专题 8.11 整式乘法（单元培优卷）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.11 整式乘法（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 4．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 5．（2026七年级下·全国·专题练习）若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某种流感病毒，现有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．在进入第二轮传染前，有两位第一轮被传染的患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数比第一轮传染后患病的人数多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 7．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是 ． 13．（25-26八年级上·河南安阳·月考）代数式是一个完全平方式，则 ． 14．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的结果是 ． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 16．（25-26八年级上·山东德州·月考）的个位数字为 ． 17．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为 ． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为 （提示：） 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 20．（本小题满分10分）（25-26八年级上·天津河西·月考）利用乘法公式计算： (1) (2). 21．（本小题满分10分）（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 22．（本小题满分10分）（25-26六年级下·全国·课后作业）已知与的积与是同类项． (1)求，的值． (2)先化简，再求值：． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.11 整式乘法（单元培优卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方． 根据合并同类项法则，单项式的乘法法则，同底数幂的除法法则，积的乘方法则逐一判断即可． 解：选项A：，A错误； 选项B：，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误； 故选：B． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知，则的值为（    ） A．13 B．7 C．－5 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入求值是关键． 通过简化给定方程得到 ，整体代入求值即可． 解：∵ 展开得 简化得 ∴ 又∵ ∴当时，原式 故选：A． 4．（2025·全国·一模）若，且，，则的值为（   ） A．1 B．4 C．9 D．25 【答案】A 【分析】本题考查了整式乘法的应用，代数式求值等知识点，掌握多项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 按照多项式的乘法法则进行计算后可得，然后代入代数式求解即可． 解：∵， ∴， ∴． 故选A． 5．（2026七年级下·全国·专题练习）若，则y与x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的乘方的逆用．通过消去参数建立与的关系式，将转化为，再用含的式子代换即可求解． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， 将代入，得： ，即． 故选：A 6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某种流感病毒，现有一人患了这种流感，则在每轮传染中一人将平均传染x人．在进入第二轮传染前，有两位第一轮被传染的患者被及时隔离并治愈，问第二轮传染后患病的人数比第一轮传染后患病的人数多（    ） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】D 【分析】本题考查整式加减的实际应用，需分轮次分析传染过程，注意隔离治愈对人数的影响，理解题意是解题关键 解： 第一轮传染：初始1人传染x人，共新增x例，总患者数为人， 隔离治愈：进入第二轮前，2名第一轮被传染者被治愈，剩余患者数为人， 第二轮传染：剩余人每人传染x人，新增患者数为人， 第一轮后总患者数：人， 第二轮后总患者数：剩余患者人 + 新增患者人 = 人， 差值：， 综上，第二轮后患病人数比第一轮多人， 故选D 7．（25-26七年级上·四川绵阳·期末）对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．根据新运算的法则，列式计算即可． 解：原式 故选B． 8．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），若拼成的长方形一边长为，则另一边长是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的实际应用，用大正方形的面积减去小正方形的面积求出长方形的面积，再除以即可求解，正确列出算式是解题的关键． 解： ， ∴另一边长是， 故选：． 9．（25-26八年级上·广东揭阳·期末）已知，，，那么式子的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式及应用，熟记完全平方公式是解题的关键．利用恒等式将原式转化为平方和形式，结合的差值计算． 解： ，，， ， ， ， ∴原式=． 故选：C． 10．（25-26八年级上·山东济宁·期末）如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知，那么代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是积的乘方运算的应用，多项式乘以多项式的化简求值，由条件，可得，再计算多项式乘以多项式并进一步求解即可． 解：， ， ， ， ∴原式4． 故答案为：4． 13．（25-26八年级上·河南安阳·月考）代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】或19 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，根据完全平方公式，代数式为完全平方式时，其形式应为，比较系数求解． 解：∵代数式是一个完全平方式，且， ∴可设为， 比较中间项系数，得， 当时，，解得； 当时，，解得． 故答案为：或19． 14．（25-26七年级下·全国·周测）若，则的结果是 ． 【答案】18 【分析】根据非负数的性质，绝对值和平方项之和为零，则每个部分均为零，由此得到关于和的方程组，再将，再代入计算即可． 本题主要考查了平方差公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握运用是解决问题的关键． 解：由题意，得， 即 解得 ∴ 故答案为：18． 15．（25-26八年级上·广东广州·期中）如果规定表示单项式，，表示多项式，则计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据新定义和单项式乘以多项式法则计算即可． 先分别表示三角形和矩形所代表的单项式和多项式，再进行计算． 解：根据题意，三角形表示单项式的形式，即把三角形内的字母、、代入，得：， 矩形表示多项式， 因此对矩形计算得：， 将两个结果相乘并展开得， 综上，计算结果为． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山东德州·月考）的个位数字为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，有理数的乘方运算．先利用平方差公式计算，化简算式得到，再分析的个位数字规律，最后确定整个表达式的个位数字． 解： ， ∵，，，，，… ∴（为正整数）的个位数字以3，9，7，1，四个数为一循环， ， ∴的个位数字为1， ∴的个位数字为9， 故答案为：9． 17．（25-26八年级上·北京西城·期末）如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为 ． 【答案】72 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 18．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）观察下列算式： ； ； ； …… 则的结果为 （提示：） 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探究，根据前几个式子得到规律，，即可求解． 解：根据规律可得 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·山东临沂·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟记乘法公式是解答的关键． （1）根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式运算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式，完全平方公式运算法则计算即可；． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分10分）（25-26八年级上·天津河西·月考）利用乘法公式计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式是解题的关键． （1）先利用完全平方公式与平方差公式计算，再合并同类项； （2）利用完全平方公式与平方差公式计算． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值： (1)，其中． (2)，其中，． 【答案】(1)，14 (2)， 【分析】本题主要考查完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项，最后将的值代入计算即可； （2）先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则进行计算，然后合并同类项，最后将、的值代入计算，计算时可利用积的乘方逆运算进行简便运算即可． （1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当，时， 原式 ． 22．（本小题满分10分）（25-26六年级下·全国·课后作业）已知与的积与是同类项． (1)求，的值． (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方，同类项的定义，完全平方公式及平方差公式： （1）先根据单项式乘以单项式的计算求出，再由同类项的定义得到，，解之即可得到答案； （2）先利用完全平方公式及平方差公式进行化简， 然后合并同类项化简，最后代值计算即可． （1）解：∵， 又∵与的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，． （2）解：， 当，时，原式． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【举一】教材118页“拓展探索”的第7题如下： 已知，，求的值． 分析：对于类似这样的问题，我们不妨从式子结构特征出发，运用整体思想解决． 解答：因为，所以，即． 因为，所以． 【反三】参考上述过程请你解答教材中类似的问题 (1)若，． ①________； ②求的值； (2)已知，，求与的值． 【答案】(1)①；②； (2)，． 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用和整体代入的数学思想，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键． （1）①已知和，利用完全平方公式，将变形为，整体代入求值． ②已知和，利用完全平方公式，先由求出，再整体代入求． （2）已知和，利用两式相减消去、求出，再利用两式相加消去求出． （1）解：①∵，， ∴ ； ②∵，， ∴ ； （2）解：∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南濮阳·期末）【课本再现】 活动：个位数字是5的两位数平方的规律 我们在过去的学习中发现了如下的运算规律： ，，，……你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？ 下面是亮亮的解答过程，请你补充完整． 解：设该两位数的十位数字是n(，且n是整数)，个位数字是5． 规律为∶． 证明如下： ∵…… 【类比探究】 兴趣小组的同学发现下面式子也有相似的规律 ，，，…… （1）请你利用上述规律计算∶___________=_________． （2）观察上面三组式子，兴趣小组的同学归纳了一般规律并进行证明，请你补充完整． 两个两位数相乘，设这两个两位数字的十位数字都是n(，且n是整数)，其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)，则另外一个两位数的个位数字为_________，一般规律是_________________． 证明：…… 【迁移应用】 （3）兴趣小组的同学利用规律快速计算了，你知道他们是怎样利用规律的吗？请你写出计算过程． 【答案】课本再现：见解析；（1），；（2），；证明见解析；（3）见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 课本再现：根据题目给出的等式，即可发现规律； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）由题意得，，运用（2）中的规律得出计算结果即可． 解：课本再现： ； （1）∵， ， ， ……， ∴， 故答案为：，； （2）∵其中一个两位数的个位数字为m(，且m是整数)， ∴另外一个两位数的个位数字为， 一般规律是； 证明： ； 故答案为：，； （3）由题意得，， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $