精品解析：山东省烟台市芝罘区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷（五四学制）

初四数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（　　） A B. C. D. 3. 在直角坐标系中，抛物线上部分点的横、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 2.5 3 4 … … 0 … 则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线必经过点 4. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ） A. 3 B. C. D. 8. 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数图象顶点的坐标是，与轴交于点和点．有下列结论：①；②；③；④时，是直角三角形．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 10. 如图，在平行四边形中，，，，是四边形内部的一个动点，且，则线段长度的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数的自变量x的取值范围是______． 12. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为_______． 13. 如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 14. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 15. 已知二次函数（是常数）．当时，的最小值为2，当时，的最小值为，则的值为___________． 16. 如图，矩形中，是中点．以为直径的半圆交于，两点，若，，则的长度是______． 三、解答题（共8题，满分72分） 17 计算：． 18. 一农场“粮仓”由一个圆柱和一个圆锥构成，其三视图如图所示（单位：m），求圆锥的母线长，并计算该“粮仓”的表面积． 19. 如图，在中，于，，，． （1）求的长． （2）求的值． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 21. 某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？ 22. 如图1是我国古代提水器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 23. 如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； （3）是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图①，榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式．图②的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图．根据左视图是从左面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得图②的左视图是． 故选：A． 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，AB＝4，则cosB的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出BC长，再根据余弦定义可得答案． 【详解】解：如图： ∵∠C＝90°，AC＝，AB＝4， ∴BC＝＝＝1， ∴cosB＝＝， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数定义，解题的关键是掌握余弦：锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦，记作cosB． 3. 在直角坐标系中，抛物线上部分点的横、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 2.5 3 4 … … 0 … 则下列结论中正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 当时，随的增大而减小 D. 抛物线必经过点 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据表格判定出二次函数的对称轴，然后判断出增减性，进而逐项判断求解即可． 详解】由表格可得， 当时，，当时，， ∴对称轴为， ∴由表格可得，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴开口向上，故A选项错误； ∵对称轴， ∴顶点坐标的横坐标为2，故B选项错误； ∴当时，随的增大而增大，故C选项错误； ∵对称轴为，， ∴点和点关于对称轴对称， ∴抛物线必经过点，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】主要考查了二次函数的性质．根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴及确定函数的增减性是解题关键． 4. 某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了运用列表法求概率，根据题意正确列表确定所有等可能结果数和符合题意的结果数是解题的关键． 先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：设三款镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”分别用A、B、C表示： 根据题意列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的结果数为1，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是． 故选A． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：连接， ，是的切线， ，， ， ， ， ， 故选：C． 7. 如图，某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡与水平方向的夹角为，地下停车场层高米，则在停车场的入口处，可通过汽车的最大高度是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点C作，利用求解即可，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 【详解】解：过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∵米， ∴， ∴米， 故选：D． 8. 如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 9. 已知二次函数图象顶点的坐标是，与轴交于点和点．有下列结论：①；②；③；④时，是直角三角形．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．根据函数图象顶点的坐标是，得到函数图象的对称轴为直线，，进而求出，，将点的坐标代入函数解析式可得，结合，求出，得到函数图象开口向上，当时，，当时，求出顶点坐标，利用勾股定理求出，由勾股定理逆定理可得，即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点的坐标是， ∴对称轴为直线，即， ∴，即，故①错误； ∵二次函数的图象与轴交于点和点， ∴， 将点代入，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∴二次函数图象开口向上， 当时，，故③正确； 当时，则， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴时，是直角三角形，故④正确． 综上，正确的是②③④． 故选：A． 10. 如图，在平行四边形中，，，，是四边形内部的一个动点，且，则线段长度的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，圆周角定理，在左边取一点，使，，先求出，根据定弦对定角得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，取中点，连接，，先利用勾股定理求出，，当在上时最小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 在左边取一点，使，，则点在以为圆心，为半径的圆上运动，取中点，连接，， ∵，，中点，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时最小， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 函数的自变量x的取值范围是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的性质及分式的有意义的条件：被开方数大于等于0，分母不等于0，可知，求出x的取值范围． 【详解】解：根据题意可得： ∵被开方数大于等于0，分母不等于0， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是函数的自变量的取值范围的求法，熟练掌握函数是整式、分式、二次根式时的自变量取值范围是解决本题的关键． 12. 如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用，勾股定理的应用； 如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 13. 如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，特殊角的三角函数值，平行线的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值及其相关解直角三角形是解题的关键．过点作于点，则，求出，，利用，得出，，相加即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，是正五边形的内切圆，分别切于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为______°． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及定边形内角和的计算，掌握正五边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由五边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵是正五边形的内切圆，分别切于点， ， 是正五边形， ， ， ， 故答案为：72． 15. 已知二次函数（是常数）．当时，的最小值为2，当时，的最小值为，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则有当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后进行分类求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 若时，即，则当时，无最小值，故不符合题意； 当时，即，当时，的最小值为， 当时，的最小值为，解得：（正根舍去）， 综上所述：； 故答案为． 16. 如图，矩形中，是中点．以为直径的半圆交于，两点，若，，则的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为点，连接、，过点作，，可证四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，根据矩形的性质和垂径定理可以求出，利用三角形中位线定理可以求出，即可证明四边形是正方形，根据正方形的性质可知，利用勾股定理可以求出，即可知，再利用勾股定理可得，根据垂径定理可知． 【详解】解：如下图所示，设的中点为点，连接、，过点作，交于点， 则有，，， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∵点是的中点，点为的中点， 是的中位线， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、勾股定理、垂径定理、三角形的中位线定理，解决本题的关键是作辅助线构造矩形、正方形，利用勾股定理求出线段的长． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了负整数次幂、特殊角的三角函数值、绝对值以及二次根式的加减运算，灵活应用相关知识化简原式成为解答本题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，再化简和计算负整数次幂、乘方、绝对值即可． 【详解】解： ． 18. 一农场“粮仓”由一个圆柱和一个圆锥构成，其三视图如图所示（单位：m），求圆锥的母线长，并计算该“粮仓”的表面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，勾股定理，掌握圆柱、圆锥表面积的计算方法是正确解答的关键．先根据勾股定理求出母线长，再分别求出圆柱和圆锥的表面积，最后求和即可． 【详解】解：母线长为， 其表面积是：． 19. 如图，在中，于，，，． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形； （1）在中，由，得到．在中，由，得到，最后根据勾股定理求的长． （2）作于点，利用解得，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：在中，，． ， 解得． 在中，， ． 由勾股定理得，． 【小问2详解】 解：作于点， ， ， ， 解得． ． 20. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（），，；（）补图见解析；（）人；（） 【解析】 【分析】（）由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （）根据（）所得组学生人数补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）补全频数分布直方图如下： （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 21. 某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒． （1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元．如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？ 【答案】（1） （2）当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元 （3）120盒 【解析】 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用． （1）根据每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒，列出函数关系式即可； （2）根据总利润等于每盒的利润乘以销量，列出二次函数关系式，利用二次函数的性质，求最值即可； （3）由题意，，求出的取值范围，结合，得到，再根据一次函数的性质，进行求解即可． 读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，； 【小问2详解】 由题意：， ∴当时，P取得最大值，最大值2250， 答：当每盒售价定为35元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是2250元； 【小问3详解】 由题意得： 当时， ， ∴， 解得，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最小值， y最小（盒）， ∴超市每天至少销售元宵120盒． 22. 如图1是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面． （1）当水桶在井里时，，求此时支点到小竹竿的距离（结果精确到）； （2）如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求点上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）约米 （2）约为米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键． （1）过点作，垂足为，先求出，再在中，解直角三角形即可得； （2）过点作，垂足为，设交于点，先求出，再在中，解直角三角形可得的长，在中，解直角三角形可得的长，最后利用求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点，米， ∴米， 在中，（米）， 答：此时支点到小竹竿的距离约为米． 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，设交于点， 由题意得：，，米， ∵， ∴， 在中，米， 由（1）可知，在中，米， ∴（米）， 答：点上升的高度约为米． 23. 如图，在四边形中，，．以为直径的经过点，且与边交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，然后由圆周角定理得，则，故，即可证明； （2）先解，然后证明，作于点，可得，设，则，，再证明即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ， 为的直径， ， ， ，即， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ，， ． ∴在中，由勾股定理得，， ． ，， ， ， ∵ ． ， ， 设，则，， ，， ． 又， ， ，即． ， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，圆的切线的判定等知识点． 24. 如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，，．是轴上方抛物线上一点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）当点在第一象限时，连接，的面积是6，求点的坐标； （3）是否存在点的位置，使得是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点位置使得是直角三角形，点的坐标是或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴于点，交于点，求出直线的解析式，设，则，，根据，进行求解即可； （3）分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，可知：，，， 将，，代入， 得：，解得， 则抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：作轴于点，交于点， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ∵，， ∴． ． 解得，（舍去）， 当时，， 点坐标为； 【小问3详解】 解：存在． 设，作轴于点，于点，则，， 若， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得，（舍去）， 此时，点坐标为． 若，则，， ， ， ， ， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 由题意，， ， 解得，，， ∵ ∴不符合题意，舍去， ∴ ， 综上，存在点的位置使得是直角三角形，点的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $