专题05 与相交线有关的计算问题（2知识点+5考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

扩展专题05 与相交线有关的计算问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 两条直线相交（两线四角） ◆1、相交线：当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线。这个公共点叫作它们的交点.在左图中，直线 AB、CD 相交，O 是它们的交点. ◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ◆3、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，所以∠1=∠3，∠2=∠4. 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. ◆4、相邻角关系：有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为 180°（平角）。 知识点2 ：垂线 ◆1、夹角：两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做这两条直线的夹角. ◆2、垂线的定义：如果两条相交直线的所夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ◆3、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. 【题型1 直接利用相交线的性质求角度】 【典例1】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与相交于点O，，是的平分线，和互为余角． (1)求的度数． (2)求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【变式2】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，，求的度数． (2)若OF平分，，则的度数为________． 【变式4】如图，直线和相交于点，射线，在内部，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【题型2 利用垂线的性质求角度】 【典例1】如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【变式1】直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【变式2】如图，两直线、相交于点O，已知平分，且． (1)求的度数： (2)若，求的度数． 【变式3】如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【变式4】（2025七年级上·全国·专题练习）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【题型3 通过计算说明两角的数量关系】 【典例1】如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】如图，直线，相交于点于点，平分．若，求与的度数，并判断与的大小关系． 【变式2】如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】如图，． (1)当时，求的度数； (2)分别反向延长射线，得射线，判断与的数量关系，并说明理由． 【变式4】（24-25七年级上·全国·期末）已知是直线上一点，，平分． (1)如图①，若 ，求的度数； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与度数之间的关系，并说明理由． 【题型4 通过计算说明两直线垂直】 【典例1】如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式1】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【变式2】如图，直线交于点O，已知，． (1)若，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【变式3】如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)图中的补角有______个； (2)试判断和的位置关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 【变式4】直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线． （1）画出这个图形． （2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？ （3）OE与OG有什么位置关系？说明理由． 【题型5 与相交线有关的角度计算综合问题】 【典例1】如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式1】已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【变式2】如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【变式3】如图1，是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．    【变式4】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 1、 选择题 1．如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与相交于点，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 7．如图，直线、相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ． 8．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 9．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 10．如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 3、 解答题 11．如图，直线与相交于点，，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 12．如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 13．如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 14．如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°． （1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数； （2）如图1，请直接写出图中所有互余的角； （3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小并说明理由． 16．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 扩展专题05 与相交线有关的计算问题 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 两条直线相交（两线四角） ◆1、相交线：当两条直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，或称它们是相交直线。这个公共点叫作它们的交点.在左图中，直线 AB、CD 相交，O 是它们的交点. ◆2、对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图中∠1 与∠3 互为对顶角，∠2 与∠4 互为对顶角. 【注意】对顶角是成对出现的，指两个角之间的关系，一个角的对顶角只有一个. ◆3、对顶角的性质：对顶角相等．如图，因为直线 AB 与 CD 相交于 O 点，所以∠1=∠3，∠2=∠4. 【注意】两个角互为对顶角，它们一定相等，但相等的两个角不一定互为对顶角. ◆4、相邻角关系：有一条公共边，另一边互为反向延长线，且和为 180°（平角）。 知识点2 ：垂线 ◆1、夹角：两条直线相交，形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做这两条直线的夹角. ◆2、垂线的定义：如果两条相交直线的所夹角为直角，就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 【注意】两条直线互相垂直是它们相交的一种特殊情况. ◆3、垂直的表示方法： 如图，直线 AB 与 CD 相交于点 O，若∠BOC = 90°，则AB，CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于 CD”，直线 AB 叫做直线 CD 的垂线(或直线 CD 叫做直线 AB 的垂线)，交点 O 叫做垂足. 如图，①若 AB⊥CD，则∠BOC =∠AOC =∠AOD =∠BOD =90°； ②若∠BOC =90°，则 AB⊥CD. 【题型1 直接利用相交线的性质求角度】 【典例1】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，已知直线与相交于点O，，是的平分线，和互为余角． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查余角定义、角平分线的定义、对顶角相等，得出角之间的数量关系是解答的关键． （1）由余角可得，再结合平角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义和对顶角相等可得，由余角的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：因为和互为余角，点A，O，B在同一条直线上， 所以，， 所以； （2）解：因为是的平分线，， 所以， 又因为直线与相交于点O， 所以， 由（1）得，， 所以． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与交于点，为射线． (1)写出的对顶角． (2)已知，，求和的度数． 【答案】(1) (2)    【分析】本题考查了对顶角的定义、角的和差关系和平角的性质，掌握对顶角相等，平角为，通过角的和差关系计算角度是解题的关键． （1）根据对顶角的定义，直接找出与相对的角； （2）先利用对顶角相等求出 ，再通过角的和差计算，最后利用平角性质求出． 【详解】（1）解：直线与相交于点， 根据对顶角的定义，的对顶角为． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ． 【变式2】（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可求解； （）设，则，根据，可列出关于的方程，解出的值，即可求出的大小，进而可求出的大小； 本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，直线AB，CD相交于点O，OE平分． (1)若，，求的度数． (2)若OF平分，，则的度数为________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用对顶角相等得到的度数，再由角平分线求出，最后通过与的差得到； （2）设为未知数，利用对顶角、角平分线表示出相关角，再根据的度数列方程求解． 【详解】（1）解：∵直线AB，CD相交于点O， ∴． ∵OE平分， ∴． ∵， ∴． （2）解：设，则． ∵平分， ∴， ∵， 且平分， ∴， ∵， ∴， 解得， 即． 【点睛】本题考查了对顶角、角平分线及平角的性质，掌握对顶角相等、角平分线分角为相等的两部分、平角为180°是解题的关键． 【变式4】如图，直线和相交于点，射线，在内部，与互余，平分． (1)当时，求的度数； (2)当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，解答即可； （2）设，则，，列方程解答即可． 本题考查了角的平分线，互余，角的倍数，解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【题型2 利用垂线的性质求角度】 【典例1】如图．直线相交于点O，分别在、的内部，且平分，． (1)写出图中的余角：___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直的意义，角平分线的定义，余角，对顶角，以及角的和差计算等知识点． （1）根据垂直的意义得到，而，再由余角的定义即可求解； （2）由垂直的意义得到，根据角的和差结合对顶角得到，再由角平分线的意义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 【变式2】如图，两直线、相交于点O，已知平分，且． (1)求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差，对顶角相等． （1）根据求出，根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义作答即可； （2）根据求出，根据对顶角相等得到，根据垂直的定义得到，根据周角的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ． 【变式3】如图，直线相交于点O，平分，． (1)写出图中一对相等的角：_____； (2)若，求的度数； (3)若，求的度数． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)； (3) 【分析】本题考查对顶角，与角平分线有关的计算，找准角之间的和差关系是解题的关键： （1）根据对顶角相等，垂直的性质，角平分线的定义作答即可； （2）垂直求出的度数，平角求出，平分求出，角的和差关系求出的度数即可； （3）根据角平分线的定义，推出，平角结合比例关系求出的关系，再利用平角的定义，求出的度数即可． 【详解】（1）解：由对顶角的性质得：； ∵平分，， ∴， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∴． （3）解：∵平分． ∴． ∵． ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． 【变式4】（2025七年级上·全国·专题练习）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线定义的理解，余角的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）根据及平分，可求出的度数，进而求出的度数，再根据平分，求出的度数，最后根据解答即可； （2）根据，表示出，再结合平分可表示出、，从而表示，根据平分，表示出，最后根据解答即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ． 【题型3 通过计算说明两角的数量关系】 【典例1】如图，直线，相交于点，过点作，且平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平分，得，再结合对顶角相等，得，即； （2）结合，得，根据平分，得，又因为，得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， 则． 【变式1】如图，直线，相交于点于点，平分．若，求与的度数，并判断与的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义；根据平角的定义结合已知可得，进而求得，根据角平分线的定义可得，根据平角的定义可得，即可求解． 【详解】解：， ， ， 平分， ， 【变式2】如图，点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)若，求的度数； (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义． （1）求得，根据角平分线的定义，可求得，利用即可解答； （2）根据角平分线的定义和角的和差得到，，进而根据等角的余角相等，即可求解． 【详解】（1）解：点O是直线AB上一点，， ． 是的平分线， ． 是直角， ； （2）解：，理由如下： 是的平分线， ． ． 是的平分线， ． 是直角， ． ． 【变式3】如图，． (1)当时，求的度数； (2)分别反向延长射线，得射线，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）根据，结合已知解答即可； （2）根据对顶角相等，等量代换解答即可． 本题考查了周角的定义，角的和，对顶角相等，熟练掌握定义和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：与的数量关系为：，理由如下： 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式4】（24-25七年级上·全国·期末）已知是直线上一点，，平分． (1)如图①，若 ，求的度数； (2)将图①中的绕顶点顺时针旋转至图②的位置，猜想与度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）先利用垂直关系得到，结合平角求出，再由平角求出，根据角平分线得出，最后算出． （2）设，用表示出、、，进而推导与的关系． 本题主要考查了角的计算与角平分线、垂直的性质，熟练掌握角平分线定义、平角和直角的度数及角的和差关系是解题的关键． 【详解】（1）解： ． ． ． 又， 又平分， ． ． （2）解：．理由如下： ∵平分， ∴设 ， ∴ ， ∴． ∵， ∴ ， ∴ ． ， ． 【题型4 通过计算说明两直线垂直】 【典例1】如图，直线与相交于． (1)若，判断与的位置关系，并说明理由； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查求角度，涉及互余定义、对顶角、邻补角等知识，数形结合，准确表示出相关角度是解决问题的关键． （1）先由，得到，根据等量代换得到即可判断与的位置关系； （2）在（1）的条件下，由列方程求出，进而得到，再由对顶角相等得，数形结合表示出，代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得， ， 由对顶角相等得， 故． 【变式1】（25-26七年级下·全国·月考）如图，直线，相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若平分，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）依据对顶角相等，以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）依据角平分线的定义，得到，根据垂直的定义得到． 【详解】（1）解：， ． 平分， ． （2）证明：平分，平分， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．也考查了对顶角、邻补角以及垂直的定义，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】如图，直线交于点O，已知，． (1)若，求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角的有关计算，解题关键是熟练掌握对顶角的性质、垂直定义和角与角之间的数量关系， （1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再求出和，再根据已知条件求出，进而求出，从而得到答案即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． （2）， 理由如下： ， ． ， ， ， ，即． 【变式3】如图，直线与相交于点，，分别是，的平分线． (1)图中的补角有______个； (2)试判断和的位置关系，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1)3 (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题考查了补角的定义、与角平分线有关的计算、垂直的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先根据角平分线的定义可得，从而可得，，再根据平角可得，由此即可得出答案； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据即可求解； （3）先根据角平分线的定义可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：由条件可知，，，， 是的平分线， ， ，， 图中的补角有、、共3个， 故答案为：3； （2），理由如下： 由条件可知，， ，分别是，的平分线， ，， ， ； （3）由条件可知，， 由（2）可得，， ． 【变式4】直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线． （1）画出这个图形． （2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？ （3）OE与OG有什么位置关系？说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）见详解（3）OG⊥OE． 【分析】（1）画出这个图形即可； （2）根据角平分线定义即可判断射线OE，OF在同一条直线上； （3）由OG平分∠AOD，得∠AOG＝∠DOG，再由∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°，得∠AOE+∠AOG＝90°，进而即可判断OE与OG的位置关系． 【详解】解：（1）如图所示， （2）射线OE、射线OF在同一条直线上．理由如下： ∵直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOC＝∠BOD，∠AOC+∠AOD＝180°， ∵OE、OF分别是∠AOC、∠BOD的平分线， ∴∠AOE∠AOC，∠DOF∠BOD， ∴∠AOE＝∠DOF， ∴∠AOE+∠DOF＝∠AOC， ∴∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°， ∴射线OE、射线OF在同一条直线上； （3）OE⊥OG．理由如下： ∵OG平分∠AOD， ∴∠AOG＝∠DOG， ∵∠AOE＝∠DOF，∠AOE+∠DOF+∠AOD＝180°， ∴∠AOE+∠AOG＝90°， ∴OG⊥OE． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图、直线、射线、线段、角平分线的定义、对顶角、邻补角，解决本题的关键是根据语句准确画图． 【题型5 与相交线有关的角度计算综合问题】 【典例1】如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 【变式1】已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 【变式2】如图①，某校七年级数学学习小组在课后综合实践活动中，把一个直角三角尺的直角顶点放在两条直线的交点处，且，并使两条直角边落在直线上，将三角形绕着点顺时针旋转． (1)如图②，若，则 ， ； (2)若射线是的平分线，且． ①若三角形旋转到图③的位置，的度数为多少（用含的式子表示）？ ②三角形在旋转过程中，若，直接写出此时的值． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】本题主要考查了相交线、垂直的定义、角的运算和角平分线以及角的和差关系． （1）根据角的和差关系和垂直的性质求解； （2）①利用角平分线的定义和角的和差运算即可求解； ②分两种情况：当旋转到左侧时，当旋转到右侧时，分别画出图形，利用角平分线的定义、角的和差以及方程思想求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ，， ， 故答案为；； （2）①，， ， 射线是的平分线， ， ， ， ， 故答案为． ②当旋转到左侧时，如图： 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ；． 当旋转到右侧时，如图： 设，则， ， 是的平分线， ， ， ， 解得， ， ， 综上，的值为或． 【变式3】如图1，是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)将图1中的绕顶点顺时针旋转至图2的位置． ①探究和的度数之间的关系，并说明理由； ②在的内部有一条射线，内部有一条射线，且，试确定与的度数之间的关系，并说明理由．    【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）由垂线的定义得，从而得到，由邻补角的定义计算可得，最后由角平分线的性质即可得到答案 （2）①先分别表示出和，再找出其中的关系即可；②根据题意得出，，代入得到，再将，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：①， 理由如下： 根据题意可得：， ， ， 平分， ， ， ； ②画出图如图所示：   ， 则，， ， 整理得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键． 【变式4】点O是直线上的一点，射线从出发绕点O顺时针方向旋转，旋转到停止，设，射线，作射线平分． (1)如图1，若，且在直线的上方，求的度数． (2)射线顺时针旋转一定的角度得到图2，当射线在直线的下方时，其他条件不变，请你用含的代数式表示的度数． (3)射线从出发绕点O顺时针方向旋转到，在旋转过程中你发现与（）之间有怎样的数量关系？请你直接用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数是或或或 【分析】（1）根据，，求出，根据平分，即可得出结果； （2）先用表示出，再根据表示出，根据平分，即可得出结果； （3）分四种情况进行讨论，分别求出与的关系，用含的代数式表示的度数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：， ， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴． （3）解：①当，在直线的上方时，如图所示： ， ∵平分， ∴， 即． ②当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即． ③当，在直线的上方时，如图所示： ， ， ∵平分， ∴， 即． ④当，在直线的下方时，如图所示： ∵， ， ∵平分， ∴， 即． 综上分析可知， 或或或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，根据的大小和的位置分类讨论，是解决本题的关键． 1、 选择题 1．如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等代入计算即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，直线与相交于点，是的平分线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了对顶角相等，角平分线的定义，首先求出，然后根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，直线，相交于点O，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角相等，几何图形中角度的计算，解题的关键是掌握对顶角相等． 根据对顶角相等可得，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、垂直的定义、几何图形中角度计算等知识，首先根据“对顶角相等”可知，再由垂直的定义可得，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 2、 填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知，，相交于点，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，平角的定义，准确识图是解题的关键． 先根据平角定义结合，可求出的度数，然后根据对顶角相等即可求出的度数． 【详解】解：，，相交于点，， ． 又与是对顶角， ． 故答案为：． 7．如图，直线、相交于点O，已知，把分成两部分，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质及方程思想，根据对顶角相等得到，根据，设，，列方程即可得出答案． 【详解】解：∵直线、相交于点O， ∴， ∵， ∴设，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．如图，直线，相交于点，，垂足为，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查垂直的性质、对顶角，熟练掌握以上知识点是关键． 先根据垂直的性质求出，再根据对顶角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线，相交于点， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 【答案】/度 【分析】先利用对顶角相等得到，再计算出，然后根据和，得到和都在的同侧，最后计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 即射线绕点O逆时针旋转到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对顶角相等，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 10．如图，直线与直线相交于点O，，若过点作，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，分类讨论是解答的关键． 分为当射线在上方时和当射线在下方时两种情况，根据垂线的定义得到，再根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：如图1，当射线在上方时， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图2，当射线在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 故答案为：或． 3、 解答题 11．如图，直线与相交于点，，． (1)求的度数； (2)射线在内部，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是垂直的定义，角的和差倍分； （1）先证明，结合，可得，进一步可得答案； （2）先求解，结合，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 12．如图，直线相交于点O，，平分． (1)若，求的度数； (2)若比大，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据“对顶角相等”可知，再根据角平分线的定义可得，结合易知，然后由求解即可； （2）设，易知，根据角平分线的定义可得，进一步结合解得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设， ∵比大， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义、角平分线、对顶角、平面内角度计算等知识，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 13．如图，已知于O，． (1)若平分，求的度数； (2)若的度数比的度数的3倍多，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义、垂线的定义． （1）根据，可得，再结合角平分线的定义可得， 即可求解； （2）根据，可得，再结合的度数比的度数的3倍多，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴．                                                    ∵， ∴．                                                            ∵平分， ∴，                                                          ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴．                                                    ∵， ∴． ∵的度数比的度数的3倍多， ∴，                                             ∴．                                                          ∵， ∴． 14．如图，已知直线、相交于点，平分，． (1)如果，求的度数； (2)如果，则 （用含n的代数式表示）； (3)图中与互余的角有： ． 【答案】(1)， (2) (3)，； 【分析】（1）按照补角的定义求即可，根据对顶角相等以及角平分线的定义求即可； （2）按照角平分线的定义以及对顶角的性质即可求解； （3）根据互余的两角之和为解答即可． 【详解】（1）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ∵ ， （2）解：直线、相交于点，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， 与互余， ， ， 平分， ， ， 与互余， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了角的计算，对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，理解对顶角的性质，互为余角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 15．如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°． （1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数； （2）如图1，请直接写出图中所有互余的角； （3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE的大小并说明理由． 【答案】（1）145°； （2）∠BOD与∠COM互余，∠BOD与∠AON互余； （3）∠MOE＝∠DOE． 【分析】（1）先求出∠AOC，根据对顶角相等求出∠BOD，已知∠DON＝90°，可求得∠BON的度数； （2）根据互余的定义判断即可，互余的两个角和为90度； （3）可设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x，根据已知可得∠BOEx，进而得出∠MOE和∠DOE的大小． 【详解】解：（1）∵BOM＝90°， ∴∠AOM＝90°， ∵∠COM＝35°， ∴∠AOC＝55°， ∴∠BOD＝55°， ∵∠DON＝90°， ∴∠BON＝∠BOD+∠DON＝55°+90°＝145°； （2）∵∠AOC+∠COM＝90°， ∴∠AOC与∠COM互余， ∵∠AOC+∠AON＝90°， ∴∠AOC与∠AON互余， ∵∠BOD＝∠AOC， ∴∠BOD与∠COM互余，∠BOD与∠AON互余； （3）∠MOE＝∠DOE， ∵∠BOM＝∠DON＝90°， ∴∠MOC＝∠AON， 设∠MOC＝x，则∠AON＝x，∠AOC＝∠BOD＝90°﹣x， ∵∠MON﹣∠BOE＝45°， ∴（90°+x）﹣∠BOE＝45°， ∴∠BOEx， ∴∠MOE＝90°x， ∠DOE＝∠BOE+∠BOE＝90°﹣xx＝90°x， ∴∠MOE＝∠DOE． 【点睛】本题考查了对顶角和邻补角，解题的关键是根据概念会判断并灵活运用，邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 16．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $