7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

第七章　复数 7．1　复数的概念 7．1．1　数系的扩充和复数的概念 学习目标　1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程．　2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念．　3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件． 一、复数的有关概念 问题　我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联想到从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充数集，使这个方程有解吗？ 提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使i2＝－1. 【知识提炼】　 1．定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，且满足i2＝－1． 2．复数集 全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a, b∈R}． 3．复数的表示 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R).其中的a和b分别叫做复数z的实部与虚部． 例1　以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　 ) A．3－3i B．3＋i C．－＋i D．＋i 解析：选A. 3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3. 感悟升华　在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意b是复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【即学即用】　1.若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________． 解析：由条件知a2－3＋2a＝0，∴a＝1或a＝－3. 答案：1或－3　 二、复数的分类 【知识提炼】　 1．复数分类 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以分类如下： 复数 2．复数分类的Venn图表示 例2　求当实数m为何值时，z＝＋(m2＋5m＋6)i分别是：(1)虚数；(2)纯虚数． 解： (1)复数z是虚数的充要条件是 ⇔m≠－3且m≠－2. ∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数． (2)复数z是纯虚数的充要条件是 ⇔⇔m＝3. ∴当m＝3时，复数z是纯虚数． 变式探究　1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解：当即m＝－2时，z是实数． 2．本例中条件不变，当m为何值时，z>0. 解：因为z>0，所以z为实数，需满足 此方程组无解． 感悟升华　解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部． (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可． (3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)， ①z为实数⇔b＝0； ②z为虚数⇔b≠0； ③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 【即学即用】　2.(1)如果复数z＝m＋3＋(m－3)i是纯虚数，则实数m＝(　　 ) A．m≠3 B．m＝3 C．m＝－3 D．m＝±3 解析：选C.由复数z＝m＋3＋(m－3)i是纯虚数，得解得m＝－3. (2)(多选)给出下列命题中正确的是(　　 ) A．若z∈C，则z2≥0 B．2i的实部是0 C．若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D.实数集的补集是虚数集 解析：选BD.对A，令z＝i∈C，则i2＝－1<0，故A不正确；对B，2i＝0＋2i，故其实部为0，B正确；对C，当a＝0时，ai＝0为实数，故C不正确；对D，由复数的概念可知正确． 三、复数相等的充要条件 【知识提炼】　 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d． 拓展深化　(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立． (2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解． 例3　(1)(2024·福建三明高一阶段练习)已知a，b∈R，a＋3i＝－1＋bi (i为虚数单位)，则(　　 ) A．a＝1，b＝－3 B．a＝1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 D．a＝－1，b＝3 解析：选D. 因为a，b∈R，a＋3i＝－1＋bi，所以a＝－1，b＝3. (2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值． 解：设a是原方程的实根，则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，所以a＝－且－＋3m＝0， 所以m＝. 感悟升华　解决复数相等问题的步骤 分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解． 【即学即用】　3.(1)若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 024i＝2－bi，则a2＋bi等于(　　 ) A．2 024－4i B．2 024＋4i C．4＋2 024i D．4－2 024i 解析：选D. 因为a＋2 024i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 024，即a＝2，b＝－2 024，所以a2＋bi＝4－2 024i. (2)已知A＝{1，2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值． 解：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， 所以即 所以a＝－1. 1．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　 ) A．－2 B． C．－ D．2 解析：选D. 复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，即b＝2. 2．已知2－ai＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝(　　 ) A．－1 B．1 C．2 D．3 解析：选B. 因为2－ai＝b＋i(a，b∈R)，所以2＝b，－a＝1，所以a＝－1，因此a＋b＝1. 3．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则a的取值范围是(　　 ) A．a≠－1或a≠2 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 解析：选C.复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)是纯虚数，需满足a2－a－2＝0，且|a－1|－1≠0，解得a＝－1，故复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数时，a≠－1. 4．若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，求实数x的值是________． 解析：由题意知得x＝－2. 答案：－2 5．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，求实数a的取值范围． 解：由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1， 因此，实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$