专题 8.10 整式乘法（单元基础卷）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.10 整式乘法（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式的乘法运算，根据系数相乘、同底数幂相乘的法则计算即可． 解： 故选A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．根据长方体的体积等于长宽高，进而计算单项式乘以多项式即可求解． 解：依题意，长方体的体积为 ． 故项：D． 3．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如果是完全平方式，那么的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式的特点，根据题意可知两平方项为，，据此根据完全平方式的特点确定一次项，进而可得答案． 解：∵是完全平方式，且，， ∴一次项为， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则化简，再利用含项的系数为1，进而得出答案． 解： ， 的展开式中项系数为1， ， 解得：． 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）运用整式乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式进行简便计算，掌握是解题的关键． 根据平方差公式即可将变形为，即可求解． 解：， 故选：B． 7．（23-24八年级上·河南漯河·月考）（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查整式的乘法运算，包括平方差公式及完全平方公式的计算，先运用平方差公式，然后再利用完全平方公式计算即可，熟练掌握运算法则是解题关键 解： ， 故选：C 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，根据图示，得到，将各选项逐一代入，验证即可． 解：由图示可得：， A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 9．（2024八年级·全国·竞赛）用包装纸包如图所示的一本书(单位：)，如果在书的封面和封底的每一边都包进去，那么所需长方形包装纸的面积至少为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是整式的乘法运算的应用，先表示纸张的长与宽，再列式计算，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键． 解：所用的纸的面积为： ． 故选A 10．（2025·广东清远·二模）代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 【答案】A 【分析】本题考查了代数推理和完全平方公式，解题的关键是运用完全平方公式进行变形和推导． 通过完全平方公式将不等式转化为易于分析的形式，判断各选项证明方法的正确性，从而确定符合题目要求的选项． 根据题意可知：；当时，左右两边取等号． A．通过完全平方公式将转化为 ，而总是大于或等于0．因此，这个推理是正确的，故该选项符合题意； B．并不等于而是等于 ，这不等于0，因此，这个推理是错误的，故该选项不符合题意； C．虽然是正确的，但 仅在时成立，这与题目要求的 时取等号不符，故该选项不符合题意； D．并不等于，且 仅在时时成立，这与题目要求的时取等号不符，故该选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·重庆万州·月考）单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，以及同类项的定义．根据同类项的定义，先求出m、n的值，然后计算单项式乘以单项式即可． 解：因为单项式与是同类项， 所以， 所以， 所以． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了单项式乘多项式，整体代入思想，掌握单项式乘多项式的运算法则是关键． 将代数式 展开为 ，然后利用已知条件 代入计算即可． 解：∵，且 ， ∴ ． 故答案为：10． 13．（25-26八年级上·北京·月考），则代数式 ． 【答案】1 【分析】本题考查多项式乘法中的化简求值，将代数式展开后利用已知条件代入计算即可． 解：∵，， ∴ ． 故答案为：1． 14．（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，将两个已知方程相加，得到 的值，即 的结果． 解：，， ． ． 故答案为：16． 15．若，，则的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】该题考查了平方差公式，利用平方差公式，将已知条件代入求解． 解：由平方差公式，得， 代入已知条件和， 得， ∴， 故答案为：． 16．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算： ． 【答案】2013 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行因式分解的计算，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． 利用平方差公式因式分解分子和分母中的表达式，然后约分计算． 解：原式 ． 故答案为：2013． 17．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，是的三边长，且满足，则的形状为 ． 【答案】等边三角形 【分析】将给定等式进行因式分解，转化为两个完全平方的和，根据非负数的性质得出边的关系． 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 解：由 ， 可化为 ， ∵ ，， ∴ 且 ， 即 且 ， ∴ ， ∴ 为等边三角形； 故答案为：等边三角形． 18．（25-26八年级上·山东临沂·期末）数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律 ． 【答案】 【分析】本题考查数字变化规律的探究以及完全平方公式，关键是通过观察已知等式，提取共性特征，再用字母表示数推导一般规律．观察给出的等式可知，左边均为个位数字是5的两位数的平方，右边的结果可拆分为“”的形式．设该两位数的十位数字为(为正整数)，将这个两位数表示为，通过整式的乘方运算展开验证，即可得到通用的规律表达式． 解：设个位为5的两位数的十位数字为(为正整数)，则该两位数可表示为， ∵， ∴一般规律为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并同类项即可； （2）根据完全平方公式、平方差公式化简，再合并同类项即可． （1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 【答案】(1)3 (2)10 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的运算法则得，又因为，故，即可作答． （2）把，代入，进行计算，即可作答． （1）解：∵， ∴， 则， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， ∵ ∴ ． 21．（本小题满分10分） （25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式的乘法运算与合并同类项，掌握先化简再代入求值的解题策略，以及多项式展开与合并同类项的法则是解题的关键，化简后再代入可大幅减少计算量，避免直接代入的复杂运算． （1）先利用多项式乘多项式法则展开，再用完全平方公式展开，去括号后合并同类项化简，最后代入求值． （2）先利用完全平方公式展开，再展开，去括号后合并同类项化简，最后代入​求值． （1）解： ． 当，时， 原式 ． （2）解：原式 ． 当时， 原式． 22．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）某文具店购进了一批笔记本，进价每本4元，卖出时以每本笔记本10元为标准，售价超过10元记为正，不足记为负，该文具店销售记录如表（售价单位：元，销售量单位：本）． 售价 0 n 销售数量 78 72 66 60 55 50 45 5 0 (1)笔记本的售价每超过标准1元，销售数量减少 本；笔记本的售价比标准每下降1元，销售数量增加 本． (2)根据（1）中发现的规律，当n是小于12的正整数时，用含n的代数式表示卖出的笔记本获得的总利润． (3)根据（1）中发现的规律, 当时，求卖出的笔记本获得的总利润是多少元？ 【答案】(1)5；6 (2)总利润为元 (3)90元 【分析】本题考查了正负数的应用，列代数式，多项式乘法，有理数混合运算的应用等知识点，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）利用每件利润乘以数量即可求解； （3）利用每件利润乘以数量即可求解． （1）解：从表格数据，售价从0到，销售数量从60减少到55，减少5本；售价从0到，销售数量从60增加到66，增加6本， ∴每超过1元销售数量减少5本，每下降1元销售数量增加6本， 故答案为：5；6； （2）解：∵售价的偏差，实际售价为元，利润为元， 销售数量为本， ∴总利润为元 （3）解：∵，售价的偏差为负，实际售价为元， 则利润为元， 则销售数量为本， ∴总利润为元． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 【答案】(1) (2)；② 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析即可． （1）理解每个代数式的意义，根据不同方法表示的阴影部分的面积相同列式即可； （2）根据（1）的结论代入进行计算即可． （1）解： 观察图②可知为大正方形的面积，为小正方形的面积，为一个长方形面积；根据不同方法表示的阴影部分的面积相同得； （2）解：① 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 【答案】（1）；（2）①4，②1；（3） 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是运用平方差公式计算． （1）通过观察图①和图②阴影部分面积，利用正方形和长方形面积公式得出乘法公式． （2）①，将已知等式变形为平方差公式形式，再代入已知值求解．②把式子变形为平方差公式形式进行简便计算． （3）利用平方差公式将每个括号内式子展开，然后约分得出结果． 解：（1）图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即； 图②中长方形的长为，宽为，面积为． ∴得到乘法公式：． （2）①∵， ∴， 即， ∵， ∴， 则． ② ； （3） ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.10 整式乘法（单元基础卷） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求) 1．（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算 的结果是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）一个长方体的长、宽、高分别是和，则它的体积等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江西上饶·期末）如果是完全平方式，那么的值为（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）要使的展开式中项系数为1，则的值为（    ） A． B．2 C．0 D．1 5．（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·山西晋中·期中）运用整式乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·河南漯河·月考）（  ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·河南郑州·期末）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得分别是（    ） A． B． C． D． 9．（2024八年级·全国·竞赛）用包装纸包如图所示的一本书(单位：)，如果在书的封面和封底的每一边都包进去，那么所需长方形包装纸的面积至少为（    ）． A． B． C． D． 10．（2025·广东清远·二模）代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A．证明：， B．证明：， C．证明： ， D．证明：， 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·重庆万州·月考）单项式与是同类项，则这两个单项式的积是 ． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则 ． 13．（25-26八年级上·北京·月考），则代数式 ． 14．（25-26八年级上·江西赣州·期末）若，，则 ． 15．若，，则的值为 ． 16．（25-26七年级上·湖南长沙·自主招生）计算： ． 17．（25-26八年级下·全国·周测）已知，，是的三边长，且满足，则的形状为 ． 18．（25-26八年级上·山东临沂·期末）数学活动 我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律： ． ， ． …… 请你写出一般的规律 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·福建厦门·月考）计算： (1)； (2)． 20．（本小题满分10分）（25-26七年级上·陕西西安·期末）若，且． (1)求的值； (2)求的值； 21．（本小题满分10分） （25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 22．（本小题满分10分）（2026七年级上·全国·专题练习）某文具店购进了一批笔记本，进价每本4元，卖出时以每本笔记本10元为标准，售价超过10元记为正，不足记为负，该文具店销售记录如表（售价单位：元，销售量单位：本）． 售价 0 n 销售数量 78 72 66 60 55 50 45 5 0 (1)笔记本的售价每超过标准1元，销售数量减少 本；笔记本的售价比标准每下降1元，销售数量增加 本． (2)根据（1）中发现的规律，当n是小于12的正整数时，用含n的代数式表示卖出的笔记本获得的总利润． (3)根据（1）中发现的规律, 当时，求卖出的笔记本获得的总利润是多少元？ 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·河南信阳·月考）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． (1)观察图②请你写出下列三个代数式；，，之间的等量关系； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值． ②已知：求的值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【探究】（1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式：______（用含a，b的等式表示）； 【应用】（2）请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为______； ②计算：． 【拓展】（3）数学公式可以逆用，有时能达到简便运算的效果，根据上面用到的数学公式，进行计算： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $