1.4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质 4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数定义 学习目标 1.借助单位圆理解任意角正弦函数、余弦函数的定义，培养学生数学抽象的核心素养.　2.通过任意角正弦函数、余弦函数定义的应用，提升学生数学运算的核心素养. 任务一　任意角的正弦函数和余弦函数 问题1.如图，对于锐角α，角α的终边与单位圆交于点P(u，v)，根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦的定义，能否用点P的坐标表示sin α，cos α？ 提示：当α为锐角时，cos α＝u，sin α＝v. 问题2.一般地，给定任意角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？ 提示：一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论是横坐标u还是纵坐标v，都是唯一确定的，且cos α＝u，sin α＝v，即点P的横坐标u和纵坐标v都是角α的函数. 1.锐角的正弦函数和余弦函数 如图所示， 对于锐角α，点P的纵坐标v是该角的正弦值，记作v＝sin α；点P的横坐标u是该角的余弦值，记作u＝cos α. 对于每一个锐角α，都有唯一的坐标(u，v)与之对应，在弧度意义下，α∈(0，)，称v＝sin α为锐角α的正弦函数，u＝cos α为锐角α的余弦函数. 2.任意角的正弦函数和余弦函数 如图所示， 给定任意角α，作单位圆，角α的终边与单位圆的交点为P(u，v)，点P的纵坐标v、横坐标u都是唯一确定的.仿照上述锐角三角函数的定义，把点P的纵坐标v叫作角α的正弦值，记作v＝sin α；把点P的横坐标u叫作角α的余弦值，记作 u＝cos α. 于是，在弧度意义下，对于α∈R，称v＝sin α为任意角α的正弦函数，u＝cos α为任意角α的余弦函数. (链教材P15例2)在单位圆中，α＝. (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点坐标； 学生用书⬇第11页 (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：(1)以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，逆时针旋转，与单位圆交于点P，则角α如图所示. (2)设点P(u，v)，点P在第二象限， 则所以点P的坐标为. (3)由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得sin ＝v＝，cos ＝u＝－. 　　利用任意角的正弦函数和余弦函数的定义求角的正弦、余弦值的关键在于确定角的终边与单位圆的交点坐标. 对点练1.在单位圆中，α＝－. (1)画出角α； (2)求角α的终边与单位圆的交点P的坐标； (3)求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解：(1)因为－＝－2π＋(－)，所以－与－终边相同. 以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为始边，顺时针旋转，与单位圆交于点P，角α如图所示. (2)过点P作x轴的垂线交x 轴于点M.于是∠MOP＝－.设点P(u，v)，则u＝，v＝－，即点P的坐标为. (3)由任意角正弦函数、余弦函数的定义，得 sin＝v＝－，cos＝u＝. 任务二　任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义 问题3.已知Q(x，y)是角α终边上除原点外的任一点，如何求sin α与cos α？ 提示：先考虑角α的终边不在坐标轴上的情形.如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标为(cos α，sin α)，且OP＝1. 点Q(x，y)在角α的终边上，则OQ＝.分别过点P，Q作x轴的垂线PM，QN，垂足为M，N.易知△POM∽△QON.所以＝，即＝. 因为点P和点Q在同一象限，所以sin α和y的符号相同，于是得到sin α＝. 同理，cos α＝.当角α的终边在坐标轴上时，容易验证上述等式仍然成立. 　　设角α终边上除原点外的一点Q(x，y)，则sin α＝，cos α＝，其中r＝. [微思考]　角α的正弦、余弦函数值的大小与α终边上点的位置有关系吗？ 提示：角α的正弦、余弦函数值的大小与α终边上的点的位置无关. (链教材P15例1)已知角θ终边上一点P(x，3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值. 解：由题意知r＝｜OP｜＝，由三角函数定义得cos θ＝＝. 又因为cos θ＝x，所以＝x.因为x≠0，所以x＝±1. 当x＝1时，P(1，3)，此时sin θ＝＝. 当x＝－1时，P(－1，3)，此时sin θ＝＝. 综上，sin θ的值为. [变式探究] 　(变条件、变设问)在本例中，将“cos θ＝x”改为“sin θ＝”，求x的值. 解：因为｜OP｜＝，所以sin θ＝＝，解得x2＝1，所以x＝±1. 学生用书⬇第12页 1.已知角α终边上除原点外的任一点的坐标，求三角函数值的方法 (1)先利用角α的终边与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应的三角函数值. (2)在角α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r＞0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便. 2.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论. 对点练2.(1)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，则cos α ＝(　　) A.－ B. C.－ D. (2)已知α是第二象限的角，P(x，8)为其终边上的一点，且sin α＝，则x＝(　　) A.－6 B.±6 C.± D.－ 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)因为角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点，所以cos α＝.故选B. (2)依题意，x＜0，r＝＝(O为坐标原点)，则sin α＝＝，所以x＝－6.故选A. 任务三　由角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求2sin α＋cos α的值. 解：在直线3x＋4y＝0上任取一点P(4a，－3a)(a≠0)， 则r＝＝5｜a｜. 当a＞0时，r＝5a，故sin α＝＝－， cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－. 当a＜0时，r＝－5a，故sin α＝＝， cos α＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝2×＋＝. 故2sin α＋cos α的值为或－. 　　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则角α的正弦函数值与余弦函数值分别为sin α＝，cos α＝ . 对点练3.(1)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线2x＋y＝0(x＞0)上，则2sin α＋cos α的值是　　　　. (2)已知角α的终边在直线y＝－3x上，则10sin α＋的值为　　　　. 答案：(1)－　(2)0 解析：(1)在射线2x＋y＝0(x＞0)上任取一点P(a，－2a)(a＞0)，则sin α＝＝＝－，cos α＝＝＝，所以2sin α＋cos α＝2×＋＝－. (2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝＝｜k｜.当k＞0时，r＝k，所以sin α＝＝－，＝＝，所以10sin α＋＝－3＋3＝0.当k＜0时，r＝－k，所以sin α＝＝，＝＝－，所以10sin α＋＝3－3＝0.综上，10sin α＋＝0. 任务再现 1.任意角的正弦函数和余弦函数.2.任意角的终边上任一点的正弦函数、余弦函数的定义. 3.由角的终边所在直线求正弦函数值、余弦函数值 方法提炼 定义法、转化与化归思想、分类讨论思想 易错警示 正弦、余弦函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点的位置无关 1.已知角α的终边过点，则cos α＝(　　) A. B.－ C. D.－ 答案：B 解析：依题意，得cos α＝＝－.故选B. 2.已知角α终边上一点P，若sin α＝，则实数m的值为(　　) A.1 B.2 C.±1 D.±2 答案：C 解析：由三角函数定义可得sin α＝＝，解得m＝±1.故选C. 3.(多选题)若sin α＝－，则下列各点可能是角α终边上的点的是(　　) A. B. C. D. 答案：CD 解析：选项中的点均为平面直角坐标系中单位圆上的点，由三角函数的定义，知y＝sin α＝－.故选CD. 4.已知α∈(0，2π)，且α的终边上一点的坐标为，则α＝　　　　. 答案： 解析：α的终边上一点的坐标为，即α的终边上一点的坐标为，位于第一象限，所以cos α＝＝，因为α∈(0，2π)，所以α＝. 学科网（北京）股份有限公司 $