1.6.3 探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

6.3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中A对图象的影响，掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)的图象间的变换关系，培养直观想象、逻辑推理的核心素养.　2.会用“五点(画图)法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式，提升直观想象、数学运算的核心素养.　3.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的性质，并能利用性质解决问题，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一　A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 问题1.观察函数y＝sin和y＝3sin在同一坐标系中的图象，函数的周期是否相同？当x取同一个值时，两函数对应的y值有什么关系？ 提示：周期相同，均为T＝＝π.当x取同一个值时，y＝3sin的函数值是y＝sin的函数值的3倍. A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 　　y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的. 　　A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅. [微提醒]　当A＞0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值和最小值分别是函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值与最小值的A倍. (1)为了得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin的图象上各点(　　) A.横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变 (2)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝(　　) A.－3cos 2x B.3cos 2x C.－3sin D.3sin 答案：(1)D　(2)B 解析：(1)先将函数y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再将函数y＝sin，横坐标不变，得到函数y＝sin的图象，即将函数y＝sin，横坐标不变，得到函数y＝sin的图象.故选D. (2)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin 2＝sin＝cos 2x的图象；再将图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍可得g(x)＝3cos 2x.故选B. 1.由y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时， (1)若先相位变换，后周期变换，平移｜φ｜个单位长度. (2)若先周期变换，后相位变换，平移个单位长度.不论哪一种变换，都是针对自变量x而言的. 2.当目标函数与原函数名称不同时，一般先用诱导公式转化为同名函数，再进行相应的变换. 学生用书⬇第35页 对点练1.(1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数解析式为(　　) A.y＝3sin B.y＝sin C.y＝3sin D.y＝3sin (2)把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的，所得图象的解析式是y＝2sin，则f(x)的解析式为　　　　. 答案：(1)C　(2)y＝3cos x 解析：(1)函数y＝sin x向左平移个单位长度，得y＝sin，横坐标扩大到原来的2倍，得y＝sin(x＋)，纵坐标扩大到原来的3倍，得y＝3sin.故选C. (2)y＝2siny＝3siny＝3siny＝3sin＝3sin＝3cos x. 任务二　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 问题2.用“五点法”作函数y＝sin x的图象时，找哪五个关键点？ 提示：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). 问题3.你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？ 提示：可以，利用整体代换的思想，当A＞0，ω＞0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可. 1.探究函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈R)性质的一般步骤 第1步，确定周期T＝； 第2步，在y＝sin x五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点； 第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步，借助图象讨论性质. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的有关性质 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0 定义域 R 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 对称性 对称轴：x＝＋，k∈Z； 对称中心：，k∈Z 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得 [微提醒]　在求函数y＝Asin(ωx＋φ)的基本性质时，应注意将ωx＋φ看作一个整体，即整体代换. 已知函数f(x)＝2sin，x∈R. (1)运用“五点法”作出f(x)在x∈内的简图； (2)求函数f(x)的单调递增区间. 解：(1)列表： x＋ 0 π 2π x － 2sin 0 2 0 －2 0 描点画图： (2)令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得4kπ－π≤x≤4kπ＋，k∈Z. 故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 学生用书⬇第36页 1.用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，应先令ωx＋φ分别为0，，π，，2π，然后解出自变量x的对应值，作出一个周期内的图象. 2.求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，首先把x的系数化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围. 对点练2.(多选题)关于函数f(x)＝2sin 2x，下列说法正确的是(　　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)在区间上是单调递增函数 C.当x∈时，f(x)的取值范围为 D.f(x)的图象可由g＝2sin的图象向左平移个单位长度得到 答案：BC 解析：对于A，对于f(x)＝2sin 2x，它的最小正周期T＝＝π，故A错误；对于B，当x∈时，2x∈，又y＝sin x在上单调递增，所以函数f(x)在上单调递增，故B正确；对于C，当x∈时，2x∈，所 以sin 2x∈，所以f(x)的取值范围为，故C正确；对于D，g＝2sin个单位长度得到解析式为y＝2sin＝2sin＝2cos 2x，故D错误.故选BC. 任务三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式及性质的应用 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图. (1)求f(x)的解析式； (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，最后将图象向上平移1个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间(0，π)上的值域. 解：(1)根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象， 可得A＝2，T＝－＝，即T＝＝π，得ω＝2， 又函数f(x)过，所以2×＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，而｜φ｜＜，则φ＝， 所以f(x)＝2sin. (2)根据题意，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得 y＝2sin＝2sin＝2sin， 再将横坐标伸长为原来的2倍得y＝2sin＝2sin， 最后将图象向上平移1个单位得到函数g(x)＝2sin＋1的图象. 由0＜x＜π得－＜x－＜， 当－＜x－＜，即x∈时，g(x)单调递增， 当＜x－＜，即x∈时，g(x)单调递减， 所以x∈(0，π)时，g(x)≤g＝2sin＋1＝3， 且g(0)＝2sin＋1＝0，g(π)＝2sin＋1＝2sin ＋1＝2， 综上所述，g(x)在区间(0，π)上的值域为(0，3]. 由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0的解析式的一般方法 1.由函数图象上的最大值、最小值来确定A. 2.由函数图象上两特殊点的横坐标距离与周期的关系，确定T，由T＝，确定ω. 3.确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法 (1)代入法：把图象上的一个最高点或最低点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)； (2)五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口. 对点练3.(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f的值为(　　) A.1 B.0 C. D. (2)(多选题)如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象，则(　　) 学生用书⬇第37页 A.函数f(x)的最小正周期是2π B.函数f(x)的图象关于点成中心对称 C.函数f(x)在区间上单调递增 D.函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位后所得图象关于y轴对称 答案：(1)A　(2)BC 解析：(1)根据图象可得A＝2，T＝－＝π，所以T＝π＝，可求得ω＝2.由2×＋φ＝＋2kπ，，解得 φ＝＋2kπ，又因为0＜φ＜π，所以φ＝.则f(x)＝2sin，所以f＝2sin ＝1.故选A. (2)对于A，由图知函数f(x)的周期T＝2＝π，故A错误；对于B，由选项A知，ω＝＝2，图象过点且在此点及附近图象是上升的，则f＝Asin＝0，于是－＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，因此f(x)＝Asin＝Asin，而f＝Asin＝0，所以点为函数f(x)图象的一个对称中心，故B正确；对于C，A＞0，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，则为函数f(x)的一个单调递增区间，所以f(x)在区间上单调递增，故C正确；对于D，将f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍得y＝Asin，再向右平移个单位得y＝Asin x，y＝Asin x为奇函数，故D错误.故选BC. 任务再现 1.A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响. 2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质. 3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式及性质的应用 方法提炼 五点(画图)法、数形结合思想、转化与化归思想 易错警示 先平移后伸缩和先伸缩后平移得到的结果不一样 1.函数y＝2sin x的振幅、周期、初相为(　　) A.－2，12π，x B.2，12π，0 C.2，12π，x D.2，6π，0 答案：B 解析：根据函数解析式知，振幅为2，周期为＝12π，初相为0.故选B. 2.为得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线上的所有的点(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：D 解析：因为y＝cos x纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到y＝cos x.故选D. 3.将正弦曲线向右平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到下列哪个函数的图象(　　) A.y＝2sin B.y＝2sin C.y＝sin D.y＝sin 答案：B 解析：y＝sin x向右平移个单位长度得y＝sin，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得y＝2sin.故选B. 4.将函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g的图象，则g的最小正周期是　　　　. 答案：π 解析：将函数f(x)＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g＝sin的图象，则g的最小正周期是T＝＝π. 学科网（北京）股份有限公司 $