1.6.1 探究ω对y＝sin ωx的图象的影响-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§6　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象 6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响 学习目标 1.结合具体实例，理解函数y＝sin ωx中ω对图象的影响，培养直观想象的核心素养.　2.掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养.　3.理解并掌握函数y＝sin ωx的性质及其应用，提升数学运算的核心素养. 任务一　ω对y＝sin ωx的图象的影响 问题1.如何用“五点法”画出函数y＝sin 2x和y＝sin x一个周期上的图象？ 提示：(1)结合函数y＝sin x在一个周期上的五个关键点列表， 2x 0 π 2π x 0 π y＝sin 2x 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sin 2x在一个周期[0，π]上的图象，如图所示. (2)结合函数y＝sin x在一个周期上的五个关键点列表， x 0 π 2π x 0 3π 6π y＝sin x 0 1 0 －1 0 画出函数y＝sin x在一个周期[0，6π]上的图象，如图所示. ω对y＝sin ωx的图象的影响 　　对于ω＞0，有sin ωx＝sin(ωx＋2π)＝sin ω.根据周期函数的定义，T＝是函数y＝sin ωx的最小正周期.通常称周期的倒数＝为频率，记作f. [微提醒]　(1)ω决定了函数y＝sin ωx的周期和频率，也决定了函数y＝sin ωx图象的形状.(2)ω主导横向伸缩变换，也叫周期变换. (链教材P43例1)求函数y＝sin x的周期和频率，并画出在一个周期上的图象. 解：法一：由y＝sin x的周期性可知，sin x＝sin＝sin ，根据周期函数的定义，y＝sin x是周期函数，π是它的最小正周期.f＝＝. 法二：T＝＝，f＝＝. 在函数y＝sin x五个关键点的基础上，列表： x 0 π 2π x 0 π y＝sin x 0 1 0 －1 0 由此得到函数y＝sin x的五个关键点为(0，0)，，，(π，－1)，. 描点连线，并用光滑曲线顺次将它们连接起来，就画出函数y＝sin x在一个周期上的图象(如图). 五点(画图)法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法 1.分别令ωx＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体代换思想. 2.取ωx0＝0，得x0＝0，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加个周期，就可得到其余四个点的横坐标. 对点练1.用五点法画出函数y＝sin x在一个周期上的图象，并指出这个函数的周期和频率. 解：①列表： x 0 π 2π x 0 3π 6π 9π 12π y 0 1 0 －1 0 ②描点：(0，0)，(3π，1)，(6π，0)，(9π，－1)，(12π，0). ③连线：并用光滑曲线顺次将它们连接起来，就画出y＝sin x在一个周期上的图象(如图). 周期T＝＝12π.f＝＝. 学生用书⬇第29页 任务二　图象上横坐标的伸缩变换问题 问题2.比较问题1中函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的图象，指出由y＝sin x的图象怎样变换得到y＝sin 2x和y＝sin x的图象？ 提示：把y＝sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，就得到y＝sin 2x的图象.把y＝sin x图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，就得到y＝sin x的图象. 　　函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标缩短到原来的(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)得到的. (1)为了得到y＝sin 4x，x∈R的图象，只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 (2)函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin ωx，则ω的值为(　　) A. B.4 C. D.2 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)ω＝4＞1，因此只需把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变.故选B. (2)所求的解析式为y＝sin x＝sin ωx，故ω＝.故选C. 由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换方法 　　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的(纵坐标不变)，得函数y＝sin ωx的图象. 对点练2.(1)要得到函数f(x)＝cos 2x，x∈R的图象，只需将函数g＝cos x，x∈R的图象(　　) A.所有点横坐标扩大2倍，纵坐标不变 B.所有点横坐标缩小，纵坐标不变 C.所有点纵坐标缩小，横坐标不变 D.所有点纵坐标扩大2倍，横坐标不变 (2)为了得到y＝cos 的图象，只需把y＝cos x的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标　　　　　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2)伸长到原来的4倍 解析：(1)根据函数图象伸缩变换规则，g＝cos x图象所有点纵坐标不变，横坐标缩小为原来的即可得到f(x)＝cos 2x.故选B. (2)由已知，x的系数ω从1变为，三角函数周期变为原来的4倍，根据函数图象的变换规律，将函数y＝cos x的图象上所有的点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝cos 的图象. 任务三　函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 已知函数f(x)＝sin x. (1)试写出由函数y＝sin x得到函数f(x)＝sin x的图象的变换过程并求出其周期； (2)求f(x)的单调递增区间； (3)求f(x)的对称轴. 解：(1) 由函数y＝sin x的图象上每个点的横坐标都缩短为原来的，纵坐标不变，得到f(x)＝sin x的图象，且T＝＝4. (2)令2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，得4k－1≤x≤4k＋1，k∈Z， 即单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z. (3)令x＝kπ＋，k∈Z，得x＝2k＋1，k∈Z，所以对称轴为x＝2k＋1，k∈Z. 关于函数y＝sin ωx的性质 1.最小正周期T＝. 2.解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合三角函数的性质求解. 3.y＝sin ωx为奇函数. 学生用书⬇第30页 对点练3.(1)(多选题)已知f(x)＝cos 2x，则(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)图象的一个对称中心是 D.f(x)在上单调递增 (2)函数y＝2sin的最小正周期为　　　　. 答案：(1)ABC　(2)4 解析：(1)对于A，因为f(x)＝cos 2x，定义域为R，f＝cos＝cos 2x＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；对于B，函数f(x)的最小正周期为＝π，故B正确；对于C，f＝cos ＝0，所以是f(x)图象的一个对称中心，故C正确；对于D，令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，即f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故D错误.故选ABC. (2)由诱导公式sin＝cos x，所以T＝＝＝4，y＝2sin的最小正周期为4. 任务再现 1.ω对y＝sin ωx的图象的影响.2.图象上横坐标的伸缩变换问题.3.函数y＝sin ωx的图象与性质的综合应用 方法提炼 五点(画图)法、数形结合法、转化与化归思想 易错警示 “五点(画图)法”作图及五点的选取；在研究y＝sin ωx的性质时，注意整体代换 1.用五点法作y＝2sin 2x的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是(　　) A.0，，π，，2π B.0，，，，π C.0，π，2π，3π，4π D.0，，，， 答案：B 解析：分别令2x＝0，，π，π，2π，可得x＝0，，，，π.故选B. 2.函数y＝sin的频率是(　　) A. B.－ C.6 D.－6 答案：A 解析：因为T＝＝6，所以f＝＝.故选A. 3.函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为(　　) A.2 B. C.4 D. 答案：B 解析：把函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为y＝cos x，故ω的值为.故选B. 4.函数y＝sin x取得最大值时对应的x的集合为　　　　　　　　. 答案：{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z} 解析：当x＝2kπ＋，k∈Z时，y有最大值，即x＝4kπ＋π，k∈Z，故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}. 学科网（北京）股份有限公司 $