1.7.1-1.7.2 正切函数的定义 正切函数的诱导公式-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§7　正切函数 7.1　正切函数的定义　7.2　正切函数的诱导公式 学习目标 1.理解任意角的正切函数的定义，培养数学抽象的核心素养.　2.掌握正切函数诱导公式的推导及应用，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　正切函数的定义 问题1.设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，写出sin α，cos α的值，那么何时有意义？tan α与sin α，cos α有怎样的关系？ 提示：sin α＝b，cos α＝a；当a≠0时，有意义.tan α＝＝，α∈R，α≠＋kπ(k∈Z). 正切函数的定义 　　根据函数的定义，比值是x的函数，称为x的正切函数，记作y＝tan x，其中定义域为. [微提醒]　由定义易知：当x＝kπ，k∈Z时，tan x＝0；当x在第一、三象限时，tan x＞0；当x在第二、四象限时，tan x＜0. 学生用书⬇第40页 (链教材P58例2)(1)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点(3，4)，则角α的正切值为(　　) A. B. C. D. (2)若角θ的终边经过点A，且tan θ＝，则m＝　　　　. 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)根据公式tan α ＝ ＝ .故选B. (2)由正切函数的定义得，＝，解得m＝－. 求正切函数值的两种方法 1.先求出角的正弦函数、余弦函数值，再利用正切函数的定义求解. 2.已知角终边上的一点M(a，b)(a≠0)，利用结论tan α＝. 对点练1.(1)已知角θ的终边经过点M，且tan θ＝，则m＝(　　) A. B.1 C.2 D. (2)已知点P(y0＜0)是角α终边上一点，若cos α＝，则tan α＝　　　　. 答案：(1)D　(2)－ 解析：(1)根据题意，角θ的终边经过点M，且tan θ＝，所以m≠0，又tan θ＝＝，解得m＝.故选D. (2)cos α＝＝，又y0＜0，解得y0＝－4，所以tan α＝－. 任务二　正切函数的诱导公式 问题2.根据正切函数定义，由正弦函数、余弦函数的诱导公式，对任意整数k，有tan(x＋kπ)＝＝ 即tan(x＋kπ)＝tan x，其中x∈R，x≠kπ＋，k∈Z，你能得到什么结论呢？类比上述方法你能得到正切函数的奇偶性吗？ 提示：正切函数是周期函数，且最小正周期为π；由tan(－x)＝＝－tan x可以得到正切函数为奇函数. 问题3.根据正切函数定义以及正弦函数、余弦函数相应的诱导公式，当－＜α＜，推导角α与角π＋α，＋α的正切值有什么关系？ 提示：tan(π＋α)＝＝＝tan α，tan＝＝＝－. 正切函数的诱导公式 tan(x＋kπ)＝tan x(k∈Z)；tan(－x)＝－tan x； tan(π－x)＝－tan x；tan＝－； tan＝. [微提醒]　(1)诱导公式的记忆方法：函数名不变，符号看象限(把x看作锐角时原函数值的符号). (2)公式中的x≠kπ＋(k∈Z)且在tan＝－与tan＝中x≠kπ(k∈Z). (链教材P60例3)(1)(多选题)下列式子中，结果为－的是(　　) A.tan B.tan(－420°) C.tan D.tan 1 110° (2)cos ＋tan ＋sin ＝　　　　. 答案：(1)ABC　(2)－1 解析：(1)tan ＝tan＝tan＝－tan ＝－，故A正确；tan(－420°)＝tan(－360°－60°)＝tan(－60°)＝－tan 60°＝－，故B正确；tan ＝tan ＝tan ＝tan＝－tan ＝－，故C正确；tan 1 110°＝tan(6×180°＋30°)＝tan 30°＝，故D错误.故选ABC. (2)原式＝cos＋tan＋sin＝cos －tan －sin ＝－1－＝－1. 1.熟记诱导公式和特殊角的三角函数值是解决此类问题的基础和关键. 2.给角求值的关键是利用诱导公式将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值. 对点练2.(1)若tan＝－，则tan的值为(　　) A. B.2 C.－ D.－2 (2)若a＝tan，b＝tan ，则a，b的大小关系是　　　　(用“＞”连接). 答案：(1)D　(2)a＞b 解析：(1)由已知得tan＝－＝－，所以tan α＝2，所以tan＝－tan α＝－2.故选D. (2)a＝tan＝tan＝tan ＝－tan ＝－1，b＝tan ＝tan＝tan ＝tan＝－tan ＝－，所以a＞b. 学生用书⬇第41页 任务三　正切函数定义与诱导公式的综合应用 如图，在平面直角坐标系xOy中，钝角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心，半径为3的圆相交于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为点B，OB＝2. (1)求tan α的值； (2)求的值. 解：(1)由题意知，Rt△AOB中，｜OA｜＝3，｜OB｜＝2，则｜AB｜＝＝， 则点A(－2，)， 所以tan α＝－. (2)由(1)知tan α＝－，sin α＝， 故＝＝＝－. 　　若已知角α的终边过定点时，则首先利用任意角的三角函数的定义求出sin α，cos α，tan α，然后再利用诱导公式化成最简形式，最后代入求值. 对点练3.(1)在平面直角坐标系中，角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边过点(m，6)，且tan(－π＋α)＝－3，则cos α＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，其终边过点，角β的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则tan β＝　　　　. 答案：(1)B　(2)－ 解析：(1)因为角α的终边经过点(m，6)，且tan(－π＋α)＝tan α＝－3，所以＝－3，解得m＝－2，所以cos α＝＝－.故选B. (2)依题意，知sin α＝，cos α＝－，因为角β的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，则β＝－α＋2kπ，所以tan β＝tan＝＝＝－. 任务再现 1.正切函数的定义.2.正切函数的诱导公式.3.正切函数的定义与诱导公式的综合应用 方法提炼 公式法、转化法 易错警示 在正切函数的诱导公式中，角α可以为使等式两边都有意义的任意角 1.已知角θ的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，)，则tan θ的值为(　　) A. B.1 C. D. 答案：C 解析：因为角θ的始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，)，所以tan θ＝＝.故选C. 2.tan 300°＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：B 解析：tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－.故选B. 3.(多选题)设α∈R，则下列结论中正确的是(　　) A.tan＝－ B.tan＝－tan α C.tan＝tan α D.tan＝tan α 答案：AC 解析：对于A，tan＝－tan＝－，故A正确；对于B，tan＝tan＝，故B错误；对于C，tan＝－tan＝ tan α，故C正确；对于D，tan＝tan＝－tan α，故D错误.故选AC. 4.已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点P，且点P的纵坐标为，则tan(π－α)＝　　　　. 答案： 解析：根据题意设P(x＜0)，则有x2＋＝1⇒x＝±，因为x＜0，所以x＝－，即P，所以tan(π－α)＝－tan α＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $