1.3.1-1.3.2 弧度概念 弧度与角度的换算-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§3　弧度制 3.1　弧度概念　 3.2　弧度与角度的换算 学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，培养数学抽象的核心素养.　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系，提升直观想象的核心素养.　3.理解弧度制下弧长与面积公式，培养数学运算和直观想象的核心素养. 任务一　弧度概念 问题1.角度是怎么定义的？这种度量单位的确定与单位线段有关吗？ 提示：把圆周等分成360份，称其中每一份所对的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制.这种度量单位的确定与单位线段无关. 问题2.如图，三个圆为同心圆，，，的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径的大小有没有关系？弧长与半径的比分别为多少？ 提示：没有关系；都等于1. 1.角度制和弧度制 角度制 以度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，用周角的作为一个单位，称为1度角 弧度制 在单位圆中，把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位用符号rad表示，读作弧度.以弧度作为单位来度量角的方法，称作弧度制 2.弧度数的计算 [微提醒]　(1)无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值.(2)在单位圆中，每一段弧的长度就是它所对圆心的正角的弧度数. 下列各命题中，真命题是(　　) A.1弧度就是1°的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度等于半径的弧 C.1弧度是1°的弧与1°的角之和 D.1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 答案：D 解析：根据弧度制和角度制的规定可知A、B、C均错误，D正确.故选D. 1.圆心角α与所对应的弧长和半径的比值是唯一确定的. 2.任意角的弧度数与实数是一一对应的关系. 对点练1.(1)下列说法正确的是(　　) A.1弧度的圆心角所对的弧长等于半径 B.半径较大的圆中1弧度的圆心角比半径较小的圆中1弧度的圆心角大 C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等 D.用弧度表示的角都是正角 (2)(多选题)下列命题中，正确的是(　　) A.1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角 B.若α是第一象限的角，则－α也是第一象限的角 C.若两个角的终边重合，则这两个角相等 D.用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关 答案：(1)A　(2)BD 解析：(1)对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误. (2)对于A，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故A错误；对于B，若α是第一象限的角，则－α是第四象限的角，所以－α＋是第一象限的角，故B正确；对于C，当α＝30°，β＝390°时，α与β终边重合，但两个角不相等，故C错误；对于D，不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度制和弧度制的定义可知度量角与所取圆的半径无关，故D正确.故选BD. 学生用书⬇第8页 任务二　弧度与角度的换算 问题3.周角等于多少弧度？半周角等于多少弧度？ 提示：由α＝，令l＝2πr，l＝πr分别得到周角等于2π弧度，半周角等于π弧度. 1.弧度与角度的换算 2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系 度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧 度 0 π 2π [微提醒]　(1)弧度单位rad可以省略.(2)角度制与弧度制是两种不同的度量角的方式，二者不能混用，如α＝k·360°＋(k∈Z)是错误的. (链教材P10例1、例2)将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)； (4)－π. 解：(1)20°＝20× rad＝ rad. (2)－15°＝－15× rad＝－ rad. (3)π rad＝×180°＝105°. (4)－π rad＝－×180°＝－396°. 角度与弧度的互化技巧 　　在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×＝度数.一般情况下，省略弧度单位rad. 对点练2.(多选题)下列转化结果正确的是(　　) A.67°30'化成弧度是 B.－化成角度是－600° C.－150°化成弧度是 D.化成角度是5° 答案：AB 解析：对于A，67°30'＝67.5×＝，故A正确；对于B，－＝－×＝－600°，故B正确；对于C，－150°＝－150×＝－，故C错误；对于D，＝×＝15°，故D错误.故选AB. 任务三　扇形的弧长和面积公式 问题4.我们初中所学扇形的弧长和面积公式是什么？ 提示：初中我们已学习过，圆心角为n°的扇形的弧长公式和面积公式分别为l＝，S＝，由弧度与角度的换算关系，我们可以知道α＝. 　　设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l＝αR. (2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2. [微提醒]　在应用弧长公式、扇形面积公式时，要注意α的单位是“弧度”，而不是“度”，若已知角是以“度”为单位的，则应先化成“弧度”，再代入计算. 已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l(α＞0). (1)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积. 解：(1)由题意得 解得(舍去)，或. (2)由已知得，l＋2R＝20. 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5时，S取得最大值25，×α×R2＝25，解得α＝2. 故当扇形的圆心角α为2弧度时，这个扇形的面积最大，最大面积为25 cm2. 学生用书⬇第9页 扇形的弧长和面积的求解策略 1.记公式：面积公式：S＝lR＝αR2，弧长公式：l＝αR(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π). 2.找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形的面积公式直接求解或列方程(组)求解. 对点练3.(1)若扇形所对圆心角为2 rad，且该扇形面积为1 cm2，那么该扇形的弧长为(　　) A.1 cm B. cm C.2 cm D.2 cm (2)已知扇形的周长为6，面积为，则该扇形的圆心角大小为　　　　弧度. 答案：(1)C　(2)2 解析：(1)设扇形半径为r，弧长为l，圆心角为α，则扇形面积为S＝αr2＝×2×r2＝1，故r＝1，故弧长为l＝αr＝2.故选C. (2)设扇形的半径为r，圆心角为α，依题意，得所以该扇形的圆心角大小为2弧度. 任务四　用弧度制表示角 已知α＝－1 920°. (1)将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求与α终边相同的角θ，满足－4π≤θ＜0. 解：(1)因为－1 920°＝－12π＋，π＜＜， 所以将α写成β＋2kπ(k∈Z，0≤β＜2π)的形式为－1 920°＝－12π＋，它是第三象限角. (2)因为θ与α的终边相同，所以令θ＝2kπ＋，k∈Z， 当k＝－1，k＝－2满足题意，故θ＝－，－. 用弧度制表示终边相同的角的两个关键点 1.用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍. 2.注意角度制与弧度制不能混用，保持单位的统一性. 对点练4.(1)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内，则角α的取值范围是(　　) A. B. C. D.(k∈Z) (2)把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，α∈)的形式是　　　　. 答案：(1) D　(2)－4π＋ 解析：(1)阴影部分的两条边界分别是角的终边，所以α的取值范围是(k∈Z).故选D. (2)因为－570°＝－570×＝－π rad，所以－＝－4π＋. 任务再现 1.弧度概念. 2.弧度与角度的换算.3.扇形的弧长和面积公式.4.用弧度制表示角 方法提炼 公式法、转化与化归思想 易错警示 弧度与角度混用 学生用书⬇第10页 1.把π弧度化成角度是(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案：D 解析：因为π＝180°，所以π＝×180°＝120°.故选D. 2.315°＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：315°角对应的弧度数为π＝π.故选B. 3.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为(　　) A.π B. C. D. 答案：D 解析：由弧长为，得扇形所在圆半径r＝＝3，所以扇形面积为×3×＝.故选D. 4.角顺时针旋转后所得角的弧度数是　　　　. 答案：－ 解析：角＋＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $