1.7.3 正切函数的图象与性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

7.3　正切函数的图象与性质 学习目标 1.能画出y＝tan x的图象，培养数学抽象、直观想象的核心素养.　2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及其在区间内的单调性，培养数学抽象的核心素养.　3.能利用正切函数的图象与性质解决简单问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　正切函数的图象 问题1.类比画正弦函数图象的方法，你能画出函数y＝tan x在的图象吗？你能画出函数y＝tan x的图象吗？ 提示：(1)选取长度为一个周期的连续区间. (2)列表： x － － － 0 y＝tan x － －1 － 0 1 (3)描点：用光滑曲线顺次连接，就可以得到函数y＝tan x在区间上的图象. (4)将所得图象向左右平移，每次平移π个单位长度，即得y＝tan x的图象(如图所示). 正切函数的图象 1.正切函数的图象称作正切曲线，正切曲线各支的渐近线方程为x＝＋kπ(k∈Z). 2.正切函数的图象： [微思考]　正切函数的图象为什么不是连续的？各支的渐近线为什么是x＝＋kπ(k∈Z)？ 提示：正切函数的定义域为.且周期为π，所以它的图象不连续，且各支的渐近线为x＝＋kπ(k∈Z). 观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1)tan x＞0；(2)tan x＝0；(3)tan x＜0. 解：作正切函数y＝tan x的图象如下： 观察图象可知： (1)当kπ＜x＜＋kπ，k∈Z时，图象位于x轴上方，即tan x＞0， 所以tan x＞0的解集为. (2)x＝kπ，k∈Z为正切函数的零点，即tan x＝0， 所以tan x＝0的解集为{x｜x＝kπ，k∈Z}. (3)当－＋kπ＜x＜kπ，k∈Z时，图象位于x轴下方，即tan x＜0， 所以tan x＜0的解集为. 解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 1.作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案. 2.性质法：研究相关函数的性质，排除相关选项，从而确定正确答案. 对点练1.(1)如图所示的图形分别是①y＝｜tan x｜；②y＝tan x；③y＝tan(－x)；④y＝tan｜x｜在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) 学生用书⬇第43页 A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ (2)(多选题)与函数y＝tan 的图象不相交的直线的方程是(　　) A.x＝ B.x＝－ C.x＝ D.x＝－ 答案：(1)D　(2)AD 解析：(1)y＝｜tan x｜≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a符合，即a对应①，易知y＝tan x在内的图象为图象b，即b对应②，故排除B、C选项.y＝tan(－x)＝－tan x在上单调递减，只有图象d符合，即d对应③，故排除A选项.故选D. (2)令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，所以直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan 的图象不相交，结合选项可知A、D符合.故选AD. 任务二　正切函数的性质 问题2.我们已经知道y＝tan x是周期为π的奇函数，观察正切曲线，回答下列问题. (1)正切函数是否存在单调递减区间？ (2)正切函数是否存在对称轴？ (3)正切函数是否存在对称中心？若存在，对称中心一定在正切曲线上吗？ 提示：(1)不存在单调递减区间.正切函数在每一个开区间(k∈Z)上都单调递增. (2)不存在对称轴.(3)存在对称中心，但对称中心不一定在正切曲线上. 正切函数的性质 函数 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 周期性 最小正周期是π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间，k∈Z上单调递增 对称性 对称轴：无 对称中心：(k∈Z) [微思考]　正切函数在定义域内是增函数吗？正切函数是否有最大值、最小值呢？ 提示：不能说正切函数在整个定义域内单调递增，只能说成正切函数在每一个区间(k∈Z)上单调递增，正切函数的图象向上、向下无限伸展没有最大值、最小值. (链教材P62例4)设函数f(x)＝tan. (1)作出函数y＝f(x)在一个周期内的图象； (2)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间. 解：(1)令－＝0，则x＝； 令－＝，则x＝； 令－＝－，则x＝－. 所以函数f(x)＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝. 从而得函数y＝f(x)在一个周期内的图象如下： (2)由－≠＋kπ，得x≠＋2kπ(k∈Z)， 所以函数f(x)的定义域是， 因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π， 由－＋kπ＜－＜＋kπ(k∈Z)，得－＋2kπ＜x＜＋2kπ(k∈Z). 所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z). 所以函数f(x)的定义域是，最小正周期为2π，单调增区间为(k∈Z)，无单调减区间. 解答正切函数图象与性质问题的注意点 1.对称性：正切函数图象的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴. 2.单调性：正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增，但不能说其在定义域内单调递增. 3.在判断函数f(x)＝tan(ωx＋φ)(ω＜0)的单调性或求单调区间时，要注意首先利用诱导公式把x的系数化为正数. 学生用书⬇第44页 对点练2.(1)函数f(x)＝tan的定义域是(　　) A. B.R C. D. (2)(多选题)已知函数f(x)＝tan，则(　　) A.f(x)的最小正周期为4π B.f(x)的图象关于点对称 C.将f(x)的图象向左平移个单位，所得图象的解析式为y＝tan D.f＞f 答案：(1)D　(2)BD 解析：(1)由于正切函数y＝tan x的定义域为，故对于函数f(x)＝tan，令3x－≠＋kπ，k∈Z，则x≠＋，k∈Z，故f(x)＝tan.故选D. (2)由f(x)＝tan，可得函数f(x)的最小正周期为T＝＝2π，故A错误；由x－＝，k∈Z，可得x＝＋kπ，k∈Z，所以f(x)的图象关于点，k∈Z对称，当k＝0时，可得对称中心为，故B正确；将f(x)的图象向左平移个单位得到f＝tan＝tan的图象，故C错误；f＝tan＝tan ，f＝tan＝tan ，又g(x)＝tan x在x∈(－，)上单调递增，－＜＜＜，所以tan ＞tan ，即f＞f，故D正确.故选BD. 任务三　正切函数性质的综合应用 函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π，且图象关于点M对称. (1)求f(x)的单调区间； (2)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 解：(1)依题意，知函数f(x)的最小正周期为T＝＝π， 因为ω＞0，所以ω＝1，所以f(x)＝tan(x＋φ)， 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以－＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z， 因为0＜φ＜，所以φ＝，故f(x)＝tan. 令－＋kπ＜x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜x＜＋kπ，k∈Z， 所以函数的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间. (2)由(1)知，f(x)＝tan.由－1≤tan≤， 得－＋kπ≤x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤. 　　正切函数的变换与正弦函数相同，一般根据函数图象的平移变换得到变换后的函数图象的解析式，最后利用正切函数图象的相关特征，用整体的观点建立对称轴、对称中心、单调区间等的方程或不等式进行求解. 对点练3.已知函数f(x)＝3tan. (1)求f(x)的单调递减区间； (2)试比较f与f的大小. 解：(1)f(x)＝3tan＝－3tan， 由kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z，得4kπ－＜x＜4kπ＋，k∈Z. 因为y＝3tan，k∈Z上单调递增， 所以f(x)＝－3tan在(4kπ－，4kπ＋)，k∈Z上单调递减. 故原函数的单调递减区间为，k∈Z. (2)f＝3tan＝3tan＝－3tan ， f＝3tan＝3tan＝－3tan ， 因为0＜＜＜，且y＝tan x在上单调递增， 所以tan ＜tan ，所以－3tan ＞－3tan，即f＞f. [教材拓展2]　结论：若α是锐角，则sin α＜α＜tan α的应用[源于教材P65B组T1(2)] (1)若α∈，则sin α，cos α，tan α的大小顺序是(　　) A.cos α＜tan α ＜sin α B.tan α＜cos α ＜sin α C.cos α＜sin α ＜tan α D.sin α＜cos α ＜tan α (2)若α，β，θ∈，且cos α＝tan α，cos β＝β，cos θ＝sin θ，则α，β，θ的大小是(　　) A.α＜θ＜β B.α＜β＜θ C.β＜α＜θ D.β＜θ＜α 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)当α∈时，＜sin α＜1，0＜cos α＜，tan α＞1，则0＜cos α＜＜sin α＜1＜tan α，则cos α＜sin α ＜tan α.故选C. (2)因为若α，β，θ∈，且cos α＝tan α，cos β＝β，cos θ＝sin θ，若＜α＜，则tan α＞1，cos α＜，显然不符合题意，若＜β＜时，0＜cos β＜＜＜β，显然不符合题意，所以0＜α＜，0＜β＜，θ＝，由题意可得，α，β可看成y＝cos x与y＝tan x，y＝x的交点的横坐标， 结合函数的图象可知，α＜β＜＝θ.故选B. 任务再现 1.正切函数的图象.2.正切函数的性质.3.正切函数的性质的综合应用 方法提炼 整体代换法、转化法、数形结合法 易错警示 最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z) 学生用书⬇第45页 1.函数y＝tan x在一个周期内的大致图象是(　　) 答案：A 解析：由正切函数的图象与性质可知y＝tan x在上单调递增，图象为A. 2.函数y＝tan的最小正周期为(　　) A. B. C. D.π 答案：A 解析：最小正周期T＝.故选A. 3.函数f(x)＝tan的定义域为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：由题意可知f(x)＝tan需满足2x＋≠＋kπ，k∈Z，即x≠＋，k∈Z，故函数f(x)＝tan.故选C. 4.比较大小：tan　　　　tan. 答案：＞ 解析：因为tan＝－tan＝tan ，tan＝－tan＝tan .又0＜＜＜，y＝tan x在内单调递增，所以tan ＜tan ，所以tan＞tan. 学科网（北京）股份有限公司 $