第六章 重点突破2 平面向量中的最值、范围问题-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

学习目标 1.进一步掌握平面向量线性运算和数量积的计算方法. 2.掌握平面向量中最值、范围问题的解决方法，培养数学运算的核心素养. 题型一　向量线性运算中的最值、范围问题 如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D.若＝m＋n，则m＋n的取值范围是　　　　　　　. 答案：(－1，0) 解析：由点D是圆O外一点，可设＝λ(λ＞1)，则＝＋λ＝λ＋(1－λ).又因为C，O，D三点共线，令＝－μ(μ＞1)，则＝－－(λ＞1，μ＞1)，所以m＝－，n＝－，则m＋n＝－－＝－∈(－1，0). 利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后利用函数的性质或基本不等式求最值(范围). 对点练1.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足＝m＋n(m，n均为正实数)，则＋的最小值为　　　　. 答案： 解析：因为在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，所以＝＋＝－，所以＝m＋n＝m＋n(－)＝(m－n)·＋n.由P，B，C三点共线得m－n＋n＝m＋n＝1(m，n＞0)，所以＋＝(＋)(m＋n)＝＋＋≥＋2＝＋＝(当且仅当3n2＝4m2时，取等号)，即＋. 题型二　向量数量积的最值、范围问题 (一题多解)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，点P在边CD上，则·的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：法一：由AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，得AC2＝AB2＋BC2，AC2＝AD2＋DC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC＝∠BAC＝60°.设DP＝x，则0≤x≤，所以·＝(＋)·(＋＋)＝·＋·＋·＋·＋·＋·＝1×1×＋1＋1×x×＋x2＝x2－x＋＝＋≥，当且仅当x＝时，·.故选A. 法二：由AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，得AC2＝AB2＋BC2，AC2＝AD2＋DC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ACB＝∠ACD＝30°，连接BD，交AC于点O，则易知BD⊥AC，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A，B，C，D，所以＝.设＝λ(0≤λ≤1)，则＝，所以P，＝，＝，则·＝λ＋λ2＋－λ－λ＋λ2＝3λ2－λ＋＝3＋≥，当且仅当λ＝时，·.故选A. 法三：由AB＝AD＝1，BC＝DC＝，AC＝2，得AC2＝AB2＋BC2，AC2＝AD2＋DC2，所以AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAC＝∠BAC＝60°，∠ACB＝∠ACD＝30°，如图所示，分别以DA，DC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系， 所以A(1，0)，B.因为点P在边CD上，所以设P(0，y)(0≤y≤)，所以＝(－1，y)，＝，所以·＝(－1)×＋y×＝y2－y＋＝＋≥，当且仅当y＝时，·.故选A. 解决向量数量积的最值、范围问题的方法 1.“数化”：建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，运用二次函数、三角函数或基本不等式求解. 2.“形化”：用基底表示向量，根据向量的运算律化简目标，再结合向量数量积的几何意义求解. 对点练2.已知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝，点F为线段BD上一动点，点E满足＝3，则·的最大值为(　　) A.0 B. C.3 D. 答案：C 解析：如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，)，D(1，)，则＝＝(1，)＝.由题意，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝λ(－1，)＝(－λ，λ)，则＝＋＝(2，0)＋(－λ，λ)＝(2－λ，λ)，所以·＝(2－λ)＋·λ＝λ＋.因为0≤λ≤1，所以当λ＝1时，·取得最大值，最大值为3.故选C. 题型三　向量模的最值、范围问题 在梯形ABCD中，∥，⊥，｜｜＝2，｜｜＝2｜｜.若点P在线段BC上，则｜＋3｜的最小值是(　　) A. B.4 C. D.6 答案：D 解析：如图所示，以B为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系.设｜｜＝d，｜｜＝p，则B(0，0)，A(0，2)，C(2d，0)，D(d，2)，P(p，0)(0≤p≤2d)，所以＝(2d－p，0)，＝(d－p，2).所以＋3＝(5d－4p，6)，所以｜＋3｜＝≥6(当且仅当5d＝4p时等号成立).所以｜＋3｜的最小值是6.故选D. 学生用书⬇第34页 解决向量模的最值、范围问题的方法 1.根据平面向量的绝对值三角不等式，取等号时取到最值. 2.建系，将向量的模用坐标表示，利用函数或不等式的思想求解. 对点练3.A，B，C三点在半径为1的圆O上运动，且AC⊥BC，M是圆O外一点，OM＝2，则｜＋＋2｜的最大值是　　　　. 答案：10 解析：连接AB，如图所示，因为AC⊥BC，则AB为圆O的一条直径，故O为AB的中点，所以＋＝(＋)＋(＋)＝2，所以｜＋＋2｜＝｜2＋2(＋)｜＝｜4＋2｜≤4｜｜＋2｜｜＝4×2＋2×1＝10，当且仅当M，O，C共线且，同向时，等号成立. 题型四　向量夹角的最值、范围问题 已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若｜e1＋te2｜≥(t∈R)，则θ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，所以e1·e2＝1×1×cos θ＝cos θ.又｜e1＋te2｜≥，所以｜e1＋te2｜2＝＋2te1·e2＋t2＝t2＋2cos θ·t＋1＝(t＋cos θ)2＋sin2θ≥sin2θ≥.又θ∈[0，π]，所以sin θ≥，所以θ∈.故选C. 解决向量夹角的最值、范围问题的方法 1.将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小问题. 2.利用余弦函数y＝cos α以及α∈[0，π]的单调性求出α的取值范围. 对点练4.平面向量a，b满足｜a－b｜＝3，｜a｜＝2｜b｜，则a－b与a夹角的最大值为　　　　. 答案： 解析：因为｜a－b｜＝3，｜a｜＝2｜b｜，所以(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4b2－2a·b＋b2＝9，所以a·b＝b2－，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝4b2－b2＋＝b2＋，所以cos 〈a－b，a〉＝＝＝｜b｜＋≥2＝，当且仅当｜b｜＝，｜a｜＝2时等号成立.因为0≤〈a－b，a〉≤π，所以0≤〈a－b，a〉≤，所以a－b与a夹角的最大值为. 1.已知向量＝(1，0)，＝(0，2)，＝t，则当｜｜取最小值时，实数t＝(　　) A. B. C. D.1 答案：A 解析：由＝t＝＋t(－)，则＝(1，0)＋t＝(1－t，2t)，｜｜＝＝＝，则当t＝时，｜｜有最小值.故选A. 2.在Rt△ABC中，B＝90°，AC＝2AB＝2，＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，则·的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案：C 解析：由题可知｜｜＝1，｜｜＝，·＝0.则·＝(＋)·(＋)＝(＋＋λ)·＝[(1－λ)－]·[＋(1－λ)－(1－λ)]＝[(1－λ)－]·[λ＋(1－λ)]＝－λ2＋4λ－3＝－(λ－2)2＋1≤1.则·的最大值为1.故选C. 3.已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，｜b｜＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角θ的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝.又因为2t2－4t＋8＝2(t－)2＋4≥4，所以0＜cos θ≤，所以θ的最小值为.故选C. 4.已知｜a＋b｜＝2，向量a，b的夹角为，则｜a｜＋｜b｜的最大值为　　　　. 答案： 解析：将｜a＋b｜＝2平方转化得(｜a｜＋｜b｜)2－｜a｜｜b｜＝4.由基本不等式得｜a｜｜b｜≤()2＝，故(｜a｜＋｜b｜)2≤4，即(｜a｜＋｜b｜)2≤，即｜a｜＋｜b｜≤，当且仅当｜a｜＝｜b｜＝时等号成立，所以｜a｜＋｜b｜的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $