精品解析：河南省方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试数学模拟信息卷（五）试题

方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学（五）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义直接计算即可得出结果． 【详解】由题意得，． 故选：B 2. 已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则化简可得，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】由，得， 所以复平面内对应的点为，所以在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 3. 下列结论错误的是（ ） A. “”的否定是“” B. 已知角的终边在直线上，则的值为 C. 已知，且，则 D. 设，则“，且”是“”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】A根据全称量词命题的否定是存在量词命题判断；B根据任意角三角函数值的定义结合齐次式问题运算求解；C利用基本不等式运算求解即可；D根据充分、必要条件分析判断即可. 【详解】A：“”的否定是“”，正确； B：因为角的终边在直线上，则，所以，正确； C：因为，且，则，当且仅当时，等号成立，所以，正确； D：若且，则且，可得，即充分性成立； 若，例如，满足，但不满足且，即必要性不成立； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，错误； 故选：D 4. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用正态分布的对称性有，进而有，则有，应用二项分布求概率、期望、方差判断各项正误. 【详解】因为，所以， 所以，故A错误； 在的概率为，则， 所以，故B正确； 由，所以，故C错误； 由，所以，故D错误． 故选：B 5. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而求得渐近线方程. 【详解】由于为双曲线的右焦点， 故， 则，所以， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：B 6. 已知，，，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据特殊角的正弦值，判断参数范围，再根据对数函数性质，判断函数值大小，判断结果即可. 【详解】可知，即， ，即， ，且，即， 所以，即． 故选：D. 7. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则轴为该函数图像的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位， 可得到函数的图象，则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 因为是函数图象的对称中心，所以，则， 将代入中得到，解得， 所以. 故选：D. 8. 在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法求出球心的坐标，计算球的半径，利用球的表面积公式即得. 【详解】如图，由正四面体的性质可知，顶点在所在平面内的投影为的重心， 连接，则在上，且. 如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，过平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 因为，则，， 所以，，，，，， 取的中点，则， 因为,分别为棱，的中点，所以， 则，，则， 设球心的坐标为，因为，，，均在球的球面上， 所以，， 即， ， ， 解得，，，故得， 所以球的半径为， 则球的表面积为. 故选：C. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】构造函数，利用导数确定单调性，由已知不等式可得，再结合指数、对数及正弦函数单调性判断ABD；利用基本不等式“1”的妙用求解判断C. 【详解】令函数，求导得，函数在上递增， 当时，，由，得， 不等式，则， 对于A，，则，A正确； 对于B，，，因此，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由函数在上不单调，得由不能推出，D错误. 故选：AC 10. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：若，则） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为53 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D. 【详解】对于A，依题意，经智能检测系统筛选合格的条件下，通过人工抽检合格的概率 大于直接进入人工抽检合格的概率，即，A正确； 对于B，由，得， 又， 于是，即， 因此，即，则，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D，， 设，， 解得，，由， 解得，即， 所以取得最大值时，的估计值为53，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法： ①熟记，，的值; ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题设易得，进而得到抛物线：，，进而求解判断即可；对于B，设，，：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及向量运算可得为钝角，进而判断即可；对于C，表示出直线的斜率为，进而分析判断即可；对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，结合抛物线的定义可得为的中点，可得平行于轴，进而求解判断即可. 【详解】对于A，由题可知，则，则抛物线：，， 故，故A错误； 对于B，显然直线的斜率不为0，设，，：， 联立，得， 则， 且，，则， 所以， 所以，因为， 所以一定为钝角，故为钝角三角形，故B正确； 对于C，由B知，的中点的纵坐标为， 横坐标为， 所以直线的斜率为， 当时，， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以直线的斜率的最大值为，故C正确； 对于D，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，， 因为，所以， 因为为的中点，所以平行于轴， 因为，所以，则，即， 故直线的斜率为2，故D正确． 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前项和，若，，则____________. 【答案】20 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的通项公式与求和公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以. 故答案为：20. 13. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理求其通项，即可计算其常数项. 【详解】通项为， 故当时，常数项为. 故答案为： 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求导赋值求得，可得，进一步得函数单调性、最值，故原题条件可转换为对于恒成立，从而可得关于的不等式，解不等式即可得解. 【详解】因为，， 令，，解得：， 所以，令，，所以， 所以，而显然在上单调递增，又， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 存在实数x使不等式对于恒成立， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立， 即，解得：或， 则实数m的取值范围为：． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求出，再结合两角和的正切公式求解； （2）分别求出，，，再结合两角和的正弦公式求解. 【小问1详解】 ， 又 . 【小问2详解】 ∵， ∴，则 故 ∵，， ∴，故 ∴ . 16. 随着双休政策落实，高中生有更多的时间进行体育锻炼．为了解高中生周末体育锻炼时长，在某高中三个年级中随机抽取50名男生和50名女生，其中男生体育锻炼时长超过两小时的有40名，女生体育锻炼时长不超过两小时的有20名． （1）依据的独立性检验，判断周末体育锻炼时长与性别是否有关联； （2）用样本频率作为概率，从该校学生中随机抽取10人进行调查，记周末体育锻炼时长超过两小时的人数为，求的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）与性别无关 （2）7，2.1 【解析】 【分析】（1）先进行零假设，即认为学生周末体育锻炼时长与性别无关联．据题意，可得性别与锻炼时长的列联表，计算，依据的独立性检验，进行判断即可； （2）根据所给数据，用样本频率作为概率，计算一名学生周末体育锻炼时长超过两小时的概率，根据服从二项分布，求得的数学期望和方差． 【小问1详解】 零假设为：认为学生周末体育锻炼时长与性别无关联． 列联表如下： 时长 性别 锻炼时长超过2小时 锻炼时长不超过2小时 合计 男生 40 10 50 女生 30 20 50 合计 70 30 100 则， 依据的独立性检验，可以认为成立，因此认为该校学生的周末体育锻炼时长与性别无关． 【小问2详解】 由（1）知，该校学生周末体育锻炼时长超过两小时的样本频率为， 用样本频率作为概率，知从该校学生中随机抽取1人进行调查，则该同学周末体育锻炼时长超过两小时的概率为. 设抽取的10名学生中体育锻炼时长超过两小时的人数为， 由题意知，随机变量， 故，． 17. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD与平面，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱柱中，由正方形，得，而， 平面，则平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由为等边三角形，得，而， 则，又平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，P为的中点，得，， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面PCD与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）利用导函数求出函数的单调性，分析函数的值域及特殊点，再结合的取值讨论零点个数即可. （2）（i）根据零点得到，再利用函数的单调性证明即可. （ii）先对单一项进行放缩证明，再累加求和即可. 【小问1详解】 令，即， 设，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，， 又当时，（指数减小快于一次函数）， 所以当时，在上有两个零点； 当或时，有唯一零点； 当时，无零点． 【小问2详解】 证明：（i）由知，当时，有唯一零点，则且， 两边取自然对数，得①， 所以②， ②-①，得 所以． 因为函数在上单调递增，所以， 所以数列是递增数列． （ii）设（），则， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，当且仅当时，等号成立，即当时，③ 由③式知，， 结合①式可得，即，也即， 所以，所以. 所以 故. 19. 已知椭圆：经过点和. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 【答案】（1）； （2）（i）证明过程见解析；（ii）1 【解析】 【分析】（1）代入和，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）设直线的方程为，联立，设，得到两根之和，两根之积，设关于x轴对称点为，则，且在直线上，根据，得到方程，求出，从而求出直线过定点； （ii）设直线为，联立，得到两根之和，两根之积，直线为，表达出直线，联立直线得，同理可得，结合两根之和，两根之积，得到，（），由于，所以，当时，其中一个点坐标为，与重合，不合要求，从而得到结论. 【小问1详解】 将和代入可得， 解得，故椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （i）设直线的方程为， 联立得， ，故， 设， 故， 直线，关于x轴对称，设关于x轴对称点为， 则，且在直线上， 直线的斜率存在并且不为0，故直线斜率存在且不为0， 其中，，即， 所以，其中， 所以，， 将代入可得 ，化简得，代入中， ，即且， 所以直线方程为， 直线过定点； （ii）由题意得，直线过点，设直线为， 联立得， ， 故，解得， 设， 则， 直线为，直线为， 联立直线与直线得，同理可得， ， 其中， 故 将代入得 ，（）， 由于，所以， 当时，直线为， 联立得，即，解得或2， 当时，，当时，，即其中一个点坐标为， 与重合，不合要求， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学（五）试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列结论错误的是（ ） A. “”的否定是“” B. 已知角的终边在直线上，则的值为 C. 已知，且，则 D. 设，则“，且”是“”的必要不充分条件 4. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：cm）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记在的人数为，则（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的大小关系是（   ） A. B. C. D. 7. 已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 在正四面体中，，，，分别为棱，，的中点，若，，，均在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正数，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”．改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：若，则） A. B. C. D. 取得最大值时，的估计值为53 11. 已知为坐标原点，是抛物线：的准线上的一点，过的焦点的直线与交于，两点，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为钝角三角形 C. 直线的斜率的最大值为 D. 若，则直线的斜率为2 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 记为等差数列的前项和，若，，则____________. 13. 在的二项展开式中，常数项为________．（用数字作答） 14. 定义在上的函数的导函数为，且，若存在实数x使不等式对于恒成立，则实数m的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知角且. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 随着双休政策落实，高中生有更多的时间进行体育锻炼．为了解高中生周末体育锻炼时长，在某高中三个年级中随机抽取50名男生和50名女生，其中男生体育锻炼时长超过两小时的有40名，女生体育锻炼时长不超过两小时的有20名． （1）依据的独立性检验，判断周末体育锻炼时长与性别是否有关联； （2）用样本频率作为概率，从该校学生中随机抽取10人进行调查，记周末体育锻炼时长超过两小时的人数为，求的数学期望和方差． 参考公式及数据：，其中． 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数． （1）若，讨论的零点的个数； （2）若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）. 19. 已知椭圆：经过点和. （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左焦点为F，点M，N是椭圆C上的两个动点，直线的斜率存在并且不为0. （i）若直线，关于x轴对称，证明：直线过定点； （ii）若为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线过点，直线与直线，分别交于点P，Q，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $