1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 5.1　正弦函数的图象与性质再认识 学习目标 1.能借助单位圆或五点(画图)法画出正弦函数的图象，培养直观想象的核心素养.　2.了解正弦函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值，提升数学运算的核心素养.　3.借助图象理解正弦函数在[0，2π]上的性质，培养直观想象的核心素养. 任务一　正弦函数的图象 问题1.绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值sin x0，并画出点T(x0，sin x0)？ 提示：如图所示，在[0，2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合之前每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0). 问题2.根据问题1，如何画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象？你能想到什么方法？ 提示：如图所示，借助单位圆，在x轴上把[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的正弦函数图象(通过信息技术展示).根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象. 1.定义：正弦函数y＝sin x，x∈R的图象称作正弦曲线. 2.图象 [微提醒]　(1)只有函数y＝sin x，x∈R的图象称为正弦曲线.(2)正弦函数y＝sin x，x∈R的图象夹在两直线y＝±1之间. (1)在内，不等式sin x＜－的解集是(　　) A. B. C. D. (2)函数y＝lg 的定义域为　　　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)画出y＝sin x，x∈的图象，如图所示，因为sin ＝，所以sin＝－，sin＝－，即在内，方程sin x＝－的解为x＝或x＝.结合图象可知在内，不等式sin x＜－.故选C. (2)要使函数式有意义，自变量x应满足sin x－＞0，即sin x＞，在同一直角坐标系下，作函数y＝sin x，x∈[0，2π]以及直线y＝的图象，如图所示， 由函数的图象知，sin ＝sin ＝.所以根据图象可知sin x＞.又x∈R，故该函数的定义域为. 利用正弦函数图象求定义域 1.利用正弦函数图象解决与正弦函数有关的定义域问题，先根据定义域的求法列出不等式(组)，再求解；涉及解三角不等式时，一般需借助图象求解. 2.利用正弦函数图象解形如sin x＞a(或＜a)的步骤： (1)画出直线y＝a，y＝sin x的图象； (2)确定sin x＝a时x的值； (3)确定sin x＞a(或＜a)的解集. 对点练1.(1)在上，函数y＝的定义域是(　　) A. B. C. D. (2)函数y＝1＋sin x，x∈的图象与直线y＝交点的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)在[0，2π]上，函数y＝的定义域满足2sin x－≥0，即sin x≥，结合图象，如图所示，知道x∈.故选B. (2)y＝1＋sin x，x∈的图象如图所示， 由图可知其与直线y＝有2个交点.故选C. 学生用书⬇第22页 任务二　正弦函数性质的再认识 问题3.利用正弦曲线(如图)，解答下列问题： (1)观察正弦曲线，简单地说出正弦函数的定义域、值域、奇偶性； (2)观察正弦曲线，探索正弦函数图象的对称性，它有对称轴吗？有对称中心吗？ (3)观察正弦曲线，正弦函数是不是单调函数？ 提示：(1)定义域：R；值域：[－1，1]；奇偶性：图象关于原点对称，为奇函数. (2) 正弦函数的图象既是轴对称图形，对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z；也是中心对称图形，对称中心的坐标为(kπ，0)，k∈Z. (3)正弦函数不是单调函数，但有多个单调区间. 正弦函数的性质 函数 y＝sin x，x∈R 图象 定义域 R 周期性 是周期函数，2π是它的最小正周期 单调性 在区间，k∈Z上单调递增； 在区间，k∈Z上单调递减 最大(小) 值和值域 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymax＝1； 当x＝2kπ＋，k∈Z时，ymin＝－1； 值域是[－1，1] 奇偶性 奇函数，图象关于原点对称 对称性 对称轴：x＝kπ＋，k∈Z 对称中心：(kπ，0)，k∈Z [微思考]　正弦函数在第一象限是增函数吗？ 提示：不是，只能说正弦函数在区间(2kπ，2kπ＋)(k∈Z)内为增函数. (1)函数y＝cos是(　　) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数 (2)在下列区间函数f(x)＝单调递减的是(　　) A. B. C. D. 答案：(1)C　(2)B 解析：(1)因为y＝cos＝－sin x，所以T＝2π，所以函数的最小正周期为2π.又因为－sin＝sin x，所以函数y＝cos是奇函数.故函数y＝cos是最小正周期为2π的奇函数.故选C. (2)根据正弦函数y＝sin x的图象，作出函数f(x)＝的图象，如图所示， 可得函数f(x)＝上单调递减.故选B. 1.用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小. 2.求正弦函数的单调区间有两种方法 一是利用y＝sin x的单调区间，进行代换，解不等式； 二是画图象，从图象上观察，注意定义域，单调区间不能随便并起来. 对点练2. (1)(多选题)设函数f(x)＝sin x，下列结论成立的是(　　) A.f＞0 B.－1≤f(x)≤1 C.最小正周期是2π D.f＞f (2)函数y＝2sin x＋1的值域是　　　　　　. 答案：(1)ABC　(2)[1＋，3] 解析：(1)对于A，f＝sin ＝＞0，故A正确；对于B，－1≤sin x≤1，故B正确；对于C，正弦函数的最小正周期为2π，故C正确；对于D，由于f(x)＝sin x在上为增函数，所以f＜f，故D错误.故选ABC. (2)因为≤x≤π，所以sin x∈，所以2sin x＋1∈[1＋，3]. 学生用书⬇第23页 任务三　五点(画图)法 问题4.在画函数y＝sin x，x∈[0，2π]的简图时，应抓住哪些关键点？ 提示：根据前面的探究，我们发现，只需抓住函数图象上的几个关键点，然后用光滑的曲线连接即可.今后在精确度要求不高时，常常先找出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). “五点(画图)法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]图象的步骤 (1)列表： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 (2)描点：在平面直角坐标系中描出五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0). (3)连线：用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出正弦函数的简图. (链教材P31例2)画出函数y＝＋sin x在区间，上的图象. 解：利用五个关键点确定y＝sin x的图象，这五个关键点也是画y＝＋sin x图象的关键点.按五个关键点列表. x － － 0 π sin x － －1 0 1 0 － ＋sin x 0 － 0 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝＋sin x在区间，上的图象，如图所示. 　　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握“五点(画图)法”作图.“五点”即y＝sin x的图象在[0，2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点(画图)法”是作简图的常用方法. 对点练3.已知函数f(x)＝2－sin x. (1)用“五点法”作函数f(x)在x∈上的图象； (2)函数y＝f(x)－k在上有两个不同的零点，求实数k的取值范围. 解：(1)利用五个关键点确定f(x)＝sin x的图象，这五个关键点也是画f(x)＝2－sin x图象的关键点.按五个关键点列表. x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 2－sin x 2 1 2 3 2 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数f(x)＝2－sin x在区间上的图象，如图所示. (2)由y＝f(x)－k＝2－sin x－k＝0，得sin x＝2－k， 即y＝sin x，y＝2－k两个函数的图象在x∈上有两个交点， 因为x∈，所以sin x∈， 若y＝sin x，y＝2－k两个函数的图象在x∈上有两个交点，则－≤2－k＜1，解得1＜k≤. 所以实数k的取值范围是. 任务四　正弦函数图象与性质的综合应用 (链教材P32例3)高一某班小赵同学在解答“利用五点法画出函数y＝2sin x－1在一个周期上的图象，并根据图象讨论它的性质”题目时，有如下解答过程，请补全解答过程. 第一步：列表. x 0 π 2π y＝sin x 0 y＝2sin x－1 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的图象. 学生用书⬇第24页 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质. 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小 正周期 　　　　　　　 单调性 单调递增区间为　　　　　　　　；单调递减区间为　　　　　　　　 最大值 与最小值 当x＝　　　　时，最大值为1；当x＝　　　　时，最小值为　　　　 解：第一步：列表. x 0 π 2π y＝sin x 0 1 0 －1 0 y＝2sin x－1 －1 1 －1 －3 －1 第二步：画出y＝2sin x－1在一个周期上的图象. 第三步：讨论y＝2sin x－1的性质. 函数 y＝2sin x－1 定义域 R 最小正周期 2π 单调性 单调递增区间为(k∈Z)； 单调递减区间为(k∈Z) 最大值 与最小值 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最大值为1； 当x＝2kπ＋(k∈Z)时，最小值为－3 　　正弦函数的图象与性质主要涉及到正弦函数的周期性，奇偶性与对称性，单调性与最值等. 对点练4.已知函数f(x)＝1－sin x. (1)用“五点法”作出f(x)在x∈[0，2π]上的图象； (2)求f(x)在x∈上的最大值和最小值. 解：(1)按五个关键点列表如下： x 0 π 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x 1 0 1 2 1 描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，对应的图象如图： (2)因为f(x)＝1－sin x，由f(x)＝1－sin x且x∈， 结合图象知f(x)max＝f＝1＋，f(x)min＝f＝0. 任务再现 1.正弦函数的图象.2.正弦函数性质的再认识.3.五点(画图)法.4.正弦函数图象与性质的综合应用 方法提炼 数形结合法、五点(画图)法 易错警示 “五点(画图)法”作图时五点的选取；单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视sin x本身具有的范围 1.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象(　　) A.重合 B.形状相同，位置不同 C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同 答案：B 解析：根据正弦曲线的图象可知函数y＝sin x，x∈[0，2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图象只是位置不同，形状相同.故选B. 2.下列选项中，函数y＝sin x，x∈的图象是(　　) 答案：D 解析：根据正弦函数图象判断D选项符合题意.故选D. 3.函数f(x)＝3sin x的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：由于－1≤sin x≤1，所以－3≤3sin x≤3，所以f(x)的最大值为3，此时x＝2kπ＋，k∈Z.故选C. 4.sin与sin的大小关系为　　　　.(用“＞”连接) 答案：sin＞sin 解析：sin＝sin＝sin ＝sin＝sin ，sin＝sin＝sin ，因为0＜＜＜，且y＝sin x在上单调递增，所以sin ＞sin ，所以sin＞sin. 学科网（北京）股份有限公司 $