1.4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学习目标 1.理解正弦函数值、余弦函数值的符号，培养数学抽象的核心素养.　2.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质，培养逻辑推理的核心素养.　3.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　正弦函数、余弦函数的定义域、最大(小)值与值域 问题1.如图，设任意角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，当自变量α变化时，点P的横坐标、纵坐标也在变化.试由正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义，指出 (1)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域； (2)α取何值时，v＝sin α、u＝cos α取得最大(小)值，最大(小)值分别是多少？ 提示：(1)正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α的定义域均为R. (2)当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1； 当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1. 当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1； 当α＝2kπ＋π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 定义域 R 最大值 当α＝2kπ＋，k∈Z时，vmax＝1 当α＝2kπ，k∈Z时，umax＝1 最小值 当α＝2kπ－，k∈Z时，vmin＝－1 当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，umin＝－1 值域 [－1，1] (链教材P19例4)求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值和最小值时自变量α的值： (1)v＝cos α，α∈； (2)v＝－sin α，α∈. 解：(1)在单位圆中画出α在区间上的示意图如图①所示， 由图可知，当α＝时，函数v＝cos α取得最大值，最大值为cos ＝； 当α＝π时，函数v＝cos α取得最小值，最小值为cos π＝－1. 　 (2)在单位圆中画出α在区间上的示意图，如图②所示， 由图可知，当α＝－时，v＝－sin α取得最小值， 当α＝－时，v＝－sin α取得最大值. 1.对函数y＝sin α，y＝cos α(其中α∈[m，n])，可通过观察角α终边与单位圆交点坐标的变化得到它们的最值和值域. 2.关于sin α或cos α的复合函数，注意利用换元思想求解. 对点练1.求函数u＝－3cos α＋1在上的最大值与最小值. 解：在单位圆中画出α在区间上的示意图. 由图可知，当α＝时，cos α取得最大值，此时umin＝－3×＋1＝； 当α＝π时，cos α取得最小值－1，此时umax＝－3×(－1)＋1＝4. 学生用书⬇第14页 任务二　正弦函数、余弦函数的周期性与单调性 问题2.你能用数学表达式表示与α终边相同的角的正弦值与sin α、与α终边相同的角的余弦值与cos α的关系吗？ 提示：对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin α，α∈R，cos(α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 问题3.已知v＝sin α，α∈，当α发生变化时，观察α的终边与单位圆的交点P(cos α，sin α)的变化，试写出其单调递增和递减区间. 提示：当α∈时，随着α的增大，sin α的值增加，v＝sin α在上单调递增，如图①所示. 当α∈时，随着α的增大，sin α的值减小，v＝sin α在上单调递减，如图②所示. 故v＝sin α，α∈，单调递减区间为. 正弦函数v＝sin α 余弦函数u＝cos α 周期性 周期函数，最小正周期为2π 单调性 在区间 ，k∈Z上单调递增；在区间 ，k∈Z上单调递减 在区间[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z上单调递减；在区间[2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z上单调递增 [微提醒]　若正弦函数在(k∈Z)上为增函数，是指当k取某个整数值时，得到一个对应区间，则只在这个区间上单调递增，而不是在这些区间的并区间内单调递增，更不能说成在第一、四象限为增函数. (链教材P19例3)(1)下列关于函数u＝4sin α，α∈[－π，π]的单调性的叙述，正确的是(　　) A.在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减 B.在上单调递增，在和上单调递减 C.在[0，π]上单调递增，在[－π，0]上单调递减 D.在上单调递增，在上单调递减 答案：B 解析：利用单位圆可以得到：函数u＝4sin α在上单调递增，在上单调递减.故选B. (2)借助单位圆，讨论函数u＝cos α在区间上的单调性. 解：在单位圆中画出角α在区间上的示意图，如图所示，由图可得u＝cos α在上单调递增；在上单调递减. 　　利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能使用“∪”连接. 对点练2.(1)函数y＝cos x和y＝sin x在下列哪个区间上都是单调递减的(　　) A. B. C. D. (2)(双空题)函数u＝cos α，α∈的单调递增区间为　　　　；单调递减区间为　　　　. 答案：(1)A　(2)和　[0，π] 解析：(1)对于A，当x∈时，y＝cos x单调递减，y＝sin x单调递减，故A正确；对于B，当x∈时，y＝cos x单调递减，y＝sin x单调递增，故B错误；对于C，当x∈时，y＝cos x单调递增，y＝sin x单调递增，故C错误；对于D，当x∈时，y＝cos x单调递增，y＝sin x单调递减，故D错误.故选A. (2)作出单位圆如图所示，当α∈时，随着α的增大，观察α的终边与单位圆交点横坐标的变化易知，递增区间为，；递减区间为[0，π]. 任务三　正弦函数值和余弦函数值的符号 问题4.借助单位圆以及正弦、余弦函数的定义，探究三角函数值的符号与什么有关？ 提示：正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号，余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号. 正弦函数值和余弦函数值的符号 　　象限 三角函数　　　 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α ＋ ＋ － － cos α ＋ － － ＋ 学生用书⬇第15页 [微提醒]　(1)口诀“一全正、二正弦、三全负、四余弦”.(2)易忽略正弦、余弦函数在坐标轴上的符号. (1)角θ为第三象限角的充要条件是(　　) A. B. C. D. (2)(多选题)下列三角函数值的符号判断正确的是(　　) A.cos(－280°)＜0 B.sin 500°＞0 C.sin＜0 D.cos ＞0 答案：(1)B　(2)BCD 解析：(1)对于A，由可得θ为第一象限角，故A不符合题意；对于B，由可得θ为第三象限角，反之也成立，故B符合题意；对于C，由可得θ为第二象限角，故C不符合题意；对于D，由可得θ为第四象限角，故D不符合题意.故选B. (2)因为－280°＝80°－360°，所以－280°是第一象限角，所以cos(－280°)＞0；因为500°＝140°＋360°，所以500°是第二象限角，所以sin 500°＞0；因为－＝－2π，所以－是第三象限角，所以sin＜0；因为＝＋4π，所以是第一象限角，所以cos ＞0.故选BCD. 　　若已知角的大小，直接利用终边的位置，判断符号；若已知正弦函数、余弦函数值的符号，可以根据在各象限内的符号判断角的终边的位置. 对点练3.(1)已知sin αcos α＜0，且cos α＞0，则角α的终边位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)sin 2·cos 3的值是　　　　.(填“正数”“负数”或“零”) 答案：(1)D　(2)负数 解析：(1)因为sin αcos α＜0，且cos α＞0，所以sin α＜0，即角α的终边位于第四象限.故选D. (2)因为＜2＜3＜π，所以sin 2＞0，cos 3＜0，所以sin 2·cos 3＜0. 即sin 2·cos 3的值是负数. 任务四　单位圆中正弦函数、余弦函数基本性质的综合应用 求函数y＝的定义域. 解：自变量x应满足2sin x－≥0，即sin x≥，图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即定义域为 . [变式探究] 　(变条件)将本例改为求y＝的定义域. 解：自变量x应满足－2sin x≥0，即sin x≤，图中阴影部分就是满足条件的角x的取值范围，即定义域为 . 1.求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制. 2.要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集. 对点练4.(1)利用单位圆比较sin 50°和cos 50°的大小，正确的结果为(　　) A.sin 50°＞cos 50° B.sin 50°＜cos 50° C.sin 50°＝cos 50° D.sin 50°和cos 50°无法比较 (2)函数y＝的定义域为　　　　　　　. 答案：(1)A　(2)，k∈Z 解析：(1)如图所示，在单位圆中作出50°的角交单位圆于点P，过P作x轴的垂线，垂足为E，则sin 50°＝EP＞0，cos 50°＝OE＞0，因为50°＞45°，所以＞，即sin 50°＞cos 50°.故选A. (2)要使有意义，则必须满足2sin x＋1≥0，即sin x≥－，图中阴影部分即为所求，则函数定义域为 ，k∈Z. 任务再现 1.正弦函数、余弦函数的定义域、最大(小)值与值域.2.正弦函数、余弦函数的周期性与单调性.3.正弦函数值和余弦函数值的符号.4.单位圆中正弦函数、余弦函数基本性质的综合应用 方法提炼 公式法、数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 单调区间漏写k∈Z，特殊角函数值记忆错误造成三角不等式解集有误 1.函数v＝sin α在区间上的单调性是(　　) A.先增后减 B.先减后增 C.先增后减再增 D.先减后增再减 答案：B 解析：在单位圆中画出α在区间上的示意图.从图中知v＝sin α在上单调递减；在上单调递增.故选B. 2.函数u＝cos α的一个单调递增区间为(　　) A. B. C.(0，π) D.(π，2π) 答案：D 解析：因为u＝cos α的单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，令k＝1得α∈[π，2π]，即为u＝cos α的一个单调递增区间，而(π，2π)⊆[π，2π].故选D. 3.若sin α＜0且cos α＞0，则α的终边所在象限为(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D 解析：α的终边过点，又sin α＜0且cos α＞0，则α的终边所在象限为第四象限.故选D. 4.函数y＝2＋cos α，α∈的值域为　　　　　　. 答案： 解析：由单位圆，可知当α∈时，cos α∈，所以2＋cos α∈，所以函数y＝2＋cos α，α∈. 学科网（北京）股份有限公司 $