1.2.1-1.2.2 角的概念推广 象限角及其表示-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（北师大版）

§2　任意角 2.1　角的概念推广　2.2　象限角及其表示 学习目标 1.结合实例，了解任意角的概念的推广及其实际意义，培养学生数学抽象的核心素养.　2.理解象限角的概念、特征及其表示方法.　3.理解终边相同的角的概念，会表示终边相同的角，提升直观想象和数学运算的核心素养. 任务一　角的概念推广 问题1.在生活中，拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧.可以旋转一圈，也可以旋转多圈，那么如何描述这种现象呢？ 提示：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，按顺时针方向旋转一周所成的角为－360°，按逆时针方向旋转一周所成的角为360°. 问题2.如图所示的时钟慢了5分钟，校准时钟的过程中分针、秒针分别转过多少角度？ 提示：校准时钟的过程中分针、秒针分别转过的角度为－30°，－1 800°. 学生用书⬇第4页 定义 图示 角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.如图，其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边 角的 分类 (按旋 转方 向) 正 角 按逆时针方向旋转形成的角 负 角 按顺时针方向旋转形成的角 零 角 如果一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角；零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0° [微思考]　如果一个角的终边沿逆时针或顺时针方向旋转360°的整数倍，那么所得的新角的终边与原角的终边有什么关系呢？ 提示：它们的终边重合. 写出图①，②中的角α，β，γ的度数. 解：在题图①中，α＝360°－30°＝330°； 在题图②中，β＝－360°＋60°＋150°＝－150°； γ＝360°＋60°＋(－β)＝360°＋60°＋150°＝570°. 对点练1.(1)如图，圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，24 min之后OP从起始位置OA转过的角是(　　) A.－864° B.432° C.504° D.864° (2)如图，射线OA绕顶点O逆时针旋转45°到OB位置，并在此基础上顺时针旋转120°到达OC位置，则∠AOC＝　　　　. 答案：(1)D　(2)－75° 解析：(1)因为点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，所以点P逆时针方向旋转一分钟转的度数为＝36°，所以24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24＝864°，故选D. (2)由角的定义可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°. 任务二　象限角及其表示 问题3.我们把角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，能否按照角的终边所处的位置将角进行分类？ 提示：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角. 象限角的概念 　　将角放在一个平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴.以角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的位置对角分类：角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限. 学生用书⬇第5页 [微思考]　“锐角”与“第一象限角”有何不同？ 提示：锐角是大于0°且小于90°的角，锐角是第一象限角，而第一象限角可以是锐角，也可以是大于360°的角，还可以是负角. (链教材P6例1)(1)(多选题)在下列四个角中，属于第二象限角的是(　　) A.160° B.480° C.1 530° D.－960° (2)(多选题)下列说法中正确的是(　　) A.锐角是第一象限角 B.第二象限角为钝角 C.小于90°的角一定为锐角 D.角α与－α的终边关于x轴对称 答案：(1)ABD　(2)AD 解析：(1)对于A，160°很显然是第二象限角；对于B，480°＝120°＋360°是第二象限角；对于C，1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角；对于D，－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角.故选ABD. (2)对于A，因为锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，故A正确；对于B，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如510°的角的终边位于第二象限，但不是钝角，故B错误；对于C，小于90°的角不一定是锐角，如－30°的角小于90°，但不是锐角，故C错误；对于D，由角的定义可知，角α与－α的终边关于x轴对称，故D正确.故选AD. 象限角的判断方法 1.当0°≤α＜360°时，直接写出结果. 2.当α＜0°或α≥360°时，将α化为β＋k·360°，k∈Z(0°≤β＜360°)，转化为判断角β所属的象限. 对点练2.(1)(多选题)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)给出下列四个命题：①－75°角是第四象限的角；②225°角是第三象限的角；③475°角是第二象限的角；④－315°是第一象限的角.其中真命题有　　个. 答案：(1)AC　(2)4 解析：(1)当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m×180°＋225°＝m×360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m×360°＋45°，故α为第一象限角.故角α的终边落在第一或第三象限.故选AC. (2)由象限角的定义即可判断，－75°角是第四象限的角；225°角是第三象限的角.故①②正确；475°＝360°＋115°，所以475°角是第二象限的角，③正确；－315°＝－360°＋45°，所以－315°角是第一象限的角，④正确.所以真命题有4个. 任务三　终边相同的角 问题4.给定一个角，它的终边是否唯一？若两角的终边相同，那么这两个角相等吗？ 提示：给定一个角，它的终边唯一；两角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和390°角的终边相同，它们正好相差了360°. 终边相同的角 　　一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和. [微思考]　终边相同的角一定相等吗？ 提示：不一定.如30° 与390°角的终边相同，但并不相等. (链教材P7例3)写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来： (1)120°；(2)－325°. 解：(1)与120°终边相同的角的集合为{β｜β＝120°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤120°＋k·360°＜360°，可得－≤k＜， 当k＝－2时，β＝120°－2×360°＝－600°， 当k＝－1时，β＝120°－360°＝－240°， 当k＝0时，β＝120°， 所以适合不等式－720°≤β＜360°的元素β为－600°、－240°、120°. (2)因为－325°＝35°－360°， 所以与－325°终边相同的角的集合为{β｜β＝35°＋k·360°，k∈Z}， 由－720°≤35°＋k·360°＜360°，可得－≤k＜， 当k＝－2时，β＝35°－2×360°＝－685°， 当k＝－1时，β＝35°－360°＝－325°， 当k＝0时，β＝35°. 所以适合不等式－720°≤β＜360°的元素β为－685°、－325°、35°. 终边相同的角的表示 1.终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式. 2.终边相同的角相差360°的整数倍. 3.终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍. 对点练3.(1)若角2α与240°角的终边相同，则α等于(　　) A.120°＋k·360°，k∈Z　　B.120°＋k·180°，k∈Z C.240°＋k·360°，k∈Z D.240°＋k·180°，k∈Z (2)若角α的终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合为(　　) A. B. C. D. 答案：(1)B　(2)D 解析：(1)角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.故选B. (2)由题意知角α的终边在直线y＝－x上，故α＝k·360°－45°，k∈Z或α＝k·360°＋135°，k∈Z，即α＝2k·180°－45°，k∈Z或α＝·180°－45°，k∈Z，故角α的取值集合为{α｜α＝k·180°－45°，k∈Z}.故选D. 学生用书⬇第6页 任务四　区域角的表示 如图，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界)： 解：由题图①可知，这是对顶角区域的表示问题，结合图象， 所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°或k·360°＋225°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α｜n·180°＋45°≤α≤n·180°＋90°，n∈Z}. 由题图②可知，在－180°～180°的范围内，阴影部分为－150°～120°， 所以终边落在阴影部分的角的集合可表示为{α｜k·360°－150°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}. 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角的集合. 对点练4.(1)若角α的终边落在如图所示的阴影部分中(不包含边界)，则角的集合为　　　　　　　. (2)已知α是第二象限角，则角为第　　　　象限角. 答案：(1){α｜k·360°－30°＜α＜k·360°＋75°，k∈Z} (2)一或三 解析：(1)以OA为终边的角为75°＋k·360°(k∈Z)，以OB为终边的角为k·360°－30°(k∈Z)，因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为{α｜k·360°－30°＜α＜k·360°＋75°，k∈Z}. (2)因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°(k∈Z)，所以·360°＋45°＜＜·360°＋90°(k∈Z).当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°＜＜n·360°＋90°，这表明是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°＜＜n·360°＋270°，这表明是第三象限角.所以为第一或三象限角. 任务再现 1.角的概念的推广.2.象限角与终边相同的角的概念与应用 方法提炼 数形结合思想、分类讨论思想 易错警示 锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z 1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是(　　) A.120° B.－120° C.240° D.－240° 答案：D 解析：一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°.故选D. 2.与－67°角终边相同的角是(　　) A.23° B.113° C.203° D.293° 答案：D 解析：与－67°终边相同的角一定可以写成－67°＋360°·k的形式，其中k∈Z，令k＝1可得，－67°与293°终边相同，其他选项均不符合题意.故选D. 3.985°的终边在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：C 解析：因为985°＝265°＋2×360°，所以985°的终边与265°的终边相同，而265°的终边在第三象限，所以985°的终边在第三象限.故选C. 4.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是　　　　　　　. 答案：{α｜45°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z} 解析：观察图形可知，角α的集合是{α｜45°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}. 学科网（北京）股份有限公司 $