1.4.3 诱导公式与对称-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

4.3　诱导公式与对称 学习目标 1.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用，培养数学抽象的核心素养.　2.理解诱导公式的推导过程.识记诱导公式，理解和掌握公式的内涵和结构特征，培养逻辑推理的核心素养.　3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　诱导公式与对称 问题1.观察图象，角α与－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与－α的终边关于x轴对称，根据三角函数的定义sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. 问题2.观察图象，角α与α±π的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角α±π的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与α±π的终边关于原点对称，根据三角函数的定义推出：sin(α＋π)＝－sin α，cos(α＋π)＝－cos α，sin(α－π)＝－sin α，cos(α－π)＝－cos α. 问题3.观察图象，角α与π－α的终边有什么关系？你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的关系吗？ 提示：角α与π－α的终边关于y轴对称，根据三角函数的定义推出：sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α. 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 图示 终边 关系 角－α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π－α与角α的终边关于y轴对称 公式 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α sin(α＋π)＝－sin α， cos(α＋π)＝－cos α， sin(α－π)＝－sin α， cos(α－π)＝－cos α sin(π－α) ＝sin α， cos(π－α)＝－cos α 特点 (1)公式两边的函数名称一致. (2)将α看作锐角时，原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号，即为等号右边的符号 [微提醒]　(1)公式的角为任意角.(2)口诀：“函数名不变，符号看象限”. (链教材P21例6)求下列三角函数值： (1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin； (4)cos(－1 920°). 解：(1)cos 210°＝cos(30°＋180°)＝－cos 30°＝－. (2)sin ＝sin＝sin ＝sin＝sin ＝. (3)sin＝－sin＝－sin ＝－sin＝sin ＝. (4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(120°＋5×360°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 学生用书⬇第17页 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 对点练1.(1)已知sin＝，那么sin的值是(　　) A. B.－ C.± D. (2)计算：sin－cos＋sin ＝　　　　. 答案：(1)D　(2)1－ 解析：(1)sin＝－sin α＝，即sin α＝－，所以sin＝－sin α＝.故选D. (2)sin－cos＋sin ＝－sin－cos＋sin＝sin ＋cos －sin ＝＋－＝1－. 任务二　给值求值或给值求角 (1)已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，则sin＝(　　) A. B.－ C. D.－ (2)已知sin α≤，则角α的集合为　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案：(1)B　(2) 解析：(1)由正弦函数的定义可知sin α＝＝，再利用诱导公式知sin＝－sin α＝－.故选B. (2)如图所示，符合条件的角的集合为 . 1.给值求角，借助单位圆和诱导公式求解. 2.给值求同名三角函数值：如已知sin α＝a，求sin β，只要存在关系α±β＝kπ(k∈Z)就可以运用诱导公式求解. 对点练2.(1)已知cos＝，则cos等于(　　) A.－ B. C. D.－ (2)已知sin＝，则sin＝ 　　　　. 答案：(1)A　(2) 解析：(1)cos＝cos＝cos＝cos＝－cos＝－.故选A. (2)sin＝sin＝ sin＝. 任务三　三角函数式化简求值 已知f(α)＝. (1)化简f(α)； (2)若α＝－，求f(α)的值. 解：(1)f(α)＝＝cos α. (2)因为－＝－6×2π＋， 所以f＝cos＝cos ＝cos＝cos＝cos ＝. 　　利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择，常将角化成2kπ±α，π±α，k∈Z的形式，将所给角的三角函数式化为角α的三角函数式. 对点练3.(1)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称.若α＝，则cos β＝　　　　. (2)已知角α的终边过点P(12，－5)，则＝　　　　. 答案：(1)－　(2) 解析：(1)由于角α与角β的终边关于原点对称，且α＝，所以β＝α＋π＋2kπ，k∈Z， 故cos β＝cos＝－cos α＝－. (2)因为角α的终边过点P(12，－5)， 所以x＝12，y＝－5，r＝＝13， 可得cos α＝， ＝ ＝cos α＝. 任务再现 1.诱导公式与对称.2.给值求值或给值求角.3.三角函数式化简求值 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 公式中符号的确定 学生用书⬇第18页 1.若sin α＝，则sin＝(　　) A.－ B.－ C. D.1 答案：A 解析：sin＝－sin α＝－.故选A. 2.cos 870°＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案：C 解析：cos 870°＝cos＝－cos＝－cos 30°＝－.故选C. 3.已知cos＝，则cos(－θ)＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：由cos(π－θ)＝－cos θ，得cos θ＝－，所以cos(－θ)＝cos θ＝－.故选B. 4.适合cos α＜的角α的集合为　　　　　　　. 答案： 解析：如图所示，根据单位圆及余弦函数的定义知，cos α＜得2kπ＋＜α＜2kπ＋，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $