第六章 重点突破1 平面向量数量积的综合应用-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

学习目标 1.掌握平面向量线性运算与数量积运算. 2.会用数量积运算解决向量的模、夹角、垂直等问题，培养数学运算的核心素养. 题型一　平面向量数量积的计算 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，F为AB的中点，CE＝3，CB＝8，AB＝12，则·＝(　　) A.－15 B.15 C.－13 D.13 答案：D 解析：法一(基底法)：因为∠ABC＝90°，F为AB的中点，CB＝8，AB＝12，所以FA＝FB＝6，所以CF＝＝10.又CE＝3，所以FE＝CF－CE＝7，所以·＝(－)·(－)＝·－·(＋)＋＝6×6×(－1)＋7×7＝13.故选D. 法二(坐标法)：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12，0)，B(0，0)，C(0，8)，F(6，0).在Rt△CBF中，CF＝＝10，又CE＝3，所以CE＝FC，即FE＝FC，则＝＋＝＋＝(6，0)＋(－6，8)＝(，)，同理＝(－，)，所以＝(，－)，＝(－，－)，则·＝×(－)＋(－)2＝13.故选D. 平面向量数量积的运算方法 1.当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝｜a｜｜b｜cos θ(θ为非零向量a，b的夹角). 2.当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. 3.选择合适的基底，转化为基底去解决问题. 对点练1.如图，在等腰直角△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点.将线段AC绕着点D旋转得到线段EF，则·＝(　　) A.－2 B.－ C.－1 D.－ 答案：D 解析：连接MD(图略)，因为在等腰Rt△ABC中，斜边AC＝2，M为AB的中点，D为AC的中点，所以DM＝BC＝，DE＝AC＝1，＝＝－，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝－＝－1＝－.故选D. 题型二　平面向量数量积的应用 角度1　模的问题 在平行四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F在边CD上，满足＝.若｜｜＝4，∠DAB＝，且⊥，则｜｜＝　　　　. 答案：1 解析：以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设｜｜＝a，则由题意可得E(2，0)，B(4，0)，C(4＋，a)，F(＋，a).所以＝(2＋，a)，＝(－，a).因为⊥，所以·＝0，即(2＋)(－)＋(a)2＝0，所以5a2＋3a－8＝0，解得a＝1或a＝－(舍去)，所以｜｜＝1. 角度2　角的问题 已知矩形ABCD的边长满足BC＝3AB，点P满足＝＋)，则cos ∠DPA的值为　　　　. 答案：－ 解析：以点A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设BC＝3AB＝3，则点A(0，0)，B(1，0)，C(1，3)，D(0，3)，＝＋)＝(1，0)＋(1，3)＝(1，)，则点P(1，)，所以＝(－1，)，＝(－1，－)，因此｜｜＝＝，｜｜＝，·＝(－1)×(－1)＋×(－)＝1－＝－.cos ∠DPA＝＝＝－. 角度3　垂直问题 在△ABC中，｜｜＝2，点A(1，1). (1)若C(2，0)，且A，B，C三点能构成直角三角形，求点B的坐标； (2)x轴上是否存在点B，C，满足·＝0？若存在，求出点B，C的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)设点B(x，y)，则＝(1，－1)，＝(x－1，y－1)，＝(x－2，y). 因为｜｜＝2，所以｜｜＝＝2， 所以(x－2)2＋y2＝4. 因为｜｜＝＜｜｜＝2，所以B≠90°. 当A＝90°时，·＝0，所以x－y＝0. 又因为(x－2)2＋y2＝4，所以x＝0或x＝2. 所以点B的坐标为(0，0)或(2，2). 当C＝90°时，·＝0，所以x－2－y＝0. 又因为(x－2)2＋y2＝4，所以y＝±.所以点B的坐标为(2＋，)或(2－，－). 综上所述，点B的坐标为(0，0)或(2，2)或(2＋，)或(2－，－). (2)存在.依题意可设点B(b，0)，C(c，0)，则＝(b－1，－1)，＝(c－1，－1). 因为｜｜＝2，·＝0，所以｜｜＝｜b－c｜＝2①， ·＝(b－1)(c－1)＋1＝0②， 联立①②解得所以点B，C的坐标分别为B(0，0)，C(2，0)或B(2，0)，C(0，0). 1.求模：利用公式｜a｜＝. 2.求夹角：cos θ＝. 3.判定垂直：若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 学生用书⬇第32页 对点练2.(1)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　) A.－6 B.－5 C.5 D.6 (2)(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则(　　) A.｜b｜＝2 B.a·b＝－2 C.(4a＋b)⊥ D.｜a－b｜＝1 答案：(1)C　(2)AC 解析：(1)由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5.故选C. (2)由题意可知，b＝(2a＋b)－2a＝－＝，则｜b｜＝｜｜＝2，故A正确；a·b＝·＝｜｜·｜｜cos 120°＝×2×2×(－)＝－1，故B错误；(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋b2＝4×(－1)＋22＝0，则(4a＋b)⊥，故C正确；｜a－b｜2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×(－1)＋4＝7≠1，即｜a－b｜≠1，故D错误.故选AC. 题型三　平面向量的数量积与三角函数的综合 已知向量a＝(sin 2x，1)，b＝(，cos 2x)，函数f(x)＝a·b.求： (1)f的值； (2)函数y＝f在上的值域. 解：(1)f(x)＝a·b＝sin 2x＋cos 2x＝2sin(2x＋)，所以f＝2sin＝－. (2)由(1)知y＝f＝2sin . 因为x∈，所以2x－∈. 当2x－＝－，即x＝－时，y有最小值－2； 当2x－＝－，即x＝－时，y有最大值1. 所以函数y＝f上的值域为[－2，1]. 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 1.题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，先运用向量相关知识，得到三角函数的关系式，然后求解. 2.当给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式时，其解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求解. 对点练3.(1)(多选)已知向量a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)(0≤θ≤π)，则下列说法正确的是(　　) A.若a∥b，则tan θ＝ B.若a⊥b，则θ的值为 C.a·b的取值范围为[－，2] D.存在θ，使得｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜ (2)已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α的值(其中k为非零实数). 答案：(1)AB 解析：(1)对于A，若a∥b，则cos θ＝sin θ，所以tan θ＝，故A正确；对于B，若a⊥b，则cos θ＋ sin θ＝0，所以tan θ＝－，因为0≤θ≤π，所以θ的值为，故B正确；对于C，a·b＝cos θ＋sin θ＝2sin ，因为0≤θ≤π，所以≤θ＋≤，sin ∈，所以a·b的取值范围为[－1，2]，故C错误；对于D，a－b＝(1－cos θ，－sin θ)，所以｜a－b｜＝＝，｜a｜＋｜b｜＝2＋1＝3，若｜a－b｜＝｜a｜＋｜b｜，则＝3，得sin (θ＋)＝－1，解得θ＝－＋2kπ(k∈Z)，因为0≤θ≤π，所以0≤－＋2kπ≤π，解得≤k≤，因为k∈Z，所以无解，故D错误.故选AB. (2)由题意可知｜a｜＝1，｜b｜＝1，a·b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (β－α). 因为｜ka＋b｜＝｜a－kb｜， 所以｜ka＋b｜2＝｜a－kb｜2， 即k2a2＋2ka·b＋b2＝a2－2ka·b＋k2b2， 即k2＋2ka·b＋1＝1－2ka·b＋k2， 整理得a·b＝cos (β－α)＝0. 因为0＜β＜α＜π，则0＜α＜π，0＜β＜π， 所以－π＜β－α＜0，所以β－α＝－. 1.已知向量a＝(x，0)，b＝(2，1).若(a－4b)·b＝0，则x的值为(　　 ) A.10 B.6 C.3 D.－4 答案：A 解析：由题设a－4b＝(x－8，－4)，则(a－4b)·b＝2(x－8)－4＝0，可得x＝10.故选A. 2.(多选)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则下列结论中正确的是(　　) A.a·b＝5 B.｜a－b｜＝ C.〈a，b〉＝ D.a∥b 答案：ABC 解析：a·b＝3×1＋(－1)×(－2)＝5，故A正确；a－b＝(2，1)，｜a－b｜＝＝，故B正确；｜a｜＝＝，｜b｜＝＝，则cos 〈a，b〉＝＝＝，〈a，b〉＝，故C正确；3×(－2)≠(－1)×1，故D错误.故选ABC. 3.在△ABC中，AB＝4，AC＝2，点M是边BC的中点，则·＝　　　　. 答案：－6 解析：因为在△ABC中，点M是边BC的中点，所以＝＋).因为＝－，AB＝4，AC＝2，所以·＝(－)·＋)＝－)＝×(4－16)＝－6. 4.已知a，b都是单位向量，若a－b与b垂直，且｜a＋b｜＝k｜a－b｜，则k＝　　　　. 答案： 解析：由于a－b与b垂直，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝a·b－＝0，a·b＝.由｜a＋b｜＝k｜a－b｜两边平方并化简得2＋2a·b＝k2(2－2a·b)，即2＋1＝k2(2－1)，k2＝3，k＝或k＝－(舍去)，所以k的值为. 学科网（北京）股份有限公司 $