第六章 平面向量及其应用 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

章末综合提升 探究点一　平面向量的线性运算 (1)设D，E为△ABC所在平面内两点，＝，＝2，则＝(　　) A.－＋ B.－ C.－ D.－＋ (2)如图，在△ABC中，＝，P是线段BD上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A. B. C.2 D. 答案：(1)B　(2)A 解析：(1)如图所示，因为＝，＝2，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝＋－)＝－.故选B. (2)设＝λ，0≤λ≤1，因为＝，所以＝，则＝＋＝＋λ＝＋λ(＋)＝(1－λ)＋λ.又因为＝m＋，所以解得λ＝，m＝.故选A. 1.向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相接”，即＋＝. 2.向量减法的实质是向量加法的逆运算，是相反向量的应用. 3.数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换. 学生用书⬇第55页 对点练1.(1)如图所示，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b (2)平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使｜｜＝｜｜，则点E的坐标为　　　　. 答案：(1)C　(2) 解析：(1)因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，所以＝＋＝＋＝＋＋)＝＋＋＝＋－)＋－＝＋＋，所以＝＋，所以＝＋＝a＋b.故选C. (2)因为＝，所以－＝－)，所以＝2－＝(3，－6).所以点C的坐标为(3，－6).由｜｜＝｜｜，且E在DC的延长线上，所以＝－.设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，得即E. 探究点二　平面向量数量积的运算 (1)(多选)如图，点A，B和C分别在半径为1与3的同心圆上.当△ABC的面积最大时，下列结论正确的是(　　) A.·＝·＝· B.＋＋＝0 C.S△OAB∶S△ABC＜ D.S△OAB＜S△OAC (2)在平行四边形ABCD中，若AB＝2，AD＝1，·＝－1，点M在边CD上，则·的最大值为　　　　. 答案：(1)ACD　(2)2 解析：(1)对于A，若将点A，B固定，当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，此时OC⊥AB.同理，固定点A，C.当点B到AC的距离最大时，△ABC的面积最大，此时OB⊥AC.固定点B，C是一样的，也就是说当△ABC面积最大时，O是△ABC的垂心，所以·＝0，即·(－)＝0，即·＝·.同理可得，·＝·，所以A正确；对于B，由题知，圆心O在△ABC内部，易知｜｜＋｜｜＜｜｜，所以＋＋≠0，O不是重心，所以B错误；对于C，如图，设A，B固定且△ABC面积最大时，AB边上的高为CD.因为＝＝＜，所以S△OAB∶S△ABC＜，所以C正确；对于D，＝＝－1)＞×(3－1)＝1.即S△OAC＞S△OAB，所以D正确.故选ACD. (2)因为·＝－1，AB＝2，AD＝1，所以｜｜·｜｜·cos ∠BAD＝－1，所以2cos ∠BAD＝－1，cos ∠BAD＝－，所以∠BAD＝120°.以点A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，设M，x∈，所以＝，＝，则·＝x(x－2)＋＝(x－1)2－，令f(x)＝(x－1)2－，x∈，则f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)max＝f＝2. 平面向量的数量积运算 1.方法 (1)定义法：a·b＝｜a｜｜b｜cos θ； (2)坐标法：a·b＝x1x2＋y1y2(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)). 2.应用 (1)求模：｜a｜＝＝； (2)求夹角：cos θ＝＝. 对点练2.(1)(多选)已知平面向量a＝(1，0)，b＝(1，2)，则下列说法正确的是(　　) A.｜a＋b｜＝16 B.(a＋b)·a＝2 C.向量a＋b与a的夹角为30° D.向量a＋b在a上的投影向量为2a (2)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋.若·＝4，则｜｜的最小值为　　　　. 答案：(1)BD　(2)2 解析：(1)a＋b＝(2，2)，则｜a＋b｜＝＝4，故A错误；(a＋b)·a＝2×1＋2×0＝2，故B正确；cos 〈a＋b，a〉＝＝，又0°≤〈a＋b，a〉≤180°，所以向量a＋b与a的夹角为60°，故C错误；向量a＋b在a上的投影向量为·＝2a，故D正确.故选BD. (2)设＝λ(λ∈R)，则＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝λ＋(1－λ)＝＋m，所以解得m＝λ＝.因为·＝｜｜·｜｜cos ＝｜｜·｜｜＝4，所以｜｜·｜｜＝8，｜｜2＝＝＋＋·＝｜｜2＋｜｜2＋≥2＋＝4，当且仅当｜｜＝｜｜，即｜｜＝｜｜时，等号成立.所以｜｜的最小值为2. 探究点三　利用正、余弦定理解三角形 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2C＋cos 2B－cos 2A＝1－sin Csin B. (1)求角A的大小； (2)若点D是边BC中点，且csin ∠BAD＋bsin ∠CAD＝bc，求△ABC面积的最大值. 解：(1)cos 2C＋cos 2B－cos 2A＝1－sin Csin B，即sin 2A－sin 2B－sin 2C＝－sin Csin B. 由正弦定理，得a2－b2－c2＝－bc，即b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝. 因为A∈，所以A＝. (2)因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，即bc×＝c·AD·sin ∠BAD＋b·AD·sin ∠CAD， 所以AD＝1.由BD＝DC，所以＝＋，所以4＝＝＋2·＋，则4＝c2＋b2＋bc≥3bc，所以bc≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立. 所以S△ABC＝bcsin ≤××＝.即△ABC面积的最大值为. 解三角形的一般方法 1.已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. 2.已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角. 3.已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况. 4.已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C. 学生用书⬇第56页 对点练3.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，A＝，a＝，　　　　　　. (1)若在横线处填入b＝，求B； (2)给出两个条件： ①内角A的平分线长为； ②BC边上的中线长为. 从条件①②中选择一个填入横线，求△ABC的面积S.(若选择①②分别作答，则按选择①给分). 解：(1)由＝，得sin B＝＝＝. 因为△ABC中，B∈，所以B＝.又因为a＝＞b＝，所以A＞B，所以B＝. (2)选择①：设∠BAC的平分线交BC于点E，则AE＝，∠BAE＝∠CAE＝.因为S△ABC＝S△ACE＋S△ABE，所以bc·sin ∠BAC＝bAE·sin ∠CAE＋cAE·sin ∠BAE，所以bc＝，即b＋c＝bc.在△ABC中，由余弦定理cos ∠BAC＝＝，所以×2bc＝－2bc－，所以27－400bc－2 800＝0，所以＝0. 因为b＞0，c＞0，所以bc＝20， 所以S△ABC＝bcsin A＝5. 选择②：以AB，AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形ABDC， 则有＋＝2，即AD2＋BC2＝2， 又结合已知AD＝2×＝，BC＝a＝，可解得AC2＋AB2＝41，即b2＋c2＝41.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc·cos A，将A＝，a＝，b2＋c2＝41代入解得bc＝20，所以S△ABC＝bcsin A＝×20×＝5. 探究点四　余弦、正弦定理在实际问题中的应用 一颗人造地球卫星在地球上空1 600 km处沿着圆形的轨道运行，每2 h沿轨道绕地球旋转一圈.假设卫星于中午12点整通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6 400km. (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12∶03时相隔的距离是多少. (2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？(参考数据：cos 9°≈0.988，sin 9°≈0.156) 解：(1)如图所示，设人造卫星在12∶03时位于C点，其中∠AOC＝β，则β＝360°×＝9°. 在△ACO中，OA＝6 400 km，OC＝6 400＋1 600 ＝8 000(km)， 由余弦定理得AC2＝6 4002＋8 0002－2×6 400×8 000cos 9°≈3.79×106，解得AC≈1.95×103. 因此，在12∶03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约1 950 km. (2)如图所示，设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ，则∠CAO＝γ＋90°. 由正弦定理得＝，故sin (γ＋90°)＝sin 9°≈0.64，即cos γ≈0.64. 因此天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值为0.64. 正、余弦定理的实际应用 1.关键：作出示意图，将实际问题转化为数学问题. 2.方法：将已知元素与未知元素放在同一个三角形中，利用正余弦定理求解. 3.注意：明确题中的专业术语，如视角、仰角、俯角、方向角、方位角等. 对点练4.如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°方向且与该港口相距20 n mile的A处，并以30 n mile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶，经过t h与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30 n mile/h，试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由. 解：(1)如图所示，由题意及余弦定理得OC2＝AC2＋OA2－2×AC×OA×cos ∠OAC，即v2t2＝900t2＋400－1 200tcos 60°＝900t2－600t＋400＝900＋300. 当t＝时，OC取得最小值，此时速度v＝30 n mile/h. 此时小艇的航行方向为正北方向， 航行速度为30 n mile/h. (2)要用时最短，则速度最高，即为30 n mile/h，则由(1)可得OC2＝AC2＋OA2－2×AC×OA×cos ∠OAC， 即(30t)2＝900 t2＋400－1 200tcos 60°，解得t＝，此时∠BOC＝30°. 在△OAB中，OA＝OB＝AB＝20. 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30 n mile/h，小艇能以最短时间与轮船相遇. 学生用书⬇第57页 (2024·全国甲卷)设向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A.x＝－3 是a⊥b的必要条件 B.x＝－3是a∥b的必要条件 C.x＝0是a⊥b的充分条件 D.x＝－1＋是a∥b的充分条件 答案：C 解析：a⊥b⇔x2＋x＋2x＝0⇔x＝0或x＝－3，所以x＝－3是a⊥b的充分条件，x＝0是a⊥b的充分条件，故A错误，C正确；a∥b⇔2x＋2＝x2⇔x2－2x－2＝0⇔x＝1±，故B，D错误.故选C. 溯源：(人教A版必修第二册P31例7)已知a＝(4，2)，b＝(6，y)，且a∥b，求y. 点评：高考题及教材例题都考查两向量共线的坐标表示.而2024年高考题是将两向量共线、垂直及充要条件综合考查. (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜a＋2b｜＝2，且(b－2a)⊥b，则｜b｜＝(　　) A. B. C. D.1 答案：B 解析：由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将｜a＋2b｜＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6｜b｜2＝4，解得｜b｜2＝，所以｜b｜＝.故选B. 溯源： (人教A版必修第二册P61复习参考题6T13(6))若向量a，b，c两两的夹角相等，且｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝3，则｜a＋b＋c｜＝(　　) A.2 B.5　 C.2或5 D.或 点评：高考题和教材习题考查的都是求向量的模，一般方法就是根据题目条件，利用向量模的平方得出答案. (2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1).若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　) A.λ＋μ＝1 B.λ＋μ＝－1 C.λμ＝1 D.λμ＝－1 答案：D 解析：因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ).由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D. 溯源： (人教A版必修第二册P60复习参考题6T8)已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1).当λ为何值时，a＋λb与a垂直？ 点评：教材习题和高考题类似，都是根据向量垂直的充要条件求参数，其一般方法为根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出. (2023·全国甲卷)已知向量a，b，c满足｜a｜＝｜b｜＝1，｜c｜＝，且a＋b＋c＝0，则cos〈a－c，b－c〉＝(　　) A.－ B.－ C. D. 答案：D 解析：因为 a＋b＋c＝0，所以a＋b＝－c，即a2＋b2＋2a·b＝c2，即1＋1＋2a·b＝2，所以a·b＝0.如图所示，设＝a，＝b，＝c， 由题知，OA＝OB＝1，OC＝，△OAB是等腰直角三角形，AB边上的高OD＝，AD＝，所以CD＝CO＋OD＝＋＝，tan∠ACD＝＝，cos∠ACD＝，cos＜a－c，b－c＞＝cos∠ACB＝cos 2∠ACD＝2cos2∠ACD－1＝2×()2－1＝.故选D. 溯源： (人教A版必修第二册P24习题6.2T18)已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，且(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ. 点评：该高考题与教材习题都是考查利用数量积公式求夹角. (2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　) A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 答案：B 解析：因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2，所以＝ 3－2＝3n－2m ＝－2m＋3n.故选B. 溯源：(人教A版必修第二册P14例6)如图，▱ABCD的两条对角线相交于点M，且＝a，＝b，用a，b表示，，和. 点评：高考题与教材例题都是考查向量的线性运算. (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理得cos C＝＝. 又0＜C＜π，所以C＝. 所以cos B＝sin C＝，所以cos B＝， 又0＜B＜π，所以B＝. (2)sin A＝sin(π－B－C)＝sin(B＋C)＝sincos＋cossin＝， 由正弦定理＝，得＝，所以a＝c. 所以△ABC的面积S＝acsin B＝c2×＝3＋， 得c＝2. 溯源： (人教A版必修第二册P54习题6.4T22)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C＋asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，且△ABC的面积为，求b，c. 点评：高考题和教材习题的考查角度、考查方式一样，都是给出含有三角形的边、角关系的式子，结合三角知识求解，事实上这类问题是高考试题中解三角形问题的典型的题型. 学科网（北京）股份有限公司 $