专题06 平行线的性质与判定的综合（2知识点+8考点+过关检测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题06 平行线的性质与判定的综合 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 知识点2 ：平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 平行线的判定与性质的联系与区别． 区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 【题型1 添加条件判定是平行线】 【典例1】如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定．根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：A、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； B、∵， ∴，本选项符合题意； C、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； D、∵， ∴，不能判断，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2 【答案】A． 【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∠1＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，可以判定AB∥CD； B、∠1和∠4不是直线AB、CD构成的同位角，不能判定AB∥CD； C、∵∠1＝∠2，∠1+∠3＝180°， ∴∠2+∠3＝180°， 根据“同旁内角互补，两直线平行”可以判定EFGH，不能判定AB∥CD； D、∠1＝∠2不能判定AB∥CD； 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故不符合题意； 、因为与，不是同位角，也不是内错角，故不能判断两直线平行，故符合题意； 、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行）；故不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（　 ） A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180° 【答案】C． 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵∠B=∠3， ∴AB∥EF， 故A不符合题意； ∵∠1=∠4， ∴AB∥EF， 故B不符合题意； ∵∠1=∠B， ∴DF∥BC， 故C符合题意； ∵∠B+∠2=180°， ∴AB∥EF， 故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 【变式4】（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可解答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项错误； B、根据，不能判定，故该选项错误； C、∵，∴，故该选项正确； D、根据，不能判定，故该选项错误； 故选：C． 【题型2 平行线判定的证明】 【典例1】如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行． 【答案】见解析 【分析】 由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF，结合∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC． 【详解】解：AD∥BC 理由如下：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知）， ∴∠BAC＝2∠CAE，∠CAD＝2∠CAF（角平分线的定义）． 又∵∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝58°， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD ＝2（∠CAE+∠CAF） ＝116°（等式性质）． 又∵∠B＝64°（已知）， ∴∠BAD+∠B＝180°． ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的计算以及平行线的判定，根据各角之间的关系，找出∠BAD+∠B＝180°是解题的关键． 【变式1】已知平分，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和角平分线的定义．根据角平分线定义和等量代换得到，即可证明． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F． 求证：CE∥DF． 【答案】见解析 【分析】根据题意和图形，可以在证明过程中写入相应的条件，本题得以解决． 【详解】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，（已知） ∴∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB．（角平分线的定义） 又∵∠ABC＝∠ACB，（已知） ∴∠DBC＝∠ECB．（等量代换） 又∵∠DBF＝∠F，（已知） ∴∠ECB＝∠F．（等量代换） ∴CE∥DF．（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式4】如图，直线，与相交，交点分别为E，F，的平分线交于点G． (1)若，求的度数； (2)若的平分线交于点H，，求证． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、一元一次方程的应用、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，设，，结合得出关于的一元一次方程，解方程即可； （2）由角平分线的定义可得，，由平角的定义求出，结合题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型3 利用平行线求角度数】 【典例1】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义、平行线的判定与性质，由垂线的定义得出，再由平行线的判定与性质得出，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．44° C．46° D．56° 【答案】C． 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可以得到∠CBD的度数，再根据直线l1∥l2，可以得到∠CBD＝∠2，从而可以得到∠2的度数，本题得以解决． 【详解】解：∵CD⊥AB于点D，∠1＝44°， ∴∠CBD＝46°， ∵直线l1∥l2， ∴∠CBD＝∠2， ∴∠2＝46°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质、垂线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式2】如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（　　） A．35° B．60° C．65° D．70° 【答案】D． 【分析】由平行线的性质可得∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE，再由角平分线的定义求得∠DCE＝2∠BCD，即可求∠BAE的度数． 【详解】解：∵AB∥CD，∠B＝35°， ∴∠BCD＝∠B＝35°，∠BAE＝∠DCE， ∵BC平分∠ACD， ∴∠DCE＝2∠BCD＝70°， ∴∠BAE＝70°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等． 【变式3】如图，将含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角顶点A放到矩形DEFH的边DE上，若∠EAB＝15°，则∠FQG的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 【答案】D． 【分析】先根据∠EAB＝15°，∠CAB＝90°得出∠CAE的度数，再由HF∥DE得出∠CMF的度数，由三角形内角和定理得出∠CQM的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵∠EAB＝15°，∠CAB＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣15°＝75°， ∵HF∥DE， ∴∠CMF＝∠CAE＝75°， ∵∠C＝60°， ∴∠CQM＝180°﹣60°﹣75°＝45°， ∴∠FQG＝∠CQM＝45°． 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【变式4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据得出，结合已知可得，即可证明，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴． 【题型4 利用平行线性质证明】 【典例1】如图，，，垂足分别为．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键．先根据证明，根据平行线的性质得出，再根据，得出，最后根据平行线的判定，得出答案即可． 【详解】证明：， ， ， ， ，即， ． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握好平行线的判定定理的解题关键． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，点D、E、H分别在线段上，连接，过点C画交的延长线于点F，且满足，若，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由平行线的性质和已知条件证明，则，再由平行线的性质和已知条件证明，则可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明： ， 两直线平行，内错角相等． ， ． 即． （内错角相等，两直线平行． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；内错角相等，两直线平行． 【变式4】如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，H，D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行，即可得证； （2）由，得到，进而得到，得到，即可． 【详解】（1）解：平行，理由如下 ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）证明：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型5 利用平行线解决实际问题】 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，难度不大，熟练掌握平行线的判定是解题关键．首先根据作出图形，利用平行线的判定性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：A、第一次向左拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相同，故本选项正确，符合题意； B、第一次向右拐，第二次向左拐，如图所示， 行驶方向与原方向不同，故本选项错误，不符合题意； C、第一次向右拐，第二次向右拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意； D、第一次向左拐，第二次向左拐，如图所示： 行驶方向与原方向相反，故本选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式1】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线性质的实际应用，根据平行线的性质可得，，再结合计算即可． 【详解】如图， ∵在空气中平行的光线， 在水中也是平行的 ∴，， ∵ ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 【变式3】探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是 【答案】116 【分析】过O点作OE∥AB，则OE∥CD，利用平行线的性质，得内错角相等，从而求解． 【详解】解：过O点作OE∥AB，则OE∥CD， ∴∠EOB=∠ABO，∠EOC=∠DCO， ∵∠ABO=38°，∠DCO=78°， ∴∠EOB=38°，∠EOC=78°， 即∠BOC=∠BOE+∠EOC=38°+78°=116°． 故答案为：116． 【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 【变式4】如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由对顶角相等和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明，得到，再由平角的定义和角平分线的定义得到，据此由平行线的性质可得． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵扶手与底座都平行于地面， ， ， ， ∴， ∵平分， ， ， ． 【题型6 利用平行线解决折叠问题】 【典例1】如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　） A．77° B．64° C．26° D．87° 【答案】A． 【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数． 【详解】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC， ∴∠AEG＝∠BGD'＝26°， ∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°， 由折叠可得，∠α∠DEG154°＝77°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式1】将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　　 ． 【答案】55°． 【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题． 【详解】解：如图， ∵a∥b， ∴∠2＝∠5， 由翻折变换的性质可知∠4＝∠5， ∴∠4＝∠2， ∵∠1＝∠2+∠4＝110°， ∴∠2＝∠4＝55°， 故答案为：55°． 【点睛】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型． 【变式2】如图，四边形为长方形，点、分别为、边上一点，将长方形沿翻折，点、分别落在、处，若，则 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、折叠，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据长方形的性质可得出,，根据折叠的性质及对顶角相等可得出，利用代入化简即可得出答案． 【详解】解：∵四边形为长方形， ，， , 将长方形沿翻折，，， ， ， ， , ． 故答案为：． 【变式3】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（　　） A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54° 【答案】A． 【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可． 【详解】解：如图， 设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°， ①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE， ∵∠BCD＝90°， ∴α+18°+2α+18°＝90°， 解得α＝18°， ∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1； ②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE， ∵∠BCD＝90°， ∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°， 解得α＝42°， ∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1； 综上所述，图中∠1的度数为72°或48°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【变式4】折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，轴对称的性质； （1）由平行线的性质结合轴对称的性质可得答案； （2）由平行线的性质证明，结合折叠的性质可得，从而可得结论； 【详解】（1）解： ． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴． （2）解：． 理由：∵， ∴． 由折叠可知，， ∴， ∴． 【题型7 通过阅读证明过程填写理由】 【典例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，先由对顶角相等和已知条件证明，进而可证明，再由平行线的判定定理即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知）， ∴（等式的性质） ∴（同位角相等，两直线平行） 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【答案】，；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平得出；根据等量代换可得，进而根据内错角相等两直线平行，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴; ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【答案】对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据对顶角相等，等量代换和平行线的判定定理进行证明即可．掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为（对顶角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等，，等量代换，，，同位角相等． 【变式4】（2425七年级下·上海徐汇·月考）如图，已知平分平分，且，说明的理出．    解：平分（已知）， ，（            ）． 同理，又，（已知） ______________， 又（已知）， ______________（                ）， （                    ）． 【答案】见详解 【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解． 【详解】解：平分（已知）， ，（角平分线的定义）． 同理，又，（已知） ， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）； 故答案为角平分线的定义，1，3，2，3，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义及平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 【题型8 平行线性质与判定的综合】 【典例1】如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用补角的性质求，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）先由得，再结合，得，则，由平行线的性质得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行进行解答即可； （2）先根据平行线的性质得出，根据，得出，证明，根据平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 【变式2】如图，已知交的延长线于点． (1)直接写出线段和的位置关系，线段和的位置关系； (2)写出图中和相等的所有的角； (3)若，求和的度数． 【答案】(1)， (2) (3)； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据垂直于同一直线的两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质以及等角的余角相等，即可求解； （3）根据平行线的性质结合（1）（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴； ∵ ∴， ∵， ∴ （2）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ∵ ∴ ∴ ∴图中和相等的角有 （3）∵，， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． 【变式3】如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段上的点，已知． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，是解题的关键． （1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论； （2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即得； （3）根据平行线的性质和已知得出，然后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）证明： ， 又， ， ； （2）证明： ，， ， ， ； （3）解：， 由（2）可知，， 解得，， ∵； ． 【变式4】如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的定义，从而完成求解． （1）结合题意，根据补角的性质，推导得，根据同位角相等两直线平行的性质分析，即可得到答案； （2）根据平行线的性质，得，根据角平分线的定义，推导得；根据平行线的性质，推导得，即可得到答案； （3）过点作，根据平行线的性质，得，，；设，，根据角平分线的性质，得，，从而推导得，即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，平分，， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：过点作， ， ， ，，， 设，， ，分别平分，， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ． 【变式5】如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得． (1)请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号） ①；② (2)你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题： ①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． ②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________． 【答案】(1)选择结论①，证明见解析或选择结论②，证明见解析 (2)①；② 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用： （1）选择结论①：根据平行线的判定可得，从而得到，即可；选择结论②：根据平行线的判定可得，从而得到，即可； （2）①由（1）得：，，可得，然后结合角平分线的定义可得，即可求解；②设，则，可得，，由（1）得：，，，从而得到，然后结合角平分线的定义可得，可列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：选择结论①： ∵，， ∴， ∴， ∴； 选择结论②： ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得：，， ∵， ∴， ∵点M是和平分线的交点， ∴， ∴， ∴； ②设，则， ∵比大，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：， 即． 故答案为： 1、 选择题 1．木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A． 【分析】根据同位角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是同位角相等，两直线平行， 故选：A． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定方法是解答此题的关键． 2． 如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合已知条件，利用平行线的性质定理和判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故A选项结论正确，不合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故B选项结论正确，不合题意； ∴， 又∵， ∴，， ∴，故C选项结论正确，不合题意； ∵，不一定等于， ∴现有条件无法推出，故D选项结论不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，熟练运用平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． 3．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（　　） A．105° B．120° C．150° D．165° 【答案】D 【分析】由∠D＝∠BAC，利用“同位角相等，两直线平行”，可得出AC∥DF，利用“两直线平行，同位角相等”，可求出∠ACE的度数，结合∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE，可求出∠BCE的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠BCF的度数． 【详解】解：∵∠D＝∠BAC＝90°， ∴AC∥DF， ∴∠ACE＝∠F＝30°， ∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝45°﹣30°＝15°． 又∵∠BCE+∠BCF＝180°， ∴∠BCF﹣180°﹣∠BCE＝180°﹣15°＝165°． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及邻补角，根据各角之间的关系，求出∠BCE的度数是解题的关键． 4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠EFC的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．70° 【答案】C． 【分析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠EDF、∠BAC的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出∠BGF的度数，再根据三角形外角的性质求出∠AFG的度数，最后根据平角的定义即可求出∠EFC的度数． 【详解】解：如图， ∵∠EFD＝90°， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∵∠DEF＝45°， ∴∠EDF＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠BGF＝∠EDF＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠BAC＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠BGF是△AGF的一个外角， ∴∠BGF＝∠AFG+∠GAF， 即45°＝∠AFG+30°， ∴∠AFG＝15°， ∵∠EFD＝90°， ∴∠EFC＝180°﹣∠AFG﹣∠EFD＝180°﹣15°﹣90°＝75°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握这些图形的性质是解题的关键． 5．如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（           ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； 、， 平分 ，故不符合题意； 、， 平分 ，故不符合题意； 、， 不能判断，故符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 2、 填空题 6．如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理即可得到答案． 【详解】解：根据平行线的判定定理可得： ；；都可判断， 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 7．如图，∠2=∠3=65°，要使直线a∥b,则∠1= 度． 【分析】根据平行线的判定解决问题即可． 【解答】解：要使直线a∥b,必须∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠1=180°﹣65﹣65°=50°， 故答案为50． 【点评】本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 【答案】/50度 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 8．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是 ． 【答案】29°． 【分析】延长DC交AE于F，依据AB∥CD，∠BAE＝92°，可得∠CFE＝92°，再根据三角形外角性质，即可得到∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE． 【详解】解：如图，延长DC交AE于F， ∵AB∥CD，∠BAE＝92°， ∴∠CFE＝92°， 又∵∠DCE＝121°， ∴∠AEC＝∠DCE﹣∠CFE＝121°﹣92°＝29°． 故答案为：29°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 10．已知，在同一平面内，，，的平分线交直线于点，那么度数为 ． 【答案】或 【分析】画出相应的简图，再利用平行线的性质及角平分线的定义进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，的度数为：或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 3、 解答题 11．如图，，，，四点共线，已知，，，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：（已知）， （________）， 即， （已知）， ________（________）， ________（________）， （已知）， （________）， ________（________）， ， 即， 又， ． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；； 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质，等量代换，角度的和差关系，掌握平行线的判定与性质是解题关键． 先利用得到同旁内角互补，再结合和逐步推导出与，最后通过两组互补角的等式对比，得出． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， 即， （已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， ， 即， 又， ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；等量代换；； 同位角相等，两直线平行． 12．如图，，、分别平分、，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及平行线的判定与性质．掌握内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． （1）由角平分线的定义得，由 得，结合条件得，从而得出结论； （2）根据平行线的性质得，由可得结论． 【详解】（1）证明：因为分别平分， 所以， 因为 ， 所以， 因为， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以． 因为， 所以． 13．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质并灵活运用． （1）根据，证得，又，等量代换得，从而证得，即可由平行线的性质得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据已知求出的度数，再根据，，证得，得出，进一步求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴，， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．如图1，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2) 的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）根据平角的性质进行等量代换，得到，利用同位角相等两直线平行即可证明； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得到，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后利用平行线的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 16．已知，平分交射线于点E，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）利用角平分线的定义可得，然后再利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答； （2）过点E作，可知，利用平行线的性质可得，，由，可知，由，可证得结论； （3）设，利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，最后利用（2）的结论可得，再利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可得，，再根据已知，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点E作，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴的度数为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题06 平行线的性质与判定的综合 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 知识点2 ：平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 特别说明：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 平行线的判定与性质的联系与区别． 区别：性质是由形到数，用于推导角的关系并计算；判定是由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． 【题型1 添加条件判定是平行线】 【典例1】如图所示，点在的延长线上，下列条件中，能判断的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠5 B．∠1＝∠4 C．∠1+∠3＝180° D．∠1＝∠2 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，下列推理错误的是（　　） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【变式3】如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（） A．∠B＝∠3 B．∠1＝∠4 C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180° 【变式4】（23-24七年级下·上海闵行·期中）如图，可以判定的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 平行线判定的证明】 【典例1】如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行． 【变式1】已知平分，，求证：． 【变式2】如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F． 求证：CE∥DF． 【变式4】如图，直线，与相交，交点分别为E，F，的平分线交于点G． (1)若，求的度数； (2)若的平分线交于点H，，求证． 【题型3 利用平行线求角度数】 【典例1】（23-24七年级下·上海·期末）如图，，，，那么的度数是（      ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．44° C．46° D．56° 【变式2】如图，已知AB∥CD，BC平分∠ACD，∠B＝35°，E是CA延长线上一点，则∠BAE的度数是（　　） A．35° B．60° C．65° D．70° 【变式3】如图，将含有30°的直角三角尺CAB（∠C＝60°）直角顶点A放到矩形DEFH的边DE上，若∠EAB＝15°，则∠FQG的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．45° 【变式4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，已知，求的度数． 【题型4 利用平行线性质证明】 【典例1】如图，，，垂足分别为．求证：． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）补全下列推理过程：已知：如图，平分，，，试说明：． 【变式2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，点D、E、H分别在线段上，连接，过点C画交的延长线于点F，且满足，若，，求证． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，直线和直线被直线所截，，求证：． 【变式4】如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点A，G，H，D，且． (1)判断直线与直线是否平行？若平行，请说明理由； (2)求证：． 【题型5 利用平行线解决实际问题】 【典例1】（23-24七年级下·全国·单元测试）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．第一次向左拐，第二次向右拐 B．第一次向右拐，第二次向左拐 C．第一次向右拐，第二次向右拐 D．第一次向左拐，第二次向左拐 【变式1】光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从空气射向水时，要发生折射．由于折射率相同，所以在空气中平行的光线， 在水中也是平行的．如图，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【变式3】探照灯、汽车灯等很多灯具的光线都与平行线有关，如图所示是一探照灯碗的剖面，从位于点的灯泡发出的两束光线，，经灯碗反射以后平行射出，其中，，则的度数是 【变式4】如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，． (1)求证：； (2)若OE平分，，求后支架与靠背的夹角的度数． 【题型6 利用平行线解决折叠问题】 【典例1】如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（　　） A．77° B．64° C．26° D．87° 【变式1】将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝　　 ． 【变式2】如图，四边形为长方形，点、分别为、边上一点，将长方形沿翻折，点、分别落在、处，若，则 ．（用含的代数式表示） 【变式3】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（　　） A．72°或48° B．72°或36° C．36°或54° D．72°或54° 【变式4】折纸是进一步理解直线平行的条件和平行线的性质，提升推理能力的一种有效的方法． (1)如图①，四边形是长方形纸片，，折叠纸片，折痕为，和交于点G．探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在（1）中折叠的基础上，再将纸片折叠，使得经过点E，折痕为．探究两次折痕和的位置关系，并说明理由． 【题型7 通过阅读证明过程填写理由】 【典例1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【变式1】（24-25七年级下·上海闵行·月考）如图，直线分别交直线，于点，．，且．求证：． 补充完成下列证明，并填上推理依据． 证明∵（已知），（　　　）， ∴（　　　）． ∵（已知）， ∴（　　　） ∴（　　　） 【变式2】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，请写出所有的平行线，并说明理由． 【变式3】（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，请完成下面的填空． 解：因为（____________） 又因为（已知） 所以______（______） 所以____________（______，两直线平行） 【变式4】（2425七年级下·上海徐汇·月考）如图，已知平分平分，且，说明的理出．    解：平分（已知）， ，（            ）． 同理，又，（已知） ______________， 又（已知）， ______________（                ）， （                    ）． 【题型8 平行线性质与判定的综合】 【典例1】如图，已知，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）如下图，在三角形ABC中，，点E在BC上，过点E作． (1)试探究CD与EF的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【变式2】如图，已知交的延长线于点． (1)直接写出线段和的位置关系，线段和的位置关系； (2)写出图中和相等的所有的角； (3)若，求和的度数． 【变式3】如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段上的点，已知． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【变式4】如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补． (1)试判断直线与直线的位置关系，并说明理由； (2)如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由； (3)如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系． 【变式5】如图1，点，点分别是上的点，，过直线与之间的点作，可得． (1)请你在下面的两个结论中任选一个，完成你的证明．你选择结论__________（只填序号） ①；② (2)你可以直接使用（1）中的结论解决下列问题： ①如图2，，点M是和平分线的交点，，求的度数． ②如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数为__________． 1、 选择题 1．木工师傅用图中的角尺画平行线，他依据的数学道理是（　　） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，内错角相等 2． 如图，在三角形ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．将一副三角尺如图放置，其中∠D＝∠BAC＝90°，∠F＝30°，∠B＝45°，则∠BCF的度数为（　　） A．105° B．120° C．150° D．165° 4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∠EFD＝90°，∠DEF＝45°，AB∥DE，则∠EFC的度数是（　　） A．60° B．65° C．75° D．70° 5．如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（           ）    A． B． C． D． 2、 填空题 6．如图，，，三点在同一条直线上，在不添加辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使（填一个即可）．    7．如图，∠2=∠3=65°，要使直线a∥b,则∠1= 度． 8．如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为 8．乐乐观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知AB∥CD，∠BAE＝92°，∠DCE＝121°，则∠AEC的度数是 ． 10．已知，在同一平面内，，，的平分线交直线于点，那么度数为 ． 3、 解答题 11．如图，，，，四点共线，已知，，，则和相等吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 证明：（已知）， （________）， 即， （已知）， ________（________）， ________（________）， （已知）， （________）， ________（________）， ， 即， 又， ． 12．如图，，、分别平分、，且． 求证： (1)； (2)． 13．如图，已知，． (1)求证：； (2)若平分，于点E，，求的度数． 14．如图1，点C，D在直线上，，． (1)求证：； (2) 的角平分线交于点G，过点F作交的延长线于点M．若，求的度数． 15．如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 16．已知，平分交射线于点E，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F是射线上一点，过点F作交射线于点G，点N是上一点，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P为延长线上一点，平分交于点M，若平分，，，求的度数． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $