1.4.4 诱导公式与旋转-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

4.4　诱导公式与旋转 学习目标 1.掌握±α的正弦、余弦诱导公式的推导过程，培养数学抽象的核心素养.　2.对诱导公式能作综合归纳，体会七组公式的共性与个性，培养逻辑推理的核心素养.　3.能够利用诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　诱导公式与旋转 问题1.观察图象，设锐角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，将终边绕点O沿逆时针方向旋转得到点P'，那么＋α的终边与单位圆的交点P'的坐标如何求？你能根据三角函数的定义探究角α与角＋α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：P'(－v，u)；sin＝cos α，cos＝－sin α. 问题2.利用问题1中的结论和－α与α的正(余)弦关系，探究α－与α三角函数值的关系. 提示：sin＝－sin＝－sin＝－cos(－α)＝－cos α； 同理cos＝sin α. sin＝cos α cos＝－sin α sin＝－cos α cos＝sin α [微思考]　上述公式中的三角函数的名称和符号是否变化？ 提示：三角函数的名称改变，符号要看角的终边所在的象限. (1)sin与以下哪个值相同(　　) A.sin B.－sin C.cos D.－cos (2)已知＝a，a＞0，那么cos 65°的值是　　　　.(用实数a表示) 答案：(1)C　(2) 解析：(1)由诱导公式易得sin＝cos .故选C. (2)由＝a，a＞0，可得sin 25°＝，则cos 65°＝cos＝sin 25°＝. 学生用书⬇第19页 　　直接利用公式化简或求值，注意符号的变化. 对点练1.(1)在下列各数中，与cos 10°相等的是(　　) A.sin 80° B.cos 80° C.sin 170° D.cos 170° (2)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α的终边过点A，则sin＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)对于A，sin 80°＝sin＝cos 10°，故A正确；对于B，cos 80°＝cos＝sin 10°，故B错误；对于C，sin 170°＝sin＝sin 10°，故C错误；对于D，cos 170°＝cos＝－cos 10°，故D错误.故选A. (2)由题意可知cos α＝＝－，sin＝－cos α＝.故选A. 任务二　正弦函数、余弦函数的诱导公式 问题3.经过对角α的终边的对称与旋转，如何简化记忆诱导公式呢？ 提示：诱导公式可以归纳为k·±α(k∈Z)的三角函数值.当k为偶数时，得α的同名三角函数值；当k为奇数时，得α的异名三角函数值.然后，在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”. 正弦函数、余弦函数诱导公式 角 正弦 余弦 α＋2kπ(k∈Z) sin α cos α －α －sin α cos α α＋π －sin α －cos α α－π －sin α －cos α π－α sin α －cos α α＋ cos α －sin α －α cos α sin α (链教材P24例8)(1)若sin＋cos＝－，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值为(　　) A.－ B.－ C. D. (2)sin＋cos＝　　　　. 答案：(1)B　(2)0 解析：(1)由sin＋cos＝－可得，－sin α－sin α＝－，即sin α＝， 则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－.故选B. (2)sin＋cos＝sin＋ cos＝sin－sin＝0. 利用诱导公式求值的策略 　　在对给定的式子进行求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角所在的象限，勿将符号及三角函数名称弄错. 对点练2.(1)已知cos＝－，则sin的值为(　　) A. B.－ C.－ D.± (2)已知角α的终边经过点P(2，－3)，则＝　　　　. 答案：(1)B　(2)5 解析：(1)sin＝sin＝ cos＝－，故选B. (2)由角α的终边经过点P(2，－3)可知，sin α＝－，cos α＝，则 ＝＝＝5. 学生用书⬇第20页 任务三　诱导公式的综合应用 (链教材P25例9)已知f(x)＝ . (1)化简f(x)； (2)求f. 解：(1)f(x)＝ ＝＝＝. (2)f＝＝＝＝－. 用诱导公式进行化简时的注意点 1.化简后项数尽可能的少. 2.函数的种类尽可能的少. 3.能求值的一定要求值. 4.含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等. 对点练3.化简：. 解：原式＝ ＝ ＝＝＝1. 任务再现 1.诱导公式与旋转.2.正弦函数、余弦函数的诱导公式及其应用 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 函数名称、符号的变化，角与角之间的联系与构造 1.已知cos 78°≈0.20，那么sin 12°约等于(　　) A.0.20 B.0.80 C.0.88 D.0.95 答案：A 解析：sin 12°＝sin(90°－78°)＝cos 78°≈0.20.故选A. 2.已知sin θ＝，则cos的值是(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：cos＝cos＝－sin θ＝－.故选B. 3.若α是任意实数，则sin＝(　　) A.sin α B.－sin α C.cos α D.－cos α 答案：C 解析：由三角函数诱导公式得sin＝sin＝sin＝cos α.故选C. 4.已知sin＝，则cos＝　　　　. 答案： 解析：cos＝cos＝sin＝. 学科网（北京）股份有限公司 $