微专题01 二次根式（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题01 二次根式 题型一 二次根式的判断 判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件： （1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.. 1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不一定是二次根式的为（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2026八年级下·全国·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二 根据二次根式有意义的条件求参数范围 二次根式有意义时字母的取值范围方法： 第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零. 第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组； 第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围. 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 4．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 5．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 6．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0. 1．（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 2．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为 ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期末）已知：． (1)化简； (2)若，求的值． 题型四 利用二次根式是整数求字母的值 1.先将二次根式化为最简二次根式，设最简形式为⋅k（k为有理数，a为正整数且不含能开得尽方的因数）； 2.根据 “二次根式的结果为整数”，可知被开方数a需与字母组成的整体是一个完全平方数，设该整体为m2（m为正整数）； 3.结合字母的取值范围（若有），列方程或不等式求解字母的取值； 4.验证所求字母值代入原二次根式后，结果是否为整数，排除增解. 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 4．（2026八年级下·全国·专题练习）若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 5．（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数 ． 6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 题型五 数轴与二次根式的综合 本题运用了数学结合思想，利用数轴由“形”的位置来确定“数（式）”的符号，充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机整体，解答含有二次根式的化简类题目的关键是确保去掉根号后的结果是非负数. 1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 5．（25-26七年级下·全国·期中）结合数轴先化简，再求值：． 6．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 题型六 逆用=（）在实数范围内分解因式 把非完全平方的正数转化为二次根式的平方，构造平方差结构，实现实数范围内的因式分解. 1．多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（　　） A． B．3y（x2﹣2） C．y（3x2﹣6） D． 2．把在实数范围内分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024春·八年级单元测试）将在实数范围内分解因式得______． 4．在实数范围内分解因式： ． 5．（2024全国·八年级专题练习）（2023贵州省黔东南州）在实数范围内因式分解：______． 6．（2024春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4) ． 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1. 挖掘隐含条件：从题目中的等式、不等式、分式、绝对值等条件入手，推导参数的取值范围（如分式分母不为 0、偶次根式被开方数非负、平方数非负等）； 2.化简二次根式：先将二次根式化为2的形式，再根据性质2​=∣a∣转化为绝对值形式； 3.去绝对值符号：结合第一步推导出的参数取值范围，判断绝对值内代数式的正负性. 4.整理结果：去绝对值后合并同类项（若有），得到最简形式. 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 2．（24-25九年级上·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 3．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2025春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 6．（24-25八年级上·上海金山·月考）当时，化简 ． 题型八 复合二次根式的化简 复合二次根式化简的核心技巧是：先用配方法将根号内表达式凑成完全平方形式，再开方化简；若配法困难，则用待定系数法设 =+ . 1．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025春·北京海淀·八年级校考期中）a，b为有理数，且，则___________． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 4．（2024春·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 二次根式 题型一 二次根式的判断 判断一个式子是否为二次根式，要紧扣满足二次根式的两个条件： （1）含有二次根号“”；（2）被开方数是非负数，两个条件缺一不可.. 1．（25-26九年级上·河南南阳·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不属于二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式形如（）的特征，判断各选项被开方数的正负性即可求解． 【详解】解：A、被开方数，属于二次根式； B、被开方数，不满足二次根式的定义，不属于二次根式； C、被开方数，属于二次根式； D、∵，∴，被开方数非负，属于二次根式． 故选：B． 3．（2026八年级下·全国·专题练习）下列各式中，不一定是二次根式的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的定义，正确根据二次根式的定义分析得出是解题关键 利用二次根式的定义进而分别分析得出即可． 【详解】解：A．当时，无意义，故此选项符合题意； B．中，是二次根式，不合题意； C．是二次根式，不合题意； D．中，是二次根式，不合题意． 故选：A． 4．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 5．（25-26八年级下·全国·单元测试）下列式子是二次根式的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，判断每个式子是否符合形如（）的形式，需同时满足根指数为、被开方数为非负数两个条件，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ②的被开方数，根指数为，是二次根式； ③当时，，被开方数为负数，不是二次根式； ④∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑤的根指数为，不是，不是二次根式； ⑥∵， ∴，满足被开方数为非负数，根指数为，是二次根式； ⑦的被开方数，不是二次根式； 综上，是二次根式的有①②④⑥，共个． 故选：C． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）给出下列式子：；；；；；；；；其中一定是二次根式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如且的式子为二次根式． 根据二次根式的定义，逐一判断每个式子是否满足根指数为2且被开方数非负的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：①：被开方数，是二次根式； ②：被开方数，式子无意义，不是二次根式； ③：∵，∴，被开方数恒为非负数，是二次根式； ④：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑤：∵，，∴，被开方数为非负数，是二次根式； ⑥：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑦：当时，，式子无意义，不一定是二次根式； ⑧：根指数为3，是三次根式，不是二次根式； ∴一定是二次根式的有①③⑤，共3个． 故选：A． 题型二 根据二次根式有意义的条件求参数范围 二次根式有意义时字母的取值范围方法： 第一步,明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式，只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数;对于零指数幂,则必须满足底数不能为零;对于含有分式的、满足分母不能为零. 第二步,利用使式子有意义的所有条件,建立不等式或不等式组； 第三步,求出不等式或不等式组的解集,即为字母的取值范围. 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）以下各式不论为何实数，一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0的条件，逐一分析各选项是否存在使式子无意义的实数，进而确定正确选项． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为0 对于选项A：当即时，分母，分式无意义，故A不符合题意． 对于选项B：当时，分母，分式无意义，故B不符合题意． 对于选项C：当时，被开方数，二次根式无意义；且当时，分母，分式无意义，故C不符合题意． 对于选项D：∵不论为何实数，， ∴，二次根式有意义； 又∵， ∴，分母不为，分式有意义，故D符合题意． 故选：D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）要使代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．全体实数 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，需根据被开方数为非负数列出不等式组，求解不等式组的公共解即可得到的取值范围． 【详解】解：有意义， 可得不等式组：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ． 故选：C． 4．（2025九年级·山东·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于等于，分母不等于，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·云南曲靖·期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且 即且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件，即可求解． 【详解】解：式子 在实数范围内有意义， 有意义，即，解得， 且 ，解得 ． 故答案为：且． 题型三 利用二次根式被开方数的非负性求值 二次根式（a≥0）、绝对值|a|、完全平方式（a±b）2都是非负数，当几个非负数的和为0，则它们均为0. 1．（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 2．（2026·四川遂宁·一模）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的被开方数大于等于0，确定的值，然后代入求，最后计算． 【详解】解：由二次根式的定义可得：， 解得：， 将代入可得：， ． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期末）若实数x，y满足，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值、负整数次幂等知识点，掌握二次根式的非负性是解题的关键． 由二次根式的非负性可求得 x 的值；再代入求得 y的值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，且 ， ∴，即， 将代入，得，解得：． ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知与互为相反数． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互为相反数的两数之和为，结合二次根式有意义的条件与绝对值的非负性，得到两个非负数相加为0的等式，从而建立二元一次方程组求解． （2）将（1）中求得的的值代入代数式，进行计算求值． 【详解】（1）解：与互为相反数， ． ，， 解得 （2）解：由（1）得，， ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件与绝对值的非负性、二元一次方程组的解法以及代数式求值，掌握几个非负数的和为，则每个非负数都为的性质是解题的关键． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，求，的值及的平方根． 【答案】，，的平方根是． 【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：根据二次根式的被开方数非负，可得： 解得：． 将代入原式，得： 解得：． ． ∵的平方根是， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、平方根的计算，解题关键是利用二次根式被开方数非负的性质确定的值，进而求出其他量． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期末）已知：． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的有意义的条件． （1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果； （2）利用二次根式的有意义的条件求得x的值，再把x的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解： ； （2）解： 而， ，， ， ． 题型四 利用二次根式是整数求字母的值 1.先将二次根式化为最简二次根式，设最简形式为⋅k（k为有理数，a为正整数且不含能开得尽方的因数）； 2.根据 “二次根式的结果为整数”，可知被开方数a需与字母组成的整体是一个完全平方数，设该整体为m2（m为正整数）； 3.结合字母的取值范围（若有），列方程或不等式求解字母的取值； 4.验证所求字母值代入原二次根式后，结果是否为整数，排除增解. 1．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）若化简后的结果是正整数，则正整数的最小值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了二次根式的性质，由是正整数，可知是完全平方数，设（为正整数），则，为使为正整数，需为偶数，令（为正整数），代入得，当时，取最小值2． 【详解】解：因为是正整数， 所以是完全平方数． 设（为正整数），则． 由于是正整数， 因此必须被2整除，即为偶数． 令（为正整数），则． 当时，， 此时，为正整数，满足条件． 故正整数的最小值为2． 故答案为：2． 5．（25-26八年级上·上海·月考）对于，当是整数时，最小的正整数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式，由即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当是整数时，最小的正整数， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏南通·月考）已知是整数，则自然数的所有可能的值为 ． 【答案】 ，，，， 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．由为整数，设（ 为非负整数），则，且 ，求出所有可能的值，再计算对应的值． 【详解】解：设 （ 为整数，且 ），则 ， ． 是自然数， ， 即，解得 ． 是非负整数， 可能取值为 ，，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 故自然数的所有可能值为 ，，，，． 故答案为：，，，，． 题型五 数轴与二次根式的综合 本题运用了数学结合思想，利用数轴由“形”的位置来确定“数（式）”的符号，充分体现了“数”与“形”是一个互相依存、不可分割的有机整体，解答含有二次根式的化简类题目的关键是确保去掉根号后的结果是非负数. 1．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简，掌握“”是解本题的关键．由数轴可得，，再判断，，最后化简二次根式与绝对值，再合并即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ，， ， 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与绝对值的化简，掌握二次根式化简，及根据数的符号化简绝对值是解题的关键． 先从数轴确定的符号及的正负，再利用二次根式的性质化简，最后结合绝对值的化简规则计算式子结果． 【详解】解：由数轴可知，，且，因此， 故， ∵， ∴ 原式 ． 故选：A． 3．（25-26九年级上·福建泉州·期末）实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，数轴，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握． 由数轴可得，，则，，再把化为，然后去绝对值，进行整式的加减运算即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·四川成都·月考）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质、实数与数轴等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 由数轴得，继而得出，再根据二次根式的性质和绝对值化简即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴ ． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·期中）结合数轴先化简，再求值：． 【答案】化简见解析    【分析】本题考查二次根式的性质与化简、立方根、实数与数轴，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先根据数轴分析出，，，再根据题意进行解题即可． 【详解】解：由数轴可知，，，， 原式= ． 6．（25-26八年级下·全国·周测）实数，对应的点在数轴上的位置如下图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简与绝对值的化简，掌握根据数轴确定字母的取值范围，进而判断式子的正负，再利用和绝对值的化简规则进行计算是解题的关键． 先从数轴确定的取值范围，再判断根号内式子与绝对值内式子的正负，利用二次根式和绝对值的化简规则去掉符号，最后合并同类项． 【详解】解：由图可知，，， ，，， 原式 ． 题型六 逆用=（）在实数范围内分解因式 把非完全平方的正数转化为二次根式的平方，构造平方差结构，实现实数范围内的因式分解. 1．多项式3x2y﹣6y在实数范围内分解因式正确的是（　　） A． B．3y（x2﹣2） C．y（3x2﹣6） D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法、平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：3x2y﹣6y ＝3y（x2﹣2） ＝3y（x+）（x﹣） 故选A． 【点睛】本题考查实数范围内因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解的一般步骤是解题的关键． 2．把在实数范围内分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式因式分解即可，注意在实数范围内． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了利用平方差公式因式分解，并按照题目要求在实数范围内，所以要分解彻底． 3．（2024春·八年级单元测试）将在实数范围内分解因式得______． 【答案】 【分析】利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解常用的方法是解题关键． 4．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（2024全国·八年级专题练习）（2023贵州省黔东南州）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】根据提取公因式法和平方差公式，结合二次根式的性质分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查因式分解、二次根式的性质，掌握提公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 6．（2024春·全国·八年级专题练习）在实数范围内分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）首先将7化为，然后利用平方差公式，即可得解； （2）首先提取公因式，将5化为，然后利用平方差公式，即可得解； （3）首先将化为，11化为，然后利用平方差公式，即可得解； （4）首先将3化为，然后利用完全平方公式，即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行分解因式，熟练掌握，即可解题． 题型七 根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 1. 挖掘隐含条件：从题目中的等式、不等式、分式、绝对值等条件入手，推导参数的取值范围（如分式分母不为 0、偶次根式被开方数非负、平方数非负等）； 2.化简二次根式：先将二次根式化为2的形式，再根据性质2​=∣a∣转化为绝对值形式； 3.去绝对值符号：结合第一步推导出的参数取值范围，判断绝对值内代数式的正负性. 4.整理结果：去绝对值后合并同类项（若有），得到最简形式. 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解： 有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川乐山·月考）若，则化简为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先判断出，，再利用二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴同号，且均不为0， 又∵在中，是被开方数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 5．（2025春·山东烟台·八年级统考期中）已知m是的小数部分，则式子___________． 【答案】 【分析】首先确定，再将其代入并化简计算即可． 【详解】解：∵m是的小数部分， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的估算以及二次根式的性质，解题的关键是求出． 6．（24-25八年级上·上海金山·月考）当时，化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，根据题意可知，然后化简即可． 【详解】解：根据题意可知：， 又， ∴， ∴， 故答案为 ：． 题型八 复合二次根式的化简 复合二次根式化简的核心技巧是：先用配方法将根号内表达式凑成完全平方形式，再开方化简；若配法困难，则用待定系数法设 =+ . 1．（24-25九年级下·湖北十堰·自主招生）满足不等式的整数m的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，完全平方公式，二次根式的性质，首先利用完全平方公式得到，然后利用二次根式的性质化简得到，然后计算其近似值，确定整数m的范围． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ∵， ∴， ∴； ∴整数m的值为1或2或3，共3个． 故选：B． 2．（2025春·北京海淀·八年级校考期中）a，b为有理数，且，则___________． 【答案】2 【分析】先根据完全平方公式进行变形计算，即，且a，b为有理数，求出，进而得到． 【详解】解： a，b为有理数 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式与二次根式的化简，关键在于完全平方公式的变形． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 如：； ． 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、规律型：数字的变化类、完全平方式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据定义化成完全平方式的形式即可； （2）根据定义化成完全平方式的形式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； 4．（2024春·八年级单元测试）观察下面的运算，完成计算：    (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）被开方数，据此即可开方； （2）首先化简，然后代入原式利用相同的方法化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2） 则原式 【点睛】本题考查了二次根式的化简，把所求的式子的被开方数化成完全平方式是关键． 5．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以，所以． (1)仿照上述方法化简：①；②． (2)比较与的大小． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简与大小比较，核心是利用完全平方公式将根号内的式子配成完全平方式，再结合二次根式的性质进行化简，同时运用分母有理化来比较大小． （1）先观察根号内的代数式，将其拆分为两个数的平方和与这两个数乘积的倍的形式，凑成完全平方式，再根据二次根式的性质去掉外层根号完成化简； （2）先对两个分式的分母进行化简，同样通过配方法将分母根号内的式子配成完全平方式，再进行分母有理化，最后根据化简后的结果比较两个数的大小． 【详解】（1）解：① ． ② ； （2）解： ． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； ； （2）形如可以化简为，即，且，，，均为正整数，用含，的式子分别表示，，得 ， ； 【解决问题】 （3）若，且，均为正整数，求的值； 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】本题主要考查二次根式的化简与应用，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的，与，的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：，． （2）由题意可知： ， ∵，，，均为正整数， ∴，， 故答案为：，． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 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