9.2.1 第1课时 频率分布直方图-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本高中数学讲义聚焦“频率分布直方图”核心知识点，在初中用样本平均数、方差估计总体的基础上，通过极差计算、分组、绘制频率分布表与直方图的学习支架，构建用样本估计总体取值规律的方法，为后续百分位数等学习奠定基础。 资料以100位居民月均用水量等真实数据为载体，设计问题链引导学生经历数据处理全过程，培养数据分析、数学运算核心素养。课中例题与对点练结合助力教师教学，课后练习题与方法提炼帮助学生巩固，实现学用结合。

单元学习十二　用样本估计总体 [单元整体设计]　用样本估计总体是统计的基本思想.本单元内容体现了对数据分析方法学习的螺旋上升，即在初中学习用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差的基础上进一步学习数据统计特征的刻画方法，并用样本的统计特征估计总体的统计特征，包括总体取值规律的估计、总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计和总体离散程度的估计，进一步体会样本估计总体的思想和方法.学习计划5课时. 本单元内容重点是频率分布直方图，百分位数，分层随机抽样总样本方差的计算.难点是统计图的选择，分层随机抽样总样本方差的计算，样本与总体的关系.在研究的过程中，提升数据分析、数学运算、数学建模的核心素养. 9.2　用样本估计总体 9.2.1　总体取值规律的估计 第1课时　频率分布直方图 学习目标 1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法. 2.掌握用频率分布直方图估计总体. 任务一　画频率分布直方图 (阅读教材P193—195，完成问题1、2、3) 假如通过抽样调查，获得100位居民的月均用水量数据如下(单位：t)： 9.0　13.6　14.9　5.9　4.0　7.1　6.4　5.4　19.4　2.0 2.2　8.6　13.8　5.4　10.2　4.9　6.8　14.0　2.0　10.5 2.1　5.7　5.1　16.8　6.0　11.1　1.3　11.2　7.7　4.9 2.3　10.0　16.7　12.0　12.4　7.8　5.2　13.6　2.6　22.4 3.6　7.1　8.8　25.6　3.2　18.3　5.1　2.0　3.0　12.0 22.2　10.8　5.5　2.0　24.3　9.9　3.6　5.6　4.4　7.9 5.1　24.5　6.4　7.5　4.7　20.5　5.5　15.7　2.6　5.7 5.5　6.0　16.0　2.4　9.5　3.7　17.0　3.8　4.1　2.3 5.3　7.8　8.1　4.3　13.3　6.8　1.3　7.0　4.9　1.8 7.1　28.0　10.2　13.8　17.9　10.1　5.5　4.6　3.2　21.6 问题1.上述100个数据中的最大值和最小值分别是多少？由此说明样本数据的变化范围是什么？ 提示：最大值是28.0 t，最小值是1.3 t，样本数据的变化范围为26.7 t. 问题2.样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，如果将上述100个数据按组距为3进行分组，那么这些数据共分为多少组？ 提示：26.7÷3＝8.9.因此可以将数据分为9组. 问题3.以组距为3进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？ 提示：[1.2，4.2)，[4.2，7.2)，…，[25.2，28.2]. 1.总体取值规律的估计 常选择频率分布表和频率分布直方图来整理和表示数据，进而估计总体的分布规律. 2.频率分布直方图的画法 学生用书⬇第143页 [微提醒]　频率分布直方图的纵轴表示，频数分布直方图的纵轴表示频数. 从某校高三学生中抽取50名参加数学竞赛，成绩分组(单位：分)及各组的频数如下： [40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8. (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在[60，90)分的学生比例. 解：(1)频率分布表如下： 成绩分组 频数 频率 累积频率 [40，50) 2 0.04 0.04 [50，60) 3 0.06 0.1 [60，70) 10 0.2 0.3 [70，80) 15 0.3 0.6 [80，90) 12 0.24 0.84 [90，100] 8 0.16 1.00 合计 50 1.00 (2)频率分布直方图如图所示. (3)学生成绩在[60，90)分的频率为0.2＋0.3＋0.24＝0.74＝74％，所以估计成绩在[60，90)分的学生比例为74％. 1.在列频率分布表时，极差、组距、组数的关系 (1)若为整数，则＝组数. (2)若不为整数，则的整数部分＋1＝组数. 2.绘制频率分布直方图的注意点 (1)各组频率的和等于1，因此，各小矩形的面积的和也等于1. (2)横轴表示样本数据，纵轴表示，这样每一组的频率可以用该组的组距为底、为高的小矩形的面积表示. (3)画频率分布直方图的关键是确定矩形的高，一般地，频率分布直方图中两坐标轴上的单位长度不一致. 对点练1.为加强对中学生实践创新能力和团队精神的培养，促进教育教学改革，某市教育局将举办全市学生创新知识竞赛.某校举行选拔赛，共有200名学生参加，为了解学生的成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，得到以下频率分布表： 分组 频数 频率 [60，70) a 0.26 [70，80) 15 c [80，90) 18 0.36 [90，100] b d 合计 50 e (1)求a，b，c，d，e的值； (2)画出频率分布直方图 . 解：(1)根据题意，知成绩在[60，70)内的频数a＝50×0.26＝13，成绩在[90，100]内的频数b＝50－13－15－18＝4，成绩在[70，80)内的频率c＝＝0.30，成绩在[90，100]内的频率d＝＝0.08，频率之和e＝1. (2)作出频率分布直方图，如图所示. 任务二　频率分布直方图中的计算 角度1　求频率分布直方图的纵坐标 从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图如下： 组号 分组 频数 1 [0，2) 6 2 [2，4) 8 3 [4，6) 17 4 [6，8) 22 5 [8，10) 25 6 [10，12) 12 7 [12，14) 6 8 [14，16) 2 9 [16，18] 2 合计 100 学生用书⬇第144页 (1)试估计该校该周课外阅读时间少于12小时的学生所占的比例； (2)求a，b的值. 解：(1)根据频数分布表知，100名学生中一周课外阅读时间不少于12小时的学生共有6＋2＋2＝10(名)，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是1－＝0.9. 故估计该校该周课外阅读时间少于12小时的学生所占的比例为0.9. (2)一周课外阅读时间落在[4，6)内的有17人，频率为0.17，所以a＝＝＝0.085. 课外阅读时间落在[8，10)内的有25人，频率为0.25， 所以b＝＝＝0.125. 角度2　求频率和频数 (1)在一次高二数学单元评估中，共有500名同学参加测试，经过评估，这500名学生的得分(单位：分)都在[40，90]内，其得分的频率分布直方图如图，则得分在[40，60)内的学生人数为(　　) A.150 B.200 C.250 D.300 (2)(双空题)从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示，由图中数据可知a＝　　　　.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]这三组内的学生中，用分层随机抽样的方法选取18名学生参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数为　　　　. 答案：(1)B　(2)0.030　3 解析：(1)由频率分布直方图，知(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，所以得分在[40，60)内的频率为(0.005＋0.035)×10＝0.4，故得分在[40，60)内的学生人数为500×0.4＝200.故选B. (2)易知10×(0.005＋0.035＋a＋0.020＋0.010)＝1，解得a＝0.030.由题中的频率分布直方图可知，身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]这三组内的学生总人数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60，其中身高在[140，150]内的学生人数为100×10×0.010＝10，所以从身高在[140，150]内的学生中抽取的人数为×10＝3. 解决与频率分布直方图有关的计算问题的方法 　　由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式： 1.小长方形的面积＝组距×＝频率. 2.各小长方形的面积之和等于1. 3.＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 4.在频率分布直方图中，各小长方形的面积之比等于频率之比，各小长方形的高度之比也等于频率之比. 对点练2.(1)某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人，则n，p的值分别为(　　) A.200，0.015 B.100，0.010 C.100，0.015 D.1 000，0.010 (2)如图所示为某企业员工年龄(岁)的频率分布直方图，从左到右依次为第一组、第二组、……、第五组，若第五组的员工有80人，则第二组的员工人数为(　　) A.140 B.240 C.280 D.320 答案：(1)B　(2)C 解析：(1)利用频率之和为1可得，p×10＝1－(0.018＋0.022＋0.025＋0.020＋0.005)×10＝0.1，解得p＝0.010，根据频率、频数、样本容量之间的关系可得，＝0.1，解得n＝100.故选B. (2)由已知得5(a＋0.06＋0.04＋0.02＋0.01)＝1，所以a＝0.07.因为第五组的员工人数为80，所以第二组的员工人数为80×＝280.故选C. 学生用书⬇第145页 任务三　频率分布直方图的应用 某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟定一个合理的月用水量标准x(单位：吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值； (2)设该市有50万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数； (3)若该市政府希望使80％的居民每月的用水量不超过标准x(单位：吨)，求x的值.(结果保留三位小数) 解：(1)由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04. 同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]内的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02，则0.04＋0.08＋0.5×a＋0.20＋0.26＋0.5×a＋0.06＋0.04＋0.02＝1，解得a＝0.30. (2)由(1)得，100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12. 用样本估计总体，所以估计全市50万居民中月均用水量不低于3吨的人数为500 000×0.12＝60 000. (3)因为前6组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＋0.15＝0.88＞0.80，而前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.20＋0.26＝0.73＜0.80，所以2.5＜x＜3. 由0.3×(x－2.5)＝0.80－0.73，解得x≈2.733. 　　频率分布直方图反映了样本在各个范围内取值的可能性，由抽样的代表性利用样本在某一范围内的频率，可近似地估计总体在这一范围内的频率. 对点练3.某企业在招聘考试成绩中随机抽取了100名应聘者的笔试成绩(单位：分)，按成绩分组得到频率分布表： 组号 分组 频数 频率 第1组 [160，165) 5 0.05 第2组 [165，170) ① 0.35 第3组 [170，175) 30 ② 第4组 [175，180) 20 0.20 第5组 [180，185] 10 0.10 合计 100 1.00 (1)请求出频率分布表中①②处的数据，并画出相应的频率分布直方图； (2)该企业决定用分层随机抽样的方法在笔试成绩高的第3，4，5组中抽取6名应聘者进入第二轮面试，求在第3，4，5组中应各抽取多少名应聘者. 解：(1)由题意可知，第2组的频数为0.35×100＝35，第3组的频率为＝0.30，故①处为35，②处为0.30.频率分布直方图如图所示. (2)因为第3，4，5组共有60名应聘者，所以用分层随机抽样的方法在60名应聘者中抽取6名应聘者的抽样比为＝，故在第3组中应抽取30×＝3名应聘者，在第4组中应抽取20×＝2名应聘者，在第5组中应抽取10×＝1名应聘者. 任务再现 (1)频率分布直方图的画法.(2)数率分布直方图中的计算.(3)频率分布直方图的应用 方法提炼 图形识别、数据分析 易错警示 频率分布直方图中小矩形的高以及小矩形的面积代表的意义理解不清 学生用书⬇第146页 1.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，则样本在[40，60)内的数据的个数为(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 答案：B 解析：因为样本中数据在[20，60)内的频率为0.8，所以样本中数据在[20，60)内的频数为30×0.8＝24，所以样本在[40，60)内的数据个数为24－4－5＝15.故选B. 2.某校根据学生情况将物理考试成绩进行赋分，目的是为了更好地对新高考改革中不同选科学生的考试成绩进行横向对比，经过对全校300名学生的成绩统计，可得到如图所示的频率分布直方图，则这些同学物理成绩大于等于60分的人数为(　　) A.270 B.240 C.180 D.150 答案：B 解析：10＝1，解得m＝0.005，故物理成绩大于等于60分的人数为300×＝240.故选B. 3.在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形的面积是其余4个小长方形面积之和的，且中间一组的频数为10，则样本量是　　　　. 答案：40 解析：设中间的小长方形的面积为S，则S＝(1－S)，解得S＝，即中间一组的频率为.又中间一组的频数为10，所以样本量＝＝＝40. 4.为贯彻五育并举的教育方针，某校对全体高一年级学生进行了体能测试，并将成绩(单位：分)分为6组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有750名同学参加测试，则成绩达标(不低于60分)的学生人数为　　　　. 答案：600 解析：成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.015)＝0.8，则成绩达标的学生人数为750×0.8＝600. 学科网（北京）股份有限公司 $