b，所以·b＝0，则x2－1＝0，解得x＝±1，则b＝，所以cos＜a，b＞＝＝＝，又＜a，b＞∈，所以＜a，b＞＝.故选B. 1.求向量的模：通常用a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝＝，实现实数运算与向量运算的相互转化. 2.求向量的夹角：利用公式cos θ＝＝，但应注意夹角的范围. 对点练2.(1)设x∈R，向量a＝，b＝，且a⊥b，则＝(　　) A. B.2 C. D.10 (2)(多选题)已知点A，B，C，其中y∈R，则(　　) A.若A，B，C三点共线，则y＝1 B.若⊥，则y＝3 C.若＝，则y＝2－ D.当y＝2时，＜，＞＝ 答案：(1)C　(2)ABD 解析：(1)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2＝0，所以x＝－2，则a＋b＝，所以＝＝.故选C. (2)因为A，B，C，其中y∈R，则＝，＝.对于A，若A，B，C三点共线，则∥，则2＝－2，解得y＝1，故A正确；对于B，若⊥，则·＝2－2＝6－2y＝0，解得y＝3，故B正确；对于C，若＝，即＝，可得＝7，解得y＝2＋或y＝2－，故C错误；对于D，当y＝2时，＝，则cos＜，＞＝＝＝，因为0≤＜，＞≤π，故＜，＞＝，故D正确.故选ABD. 学生用书⬇第81页 任务三　向量数量积的坐标表示的应用 (链教材P110例4)已知点A(2，1)，向量m＝(1，1)，过点A作以向量m为方向向量的直线l，求点P(1，2)到直线l的距离. 解：设n⊥l，即n⊥m，作向量，设n＝(x，y)， 因为直线l的方向向量为m＝(1，1)，n⊥m， 所以n·m＝(x，y)·(1，1)＝0，即x＋y＝0，令x＝1，得y＝－1，n＝(1，－1)， 因为A(2，1)，P(1，2)， 所以＝(1，2)－(2，1)＝(－1，1)， 则点P到直线l的距离d＝ ＝＝. 用向量法求点到直线的距离的步骤 　　设A是直线l上一点，m是l的方向向量，求直线l外一点P到直线l的距离的步骤如下： 第1步：设向量n＝(x，y)与直线l垂直，即n⊥m，利用n·m＝0得到x，y满足的方程，取其中一组解得到n； 第2步：求出与向量n同方向的单位向量n0＝的坐标； 第3步：利用公式求得点P到直线l的距离d＝｜·n0｜. 对点练3.(1)已知点A(2，1)，向量m＝(2，－2)，过点A作以向量m为方向向量的直线l，则点P(－3，4)到直线l的距离为　　　　. (2)已知点A(1，1)，B(2，－1)，则点P(3，5)到直线AB的距离为　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)设n⊥l，即n⊥m，作向量，设n＝(x，y)，因为直线l的方向向量为m＝(2，－2)，n⊥m，所以n·m＝(x，y)·(2，－2)＝0，即x－y＝0，令x＝1，得y＝1，n＝(1，1).因为A(2，1)，P(－3，4)，所以＝(－3，4)－(2，1)＝(－5，3)，则点P到直线l的距离d＝＝＝. (2)设n⊥AB，即n⊥，设n＝(x，y)，由于直线AB的方向向量为＝(1，－2)，又n⊥，则n·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，令x＝2，则y＝1，n＝(2，1).由于A(1，1)，P(3，5)，所以＝(2，4)，故点P(3，5)到直线AB的距离d＝＝＝. 任务再现 1.平面向量数量积的坐标表示.2.向量的模.3.a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量).4.cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角).5.向量数量积的坐标表示的应用 方法提炼 公式法、坐标法、转化与化归思想方法、数形结合思想方法 易错警示 两个向量夹角的余弦公式易记错；a⊥b与a∥b的坐标形式的充要条件易混淆 1.已知平面向量a＝，b＝，则a·b＝(　　) A.－7 B.－5 C.1 D.5 答案：C 解析：因为a＝，b＝，所以a·b＝3×1＋1×＝1.故选C. 2.已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝3×1－1×(－2)＝5，所以cos＜a，b＞＝＝＝.又a，b的夹角范围为[0，π]，所以a与b的夹角为.故选B. 3.已知向量a＝，b＝，若⊥b，则λ＝(　　) A.－2 B.0 C.1 D.2 答案：D 解析：由于a＝，b＝，故·b＝λa·b－b·b＝λ－2.因为⊥b，所以·b＝0，即λ－2＝0，所以λ＝2.故选D. 4.已知平面向量a＝，b＝，且a⊥b，则＝　　　　. 答案：5 解析：由a⊥b，得a·b＝0，即4＋m＝0，解得m＝－4，所以a＝，则a＋b＝，所以＝＝5. 学科网（北京）股份有限公司 $