1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

5.2　余弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.能利用正弦函数的图象或五点(画图)法画余弦函数的图象，培养直观想象的核心素养.　2.了解余弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值，提升数学运算的核心素养.　3.借助图象理解余弦函数在[0，2π]上的性质，提升直观想象的核心素养. 任务一　余弦函数的图象 问题1.类比正弦曲线的作法，作出余弦函数y＝cos x的图象. 提示：在区间[0，2π]上取一系列的x值，例如0，，，，…，2π列表(如表). x 0 y＝cos x 1 0 － － x π 2π y＝ cos x －1 － － 0 1 利用表中的数据，先在平面直角坐标系内描点，结合对函数y＝cos x性质的了解，用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到区间[0，2π]上y＝cos x的图象(如图). 由周期性可知，函数y＝cos x在区间[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z，k≠0上与在区间[0，2π]上的函数图象形状完全相同，只是位置不同，将函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象向左、右平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈R的图象(如图). 问题2.类比正弦曲线的“五点(画图)法”，余弦函数y＝cos x的图象有哪五个关键点？ 提示：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1). 1.余弦函数y＝cos x，x∈R的图象称作余弦曲线. 2.要画出y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，可以通过描出(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1)五个关键点，再用光滑曲线将它们顺次连接起来，就可以得到余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象. 3.根据诱导公式sin＝cos x可知，只需把正弦函数y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度即可得到余弦函数的图象(如图). (链教材P35例4)画出下列函数的大致图象： (1)y＝2cos x－1，x∈；(2)y＝，x∈R. 解：(1)y＝2cos x－1，x∈. 列表如下： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝ 2cos x－1 1 －1 －3 －1 1 描点，作出图象，如图所示. (2)函数y＝cos x的图象如下图所示： 函数y＝的图象可由函数y＝cos x在x轴下方的图象沿x轴翻折得到，如下图所示. “五点(画图)法”画余弦函数图象的三个步骤 对点练1.用“五点法”画出函数y＝1－cos x在上的图象. 解：按五个关键点列表： x 0 π 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝1－cos x 0 1 2 1 0 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝1－cos x在上的图象(如图). 学生用书⬇第26页 任务二　余弦函数性质的再认识 问题3.由cos(－x)＝cos x，得余弦函数y＝cos x是偶函数，所以余弦曲线关于y轴对称，即y轴是余弦曲线的对称轴.观察余弦曲线，探究下面的问题. (1)除y轴外，余弦曲线还有其他对称轴吗？如果有，那么对称轴如何表示？ (2)余弦函数是中心对称图形吗？如果是，对称中心的坐标是什么？ 提示：(1)y＝cos x还有其他对称轴，对称轴表示为x＝kπ(k∈Z). (2)余弦函数是中心对称图形，对称中心的坐标为(k∈Z). 余弦函数的图象与性质 函数 y＝cos x，x∈R 图象 定义域 R 周期性 是周期函数，2π为最小正周期 单调性 在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增； 在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋π，k∈Z时，ymin＝－1. 值域是[－1，1] 奇偶性 偶函数，图象关于y轴对称 对称性 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：，k∈Z [微提醒]　同正弦曲线一样，余弦曲线的对称轴过其最高点或最低点，对称中心是其与x轴的交点.注意不要混淆正、余弦曲线的对称轴和对称中心. (1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z (2)函数f(x)＝2cos x－1，x∈的值域是　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)函数f(x)＝有意义，则1－2cos x≥0，即cos x≤，解得＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，所以函数f(x)＝，k∈Z.故选B. (2)因为f(x)＝2cos x－1在x∈上单调递减，所以f(x)＝2cos x－1，x∈，即，即. 求值域或最大值、最小值问题的依据 1.cos x的有界性. 2.cos x的单调性. 3.化为cos x＝f(y)，利用｜f(y)｜≤1来确定. 4.通过换元转化为二次函数. 对点练2.(1)函数y＝lg 的定义域为(　　) A. B. C. D. (2)已知函数y＝4cos x的定义域为，值域为[a，b]，则b－a的值是　　　　. 答案：(1)B　(2)6 解析：(1)依题意，知cos x－＞0，即cos x＞，解得2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z，故函数的定义域为.故选B. (2)因为函数y＝4cos x在区间上单调递减，当x＝时，y＝4cos ＝4×＝2，即函数的最大值b＝2，当x＝π时，y＝4cos π＝－4，即函数的最小值a＝－4，则b－a＝2－(－4)＝6. 学生用书⬇第27页 任务三　余弦函数单调性的应用 (1)若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　) A.a＞b＞c B.b＞c＞a C.b＞a＞c D.c＞b＞a (2)函数y＝3－2cos x的单调递增区间为　　　　　　　. 答案：(1)C　(2)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) 解析：(1)依题意，知sin 47°＝sin(90°－43°)＝cos 43°，因为y＝cos x在［0，］上单调递减，且0°＜37°＜43°＜47°＜90°，所以cos 37°＞cos 43°＞cos 47°，即b＞a＞c.故选C. (2)y＝3－2cos x与y＝cos x的单调性相反，由y＝cos x的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)，得y＝3－2cos x的单调递增区间为[2kπ，π＋2kπ](k∈Z). 1.形如y＝acos x＋b(a≠0)函数的单调区间 (1)当a＞0时，其单调性与y＝cos x的单调性一致. (2)当a＜0时，其单调性与y＝cos x的单调性相反. 2.比较大小 (1)同名三角函数比较大小，若两角不在同一个单调区间上时，应先用诱导公式转化到同一个单调区间上，再用单调性比较大小. (2)非同名三角函数比较大小，利用诱导公式化为同名三角函数比较大小. 对点练3.(1)函数y＝2cos x，当x∈时，(　　) A.在区间上单调递增，在区间上单调递减 B.在区间上单调递增，在区间上单调递减 C.在区间[0，π]上单调递增，在区间，上单调递减 D.在区间，上单调递增，在区间[0，π]上单调递减 (2)比较大小cos 　　　　cos .(用＞或＜填空) 答案：(1)D　(2)＜ 解析：(1)函数y＝2cos x在上单调递增，在[0，π]上单调递减，在上单调递增，故D正确；对于A，由⊆[0，π]，得y＝2cos x在上单调递减，故A错误；对于B，函数y＝2cos x在上不单调，故B错误；对于C，函数y＝2cos x在[0，π]上单调递减，故C错误.故选D. (2)cos＝cos ＝cos＝－cos ，cos ＝cos＝－cos ，因为函数y＝cos x在上是减函数，且0＜＜＜，所以cos ＞cos ，所以－cos ＜－cos ，所以cos＜cos . [教材拓展1]　sin x与cos x的大小比较(源于教材P40B组T2) (1)在内，使sin x＞的x的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. (2)(双空题)当0≤x≤2π时，不等式cos x＋sin x＜0的x值的集合为　　　　；当x∈R时，不等式sin x＞cos x的x值的集合为　　　　　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)画出y＝sin x 以及y＝ 的图象，如图所示， 由图可知，x∈.故选A. (2)因为cos x＋sin x＜0，即cos x＜－sin x，可知y＝cos x的图象在y＝－sin x的图象的下方，在同一坐标系中作出y＝cos x，y＝－sin x的图象，如图所示，由图象可得＜x＜，所以不等式的解集为. y＝cos x，y＝sin x在同一坐标系中的图象如图：当x∈R时，由正弦、余弦函数的周期性知：若sin x＞cos x，则所求集合为 . 任务再现 1.余弦函数的图象.2.余弦函数的性质.3.余弦函数单调性的应用 方法提炼 五点(画图)法、数形结合思想、转化与化归思想 易错警示 “五点(画图)法”作图及五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视cos x本身具有的范围 1.函数f(x)＝cos x的最小正周期是(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 答案：B 解析：因为cos(x＋2π)＝cos x，所以f(x)＝cos x的最小正周期为2π.故选B. 2.函数y＝－cos x的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为y＝－cos x是周期函数，画出y＝－cos x，x∈的图象(如图)，由图可知，与y轴最近的最高点的坐标为.故选B. 3.函数f(x)＝1＋3cos x的最小值为(　　) A.－3 B.－2 C.3 D.4 答案：B 解析：因为－1≤cos x≤1，所以－2≤1＋3cos x≤4，所以最小值为－2.故选B. 4.满足不等式2cos x＋1≤0的x的集合为　　　　　　　　　　. 答案： 解析：2cos x＋1≤0，得cos x≤－，即2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $