1.6.2 探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

6.2　探究φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 学习目标 1.结合具体实例，了解y＝sin(ωx＋φ)的实际意义，理解参数φ对函数图象的影响，培养直观想象的核心素养.　2.掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　3.理解并掌握函数y＝sin(x＋φ)的性质及其应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 问题1.观察图中给出的函数y＝sin x，y＝sin(x－)的图象，你能找出两图象的关系吗？两函数的周期相同吗？ 提示：把y＝sin x的图象向右平移个单位，即可得到y＝sin的图象，把y＝sin个单位即可得到y＝sin x的图象，两函数的周期相同. φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响 1.函数y＝sin(x＋φ)与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点(0，0)平移到了点(－φ，0). 2.函数y＝sin(x＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移｜φ｜个单位长度得到的. [微提醒]　函数图象的左右平移只改变图象在坐标系中的位置，不改变图象的形状. 学生用书⬇第31页 函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点向右平移个单位长度得到的. [变式探究] (变条件)若将本例中y＝sin改为y＝cos，其他不变，又该怎样变换？ 解：y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x图象上的所有点向左平移个单位长度得到的. 　　对于函数y＝sin x与y＝sin(x＋φ)之间的图象变换称为相位变换，它实质上是一种左右平移变换，遵循的平移变换原则是“左加右减”，不改变函数的周期. 对点练1.(1)要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sin x的图象(　　) A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 C.向上平移1个单位长度 D.向下平移1个单位长度 (2)(多选题)要得到函数y＝sin x的图象，只需将函数y＝sin的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 答案：(1)A　(2)AD 解析：(1)要得到函数y＝sin的图象，只需要将函数y＝sin x的图象向左平移1个单位长度.故选A. (2)假设将函数y＝sin的图象平移｜φ｜个单位长度可得到y＝sin x的图象，则平移后的解析式为y＝sin＝sin，根据题意只需满足φ－＝2kπ，k∈Z即可，故k＝0时，φ＝，即向左平移个单位长度，故A符合；当k＝－1时，φ＝－，即向右平移个单位长度，故D符合.故选AD. 任务二　φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 问题2.在同一坐标系下画出y＝sin 2x和y＝sin的函数图象如图所示，你能由y＝sin 2x的图象得到函数y＝sin的图象吗？ 提示：可以发现，y＝sin 2x与y＝sin有相同的周期且形状相同，将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象. φ对y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的影响 1.函数y＝sin(ωx＋φ)与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点(0，0)平移到点.函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移个单位长度得到的. 2.在函数y＝sin(ωx＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位. [微提醒]　周期变换与左右平移变换的顺序对平移量的影响：若周期变换在左右平移变换之前，即y＝sin ωx→y＝sin(ωx＋φ)，则左右平移的量为；若左右平移变换在周期变换之前，即y＝sin x→y＝sin(x＋φ)，则平移的量为｜φ｜. 学生用书⬇第32页 已知函数y＝sin. (1)利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (2)由y＝sin x的图象如何得到y＝sin的图象. 解：(1)令X＝x＋，则x＝2X－. 先列表，后描点并画图. X 0 π 2π x － y 0 1 0 －1 0 (2)因为y＝sin＝sin ，即把sin x中的x换成， 即可得到y＝sin， 所以把y＝sin x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象. 1.由y＝sin x的图象得到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象的两种方法 2.x轴上的伸缩变换即把x换成ωx，x轴上的平移变换即把x换成x±φ(φ＞0，左“＋”右“－”). 对点练2.(1)将函数f(x)＝sin πx的图象向左平移个最小正周期的单位长度后得到函数g的图象，则g＝(　　) A.sin B.sin C.sin D.sin (2)(多选题)为了得到函数y＝sin的图象，只要把函数y＝sin x的图象(　　) ①向左平移个单位；②向左平移个单位；③将图象上每一点的横坐标变为原来的2倍；④将图象上每一点的横坐标变为原来的. A.①④ B.①③ C.④② D.④① 答案：(1)A　(2)AC 解析：(1)因为f(x)＝sin πx的最小正周期为T＝＝2，所以×2＝，所以g＝sin π＝sin.故选A. (2)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再将函数y＝sin，得到y＝sin的图象，故A正确；将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再将y＝sin图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，得到y＝sin的图象，故B错误；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin的图象，故C正确；将y＝sin x图象上每一点的横坐标变为原来的，得到y＝sin 2x的图象，再将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得到y＝sin的图象，故D错误.故选AC. 任务三　函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 设函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：(1)最小正周期T＝＝π， 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z). (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤， 所以当t＝即x＝时，ymin＝－， 所以当t＝即x＝时，ymax＝1. 1.关于函数y＝sin(ωx＋φ)的对称性与奇偶性 (1)将ωx＋φ看作整体，代入到y＝sin x的对称中心、对称轴的表达式可以求出函数y＝sin(ωx＋φ)的对称中心、对称轴. (2)若函数y＝sin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ，k∈Z；若函数y＝sin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ，k∈Z.函数y＝sin(ωx＋φ)为奇(偶)函数的实质就是函数的对称中心(对称轴)的特殊情况. 2.求函数y＝sin(ωx＋φ)的单调区间的步骤 第一步：将ω化为正值； 第二步：将ωx＋φ看作一个整体，代入到相应的单调区间中解出x的范围即为函数的单调区间； 第三步：如果要求函数在给定区间上的单调区间，则给k赋值即可. 学生用书⬇第33页 对点练3.已知函数f(x)＝sin. (1)请用“五点法”列表并画出函数f(x)在[0，π]上的图象； (2)若函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位得到函数y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的单调增区间. 解：(1)列表如下： 2x＋ π 2π x 0 π f(x) 1 0 －1 0 描点，作函数f(x)在[0，π]上的图象如图. (2)函数y＝f(x)的图象横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin，再向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin， 令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z). 所以y＝g(x)的单调增区间为(k∈Z). 任务再现 1.φ对y＝sin(x＋φ)的图象的影响.2.φ对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响.3.函数y＝sin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用 方法提炼 数形结合法、五点(画图)法、转化与化归 易错警示 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin(ωx＋φ)的性质时，注意整体代换 1.函数y＝sin的相位和初相分别是(　　) A.－2x＋， B.2x－，－ C.2x＋， D.2x＋， 答案：C 解析：y＝sin＝sin＝sin，故相位和初相分别为2x＋，.故选C. 2.为了得到函数y＝cos的图象，只需将余弦函数y＝cos x图象上各点(　　) A.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 B.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 C.横坐标向左平移个单位长度，纵坐标不变 D.横坐标向右平移个单位长度，纵坐标不变 答案：D 解析：把y＝cos x上的所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝cos的图象.故选D. 3.已知函数y＝3sin 2x的图象为C，为得到函数y＝3sin的图象，只需把C上的所有点(　　) A.纵坐标不变，横坐标向左平移个单位 B.纵坐标不变，横坐标向右平移个单位 C.纵坐标不变，横坐标向左平移个单位 D.纵坐标不变，横坐标向右平移个单位 答案：A 解析：因为y＝3sin＝3sin，为得到函数y＝3sin的图象，只需把C上的所有点纵坐标不变，横坐标向左平移个单位.故选A. 4.函数y＝sin，x∈的单调递增区间为　　　　. 答案： 解析：因为x∈，所以x＋∈，因为y＝sin x在上单调递增，所以－≤x＋≤，解得－π≤x≤. 学科网（北京）股份有限公司 $