6.4.3 第1课时 余弦定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，培养逻辑推理及数学运算的核心素养. 任务一　余弦定理 (阅读教材P42－43，完成问题1、2) 问题1.在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C表示c？ 提示：如图，设＝a，＝b，＝c，那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜，联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得｜c｜2＝c·c＝(a－b)·(a－b)＝a·a＋b·b－2a·b＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C，同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝c2＋a2－2cacos B. 问题2.在问题1的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例. 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 表达 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C [微提醒]　(1)适用范围：对任意的三角形，三个等式都成立.(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”.(3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，利用余弦定理可做到知三求一.(4)定理特例：当夹角为90°时(例如A＝90°)，定理变为b2＋c2＝a2，这就是勾股定理.所以余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. 学生用书⬇第41页 (链接教材P43例5)在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝30°，求c，A. 解：由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋9－2×2×3×＝3， 所以c＝. 所以cos A＝＝＝0， 所以A＝90°. 已知△ABC的两边及其夹角时，可直接利用余弦定理求第三边的长. 对点练1.在△ABC中，a＋c＝6，b＝2，cos B＝，求a，c的值. 解：由余弦定理，得cos B＝， 则＝， 得a2＋c2＝ac＋4，由a＋c＝6， 得(a＋c)2＝a2＋2ac＋c2＝36， 所以ac＋4＝36－2ac，解得ac＝9， 所以解得a＝3，c＝3. 任务二　解三角形 (阅读教材P43，完成问题3) 问题3.在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 提示：根据余弦定理的变形得cos A＝，cos B＝，cos C＝. 1.余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 则cos A＝，cos B＝，cos C＝. 2.解三角形 (1)一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 角度1　已知三角形的两边及一角解三角形 (1)在△ABC中，AB＝1，AC＝2，cos A＝，则BC＝(　　) A.1 B. C. D. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，b＝3，c＝5，sin A＝，则cos B＝　　　　. 答案：(1)D　(2) 解析：(1)由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝，则BC＝.故选D. (2)由A为锐角，且sin A＝，得cos A＝.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋52－2×3×5×＝16，所以a＝4.由余弦定理的推论得cos B＝＝＝. 已知三角形的两边及一角，用余弦定理求第三边的方法 1.当该角为已知两边的夹角时，可以直接用余弦定理求第三边. 2.当该角为已知两边的其中一边的对角时，可根据余弦定理列出方程求解第三边，要注意根据边长为正及大边对大角等因素来取舍方程的根. 对点练2.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中b＝2，c＝2，C＝60°，解这个三角形. 解：由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得(2)2＝a2＋22－2×a×2×，化简得a2－2a－8＝0，解得a＝4(负值舍去). 由余弦定理的推论cos A＝，得cos A＝0. 因为在△ABC中，A∈(0，π)，所以A＝90°，所以B＝90°－60°＝30°. 学生用书⬇第42页 角度2　已知三角形的三边解三角形 (1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝7，b＝4，c＝，则C＝　　　　. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝2，b＝2，c＝＋，解此三角形. 答案：(1) 解析：(1)cos C＝＝＝， 又C∈(0，π)，所以C＝. (2)由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝＝. 又A∈(0，π)，所以A＝60°. cos B＝＝ ＝. 又B∈(0，π)，所以B＝45°， 所以C＝180°－A－B＝75°. 　　若已知三角形的三边，则直接代入余弦定理的推论求解；若已知三角形三边的比例关系，则利用比例的性质引入k，转化为已知三边求解. 对点练3.(1)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝7，c＝5，则sin C＝　　　　　　　. (2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)由余弦定理的推论得cos C＝＝.因为0＜C＜π，所以sin C＝＝. (2)已知在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，易知C为最大角，由余弦定理的推论可得cos C＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝，即此三角形中的最大角的大小为. 任务三　利用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝bccos A＋accos B＋abcos C，由此三角形必是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 答案：B 解析：由c2＝bccos A＋accos B＋abcos C及余弦定理的推论得c2＝bc×＋ac×＋ab×，即c2＝，整理可得a2＋b2＝c2，所以△ABC必为直角三角形，无法判断是不是等腰三角形.故选B. 1.判断三角形形状的两条思考路线 (1)先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； (2)先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 2.判断三角形的形状时的常用结论 (1)△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2； (2)△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2＞c2，且b2＋c2＞a2，且c2＋a2＞b2； (3)△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2； (4)若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝. 对点练4.在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　 ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 答案：D 解析：在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.故选D. 任务再现 (1)余弦定理.(2)解三角形.(3)利用余弦定理判断三角形的形状 方法提炼 化归转化、数形结合 易错警示 易忽略三角形中的隐含条件 1.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝4，b＝3，C＝，则c＝(　　) A. B.13 C. D.37 答案：A 解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C＝42＋32－2×4×3×＝13，解得c＝(负值舍去).故选A. 2.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2acos B，则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案：D 解析：c＝2acos B＝2a×＝，即c2＝a2＋c2－b2，即a2＝b2，可得a＝b，又无法判断c及三个内角的大小，所以△ABC为等腰三角形，故选D. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝c2＋ab，则C＝(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：A 解析：由a2＋b2＝c2＋ab，得a2＋b2－c2＝ab.由余弦定理的推论得cos C＝＝＝.由0°＜C＜180°，得C＝30°.故选A. 4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝4∶5∶7，则cos C＝　　　　. 答案：－ 解析：由a∶b∶c＝4∶5∶7，可设a＝4k，b＝5k，c＝7k(k＞0)，由余弦定理的推论可得cos C＝＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $