专题 8.9 整式乘法（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年苏科版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 8.9 整式乘法（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】单项式乘单项式 2 ★【题型 1】直接单项式乘单项式 2 ★【题型 2】利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 ★【题型 3】单项式乘单项式的简单应用 5 【知识点二】单项式乘多项式 7 ★【题型 4】直接单项式乘多项式 8 ★【题型 5】单项式乘多项式及求值 9 ★【题型 6】利用单项式乘多项式求字母的值 10 【知识点三】多项式乘多项式 12 ★【题型 7】直接计算多项式乘多项式 12 ★★【题型 8】的乘法运算及其逆用 14 ★★【题型 9】多项式乘多项式化简求值 16 ★★【题型 10】已知多项式乘积不含某一项，求字母的值 18 ★★【题型 11】多项式乘多项式与图形面积 19 【知识点四】乘法公式（平方差公式） 23 ★★【题型 12】直接运用平方差公式进行运算 23 ★★【题型 13】平方差公式与几何图形 24 【知识点五】乘法公式（完全平方公式） 28 ★★【题型 14】直接运完全平方公式进行运算 28 ★★【题型 15】通过完全平方变形公式进行化简求值 30 ★★【题型 16】求完全平方公式的字母系数 31 ★★【题型 17】完全平方公式在几何图形中的应用 33 二.综合培优题型精析 37 ★★★【题型 18】单项式乘单项多拓展运用 37 ★★★【题型 19】单项式乘多项式拓展运用 41 ★★★【题型 20】多项式乘多项式的规律探究 44 ★★★【题型 21】完全平方公式与平方差公式的综合运用 50 ★★★【题型 22】乘法公式的简便运算 52 ★★★【题型 23】乘法公式与最值问题 54 ★★★【题型 24】整式乘法与新定义、阅读问题 59 三.中考真题专练 63 （一）选择题（6题） 63 （二）填空题（6题） 67 （三）解答题（4题） 70 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】单项式乘单项式 （1） 运算法则 系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。运算顺序：先算幂的乘方、积的乘方，再算单项式乘法。 ★【题型 1】直接单项式乘单项式 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·北京西城·期末）计算： ． 【变式3】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： ★【题型 2】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例题2】（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【变式1】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【变式3】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． ★【题型 3】单项式乘单项式的简单应用 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【变式1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【变式3】（24-25七年级上·云南红河·期末）在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【知识点二】单项式乘多项式 （2） 运算性质 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 注意：符号问题，不要漏乘项。 ★【题型 4】直接单项式乘多项式 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★【题型 5】单项式乘多项式及求值 【例题5】（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知，则代数式 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． ★【题型 6】利用单项式乘多项式求字母的值 【例题6】（23-24八年级上·全国·课后作业）若的展开式中不含项，求a的值． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则 ， ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【知识点三】多项式乘多项式 （3） 运算性质 （1）法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即； （2）型多项式乘法。 ★【题型 7】直接计算多项式乘多项式 【例题7】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】计算： ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． ★★【题型 8】的乘法运算及其逆用 【例题8】（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）若，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·月考）解方程：． ★★【题型 9】多项式乘多项式化简求值 【例题9】（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． ★★【题型 10】已知多项式乘积不含某一项，求字母的值 【例题10】（25-26八年级上·陕西安康·月考）若的积中不含x项与项，求p，q的值． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式2】（25-26八年级上·天津南开·月考）若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． ★★【题型 11】多项式乘多项式与图形面积 【例题11】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 【变式2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 ．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【变式3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【知识点四】乘法公式（平方差公式） （4） 运算性质 平方差公式： 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 ★★【题型 12】直接运用平方差公式进行运算 【例题12】（25-26八年级上·甘肃定西·期末）计算：． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）已知，，则的值为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：． ★★【题型 13】平方差公式与几何图形 【例题13】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【知识点五】乘法公式（完全平方公式） （5） 运算性质 完全平方公式： 变形公式： ★★【题型 14】直接运完全平方公式进行运算 【例题14】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期末）如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）已知是正整数，求证：能被4整除． ★★【题型 15】通过完全平方变形公式进行化简求值 【例题15】（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知，，则 ． 【变式3】（20-21八年级上·河南商丘·期末），，求下列各式的值： (1)和； (2)． ★★【题型 16】求完全平方公式的字母系数 【例题16】（25-26八年级上·福建泉州·期中）、都是自然数，且是一个完全平方数，求的值． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A．3 B．－5 C． D．3或－5 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）多项式□是完全平方式，则“□”代表的式子是 ． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）若多项式是一个完全平方式，求的值． ★★【题型 17】完全平方公式在几何图形中的应用 【例题17】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如根据图1，通过计算面积我们可以得到数学等式． (1)通过求图形2的面积，你可以得到数学等式：______； (2)请根据整式乘法的运算法则，通过计算验证你所得到的数学等式； (3)若a，b，c满足，求的值． 【变式1】（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于 ． 【变式3】（23-24八年级上·广东江门·月考）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 二.综合培优题型精析 ★★★【题型 18】单项式乘单项多拓展运用 【例题18】（23-24七年级上·福建福州·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【变式1】（24-25九年级下·重庆·月考）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，有同学得出了下列结论： （1）第二次操作后整式串为：，，3，，； （2）第二次操作后的整式串中，当时，所有整式的积不大于0； （3）第四次操作后整式串中共有15个整式； （4）第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． ★★★【题型 19】单项式乘多项式拓展运用 【例题19】（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知，求的值 ． 【变式3】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． ★★★【题型 20】多项式乘多项式的规律探究 【例题20】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32； A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② ★★★【题型 21】完全平方公式与平方差公式的综合运用 【例题21】（25-26七年级下·全国·周测）设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是 ； （2）的值为 ． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）观察下列各式： ， 你能口算末位数字是的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由． ★★★【题型 22】乘法公式的简便运算 【例题22】（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）计算的结果为 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． ★★★【题型 23】乘法公式与最值问题 【例题23】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读材料 例：求代数式的最小值 解：．可知当时，有最小值，最小值是－8．根据上面的方法解决下列问题： （1）最小值是 ． （2）多项式最小值可以是 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）【材料阅读】 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为，所以．当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 像这样，先添加一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【问题解决】 (1)若，，请利用上面所学知识求值： ①； ②； (2)已知x是实数，，请用配方法求M的最小值； (3)某养殖场要将一块长为12米、宽为10米的长方形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，问：当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ ★★★【题型 24】整式乘法与新定义、阅读问题 【例题24】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 【变式2】（24-25八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 5．（2024·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 （二）填空题（6题） 7．（2024·上海·中考真题）计算 ． 8．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 9．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 10．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 11．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 12．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    （三）解答题（4题） 13．（2024·陕西·中考真题）计算：． 14．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 15．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为． (1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________； (2)若，，求比多出的使用面积． 16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 8.9 整式乘法（全章知识梳理 + 题型精析 +中考真题） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 2 【知识点一】单项式乘单项式 2 ★【题型 1】直接单项式乘单项式 2 ★【题型 2】利用单项式乘法求字母或代数式的值 3 ★【题型 3】单项式乘单项式的简单应用 5 【知识点二】单项式乘多项式 7 ★【题型 4】直接单项式乘多项式 8 ★【题型 5】单项式乘多项式及求值 9 ★【题型 6】利用单项式乘多项式求字母的值 10 【知识点三】多项式乘多项式 12 ★【题型 7】直接计算多项式乘多项式 12 ★★【题型 8】的乘法运算及其逆用 14 ★★【题型 9】多项式乘多项式化简求值 16 ★★【题型 10】已知多项式乘积不含某一项，求字母的值 18 ★★【题型 11】多项式乘多项式与图形面积 19 【知识点四】乘法公式（平方差公式） 23 ★★【题型 12】直接运用平方差公式进行运算 23 ★★【题型 13】平方差公式与几何图形 24 【知识点五】乘法公式（完全平方公式） 28 ★★【题型 14】直接运完全平方公式进行运算 28 ★★【题型 15】通过完全平方变形公式进行化简求值 30 ★★【题型 16】求完全平方公式的字母系数 31 ★★【题型 17】完全平方公式在几何图形中的应用 33 二.综合培优题型精析 37 ★★★【题型 18】单项式乘单项多拓展运用 37 ★★★【题型 19】单项式乘多项式拓展运用 41 ★★★【题型 20】多项式乘多项式的规律探究 44 ★★★【题型 21】完全平方公式与平方差公式的综合运用 50 ★★★【题型 22】乘法公式的简便运算 52 ★★★【题型 23】乘法公式与最值问题 54 ★★★【题型 24】整式乘法与新定义、阅读问题 59 三.中考真题专练 63 （一）选择题（6题） 63 （二）填空题（6题） 67 （三）解答题（4题） 70 一.知识梳理与基础题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示综合题，带★★★表示培优题。 【知识点一】单项式乘单项式 （1） 运算法则 系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式。运算顺序：先算幂的乘方、积的乘方，再算单项式乘法。 ★【题型 1】直接单项式乘单项式 【例题1】（25-26七年级下·全国·课后作业）下面的计算是否正确？如果不正确，请改正过来． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不正确， (2)不正确， (3)不正确， (4)不正确， 【分析】本题考查单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）（2）（3）（4）根据单项式乘单项式法则计算即可判断． （1）解：不正确，正确结果为：； （2）解：不正确，正确结果为：； （3）解：不正确，正确结果为：； （4）解：不正确，正确结果为：． 【变式1】（25-26八年级上·陕西安康·期末）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式与单项式的乘法运算，需运用单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘时底数不变，指数相加． 解： 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·北京西城·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘法，根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘． 解：原式． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是做题的关键．先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可． 解：原式 ★【题型 2】利用单项式乘法求字母或代数式的值 【例题2】（24-25八年级上·河南周口·期末）若 ，则求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的计算法则得到，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·河南开封·月考）已知单项式与的积为，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式法则，根据单项式乘单项式法则可得，求出m、n的值，然后代入中计算求解即可． 解：， ， ，， ． 故答案为：1． 【变式3】（2023七年级下·江苏·专题练习）若，求的值． 【答案】 【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案． 解：， 则， ∴， 即， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ★【题型 3】单项式乘单项式的简单应用 【例题3】（25-26七年级下·全国·课后作业）小明计算一道代数式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案． 【答案】(1)m的值为2，n的值为3． (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到、的值； （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的、的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． （1）解：由题意，得 ， 即， 所以解得 所以的值为2，的值为3． （2）解：原式 由（1）可知，， 所以原式． 一题多解法由（1）可知，， 所以原式 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·湖北咸宁·期末）长方形的长为，宽为，则它的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的乘法． 长方形的面积等于长乘以宽，直接计算即可． 解：长方形的面积=长×宽． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）现欲将一个长为3ab dm，宽为，高为的长方体废水池中的满池废水注入正方体水池处理．若这些废水刚好装满一个正方体水池，则该正方体水池的棱长为 dm． 【答案】3ab 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 通过计算长方体的体积，并利用正方体体积公式求解棱长． 解：长方体的体积为 ， ∵ ∴则该正方体水池的棱长为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·云南红河·期末）在个旧市某住房小区建设中，为了提高业主的宜居环境，该小区规划修建一个广场（平面图如图所示）． (1)用含m、n的代数式表示该广场的面积S（图中阴影部分）； (2)若m、n满足，求该广场的面积． 【答案】(1) (2)35 【分析】本题考查列代数式、单项式乘以单项式的应用，绝对值和偶次方的非负性质、代数式求值，掌握长方形的面积计算公式、绝对值和偶次方的非负性质是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式，根据广场的面积大长方形的面积空白长方形的面积计算即可； （2）根据绝对值和偶次方的非负性质求出、的值，再代入的表达式并计算即可． （1）解：． （2）解：∵， ，， ，， ， 该广场的面积是35． 【知识点二】单项式乘多项式 （2） 运算性质 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即。 注意：符号问题，不要漏乘项。 ★【题型 4】直接单项式乘多项式 【例题4】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，熟练掌握单项式乘以多项式运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以多项式运算法则进行计算即可． （1）解：； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·江苏南通·期中）化简的结果是（　　） A． B．x C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，通过分配律展开表达式并合并同类项进行化简． 解：原式， 化简结果为x， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·山东济南·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算法则，解题的关键是正确运用分配律，将单项式分别乘以多项式的每一项，再把所得的积相加． 解： 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，单项式乘以单项式，同底数幂的乘法等知识， （1）根据单项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据单项式乘以多项式法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ． ★【题型 5】单项式乘多项式及求值 【例题5】（2026七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了计算单项式乘多项式及求值，先根据单项式乘多项式运算法则进行化简，然后把代入求值即可，掌握运算法则是解题的关键． 解： ， 当 时， 原式 ． 【变式1】（2025·山东菏泽·二模）已知，则代数式的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，掌握整体代入的方法是解题的关键． 先把所给条件变形为，再将代数式计算乘法，合并同类项得，变形为，最后整体代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴ ． 故选：B 【变式2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）已知，则代数式 ． 【答案】4 【分析】本题考查代数式的值问题，掌握代数式的求值方法，会利用整体代入法则求值是解题关键．将代数式展开后，利用已知条件代入计算． 解：∵ ， ∴ ． 故答案为 4． 【变式3】（24-25七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，10 【分析】本题考查了整式的乘法与化简求值，先根据单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入，即可求解． 解：， 当时，原式． ★【题型 6】利用单项式乘多项式求字母的值 【例题6】（23-24八年级上·全国·课后作业）若的展开式中不含项，求a的值． 【答案】 【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则化简，进而得出项的系数为0，即可得出答案． 解： ∵展开式中不含项， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）若，则（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘多项式，正确计算是解题的关键． 利用单项式乘多项式法则展开左边表达式，比较同类项系数求即可. 解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 故选：C. 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）要使成立，则 ， ． 【答案】 2 【分析】此题考查了单项式乘多项式，涉及的知识有：去括号法则，合并同类项法则，以及多项式相等的条件，熟练掌握法则是解本题的关键． 将等式左边展开并整理后，比较两边多项式的对应系数 解：左边表达式展开： = =， 与右边 比较，得系数方程：一次项系数 ，常数项 ， 解得 , ． 故答案为：，． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知的展开式中不含项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式不含某项的问题，先根据单项式乘以多项式的运算法则求出展开式，再根据展开式中不含项可得项的系数为，解之即可求解，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解： ， ∵展开式中不含项， ∴， ∴． 【知识点三】多项式乘多项式 （3） 运算性质 （1）法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，即； （2）型多项式乘法。 ★【题型 7】直接计算多项式乘多项式 【例题7】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． （1）解：原式 ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘法法则及多项式相等的条件，通过展开左边多项式，对比等式两边对应项的系数，建立方程求解和的值，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此题的关键． 解：， ∵， ∴，， ∴，， 故选：C． 【变式2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查多项式的乘法：前一个多项式的每一项与后一个多项式的每一项相乘，最后相加减即可． 解：． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算． （1）解： ； （2）解： ． ★★【题型 8】的乘法运算及其逆用 【例题8】（2026七年级下·全国·专题练习）已知．请用表示p． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列多项式相乘的结果是的为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握整式乘法的运算法则是关键． 根据整式乘法的运算法则计算各选项结果，与题干中的多项式对比即可． 解：多项式乘多项式法则为， 计算各选项： 对于选项A：，不符合题意； 对于选项B：，符合题意； 对于选项C：，不符合题意； 对于选项D：，不符合题意． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，求出b和c的值即可． 解：， ∵， ∴； ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·广东河源·月考）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法及一元一次方程的解法，掌握知识点是解题的关键． 先去括号，再根据一元一次方程的解题步骤，逐步计算即可． 解：， 去括号，得 ， 移项，得     合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ★★【题型 9】多项式乘多项式化简求值 【例题9】（25-26七年级上·重庆·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式乘多项式——化简求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用多项式乘以多项式和分配律展开，再合并同类项，然后代入求值． 解：原式 ， 当时， 原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，多项式乘以多项式，解题关键是利用多项式乘以多项式正确计算． 先利用多项式乘以多项式展开，再合并同类项，然后整体代入求值． 解： ∵， ∴， ∴原式． 故答案为： 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值． (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算和代数式求值，涉及整体代入思想，掌握多项式乘法展开后合并同类项的化简技巧，以及通过整体代入简化计算是解题的关键． （1）先展开多项式乘法，合并同类项后，发现化简结果与已知条件表达式完全一致，直接整体代入求值； （2）先展开两个多项式乘法，合并同类项化简表达式，再代入的具体值计算． （1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解： ． 当，时， 原式． ★★【题型 10】已知多项式乘积不含某一项，求字母的值 【例题10】（25-26八年级上·陕西安康·月考）若的积中不含x项与项，求p，q的值． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘法中的无关项问题． 先计算，进而根据不含x项与项得到，，求解即可． 解： ∵积中不含x项与项， ∴，， ∴，． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若的结果中不含x的一次项，则m的值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，需先展开式子，根据结果不含x的一次项即一次项系数为0，建立方程求解m的值． 解：∵ 又∵结果中不含x的一次项 ∴ 解得 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·天津南开·月考）若的展开式不含x的二次项，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了多项式的乘法． 将多项式展开后，根据不含项的条件，令项的系数为零，求解a的值即可． 解：， ∵的展开式不含x的二次项， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． （1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． ★★【题型 11】多项式乘多项式与图形面积 【例题11】（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，有一块长为米，宽为米的长方形苗圃，现计划扩建，以如图方式向外扩建x米的距离． (1)请用含有x和a的式子表示扩建后的苗圃的面积； (2)若，扩建后的面积比原面积的大了400平方米，求a的值． 【答案】(1)平方米 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图形变化准确表示出扩建后长方形的长和宽，再利用面积公式建立方程求解． （1） 先求出扩建后长方形的长和宽，再根据长方形面积公式列出表达式并化简； （2） 先求出原面积与扩建后面积的差，代入得到关于的一元一次方程，解方程求出的值． （1）解：扩建后的长为：， 扩建后的宽为：， 扩建后的面积为： 故扩建后的面积为 平方米． （2）解：原面积为：， 面积增加量为：， 当 时，面积增加了400平方米， 代入得，即，， ∴． 答：的值为． 【变式1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图是一块长方形菜地，在菜地中修有两条互相交叉的长方形小路，剩余部分种植蔬菜．种植蔬菜每平方米的种子成本是4元，人工成本是16元，当，，则这块菜地种植蔬菜的成本是（   ）元 A．11400 B．12000 C．12600 D．13200 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，以及代数式求值等知识． 根据种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积表示出种植蔬菜的部分的面积，再代入求出面积，再根据面积乘以每平方米的费用计算即可． 解：种植蔬菜的部分的面积菜地的面积两条小路的面积， 即： ， 当时， ， 所以这块菜地种植蔬菜需要的成本是元． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图是某公司的平面结构示意图，用含、的式子表示会议厅比办公区多出的面积为 ．注：（图形中的四边形均是长方形或正方形）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式以及整式乘法的应用，能够正确列出代数式是解题关键； 先求出会议厅的宽为，然后用会议厅的面积减去办公区的面积，同时对代数式进行化简即可． 解：会议厅的宽为：， ∴会议厅的面积为：， 办公区的面积为：， ∴会议厅比办公区多出的面积为：． 故答案为： ． 【变式3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形内部挖去一个小长方形（如图）．其中大长方形的长为，宽为，小长方形的长为，宽为． (1)求零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）；（结果需要化简） (2)零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大多少平方厘米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，正确计算是解题的关键． （1）用大长方形的面积减去小长方形的面积即可得到零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）； （2）用零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）减去小长方形的面积即可得到答案． （1）解： ， 答：零件模型平面图的面积（即阴影部分的面积）为； （2）解： ， 答：零件模型平面图的面积比挖去的小长方形的面积大． 【知识点四】乘法公式（平方差公式） （4） 运算性质 平方差公式： 结构特征：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数。 ★★【题型 12】直接运用平方差公式进行运算 【例题12】（25-26八年级上·甘肃定西·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式，是解题的关键． 根据平方差公式，进行计算即可． 解： ． 【变式1】（25-26八年级上·湖北武汉·期末）若，则的值是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式．利用平方差公式，通过凑出的形式逐步化简连乘式，进而计算出的值． 解：∵， ∴ 则． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此处考查了因式分解的应用．利用平方差公式，将已知条件代入求解． 解：由平方差公式，得 ， 代入已知和， 得， 解得， 故答案为：3． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式进行计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． 解：原式 ． ★★【题型 13】平方差公式与几何图形 【例题13】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． （1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 【变式1】（25-26八年级上·四川宜宾·期末）从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏无锡·月考）图1是长为，宽为的一个长方形，将其进行分割，剪拼，得到如图2所示的大正方形．通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是 ． 【答案】 【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积解答即可． 本题考查了图形面积的不同表示，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 解：根据题意，得大正方形的面积减去小正方形的面积等于长方形的面积， 故． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，把一张长方形纸片沿着线段剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②所示的图形． (1)设图①中阴影部分面积为，图②中阴影部分面积为，请直接用含a，b的式子表示，； (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用： （1）根据题意可得图①中阴影部分的面积为长为，宽为的长方形的面积，图②中阴影部分的面积为边长为a的大正方形的面积减去边长为b的小正方形的面积，即可解答； （2）根据，即可解答． （1）解：根据题意得：， （2）解：根据题意得：， ∴． 【知识点五】乘法公式（完全平方公式） （5） 运算性质 完全平方公式： 变形公式： ★★【题型 14】直接运完全平方公式进行运算 【例题14】（2026七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握乘法公式的结构特征以及整体代换的思想是解题的关键． （1）将原式变形为，利用平方差公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （2）将原式变形为，利用完全平方公式展开，再对使用完全平方公式展开并化简． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·上海金山·期末）如果关于的整式，那么常数的值是 ． 【答案】或9 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 将右边展开后比较系数，得到关于m和n的方程，求解后代入计算即可． 解：∵， ∴， 即，， 由得或， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则． 故答案为：或9． 【变式3】（25-26八年级上·吉林·期末）已知是正整数，求证：能被4整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项，得出，根据是正整数即可得结论． 证明： ． 是正整数， 能被4整除． 能被4整除． ★★【题型 15】通过完全平方变形公式进行化简求值 【例题15】（25-26八年级上·江西赣州·期末）已知，，利用乘法公式求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了整式乘法的公式，掌握完全平方公式的形式和变形是解题的关键． （）利用完全平方公式变形计算即可； （）利用完全平方公式变形计算即可． （1）解：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴或． 【变式1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，关键是熟练掌握公式变形；根据计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 【变式2】（25-26八年级上·江西上饶·期末）已知，，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将所求代数式变形后代入已知条件计算，熟练掌握是解此题的关键． 解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（20-21八年级上·河南商丘·期末），，求下列各式的值： (1)和； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）把所给的式子利用完全平方公式分解后，再把两式进行相加和相减即可求解； （2）先化简原式，再将（1）所求的和的值代入即可求解． （1）解：由题意得，， ， 由得：， ∴， 将代入①得：． （2）解：原式， 将，代入原式得，． ★★【题型 16】求完全平方公式的字母系数 【例题16】（25-26八年级上·福建泉州·期中）、都是自然数，且是一个完全平方数，求的值． 【答案】23 【分析】本题考查完全平方式． 首先设，根据题意可知，并可用表示的形式．根据为自然数，讨论符合题意的的取值，进而代入求得的值． 解：设，则， ∴， ∴， ∵为自然数，则且或且， 当且时，此时无解； 当且时，此时， ∵是自然数，是自然数， ∴或， 代入验证， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意． 即的值为． 【变式1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A．3 B．－5 C． D．3或－5 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式的结构特征：，关键是根据公式确定中间项与首尾两项的关系，从而建立方程求解参数． 解：因为是完全平方式， 所以它可以写成的形式， 对比系数可得：， 当时，解得； 当时，解得， 因此的值为3或； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）多项式□是完全平方式，则“□”代表的式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，通过完全平方式的标准形式对比，已知首项和中间项，即可确定缺失的平方项． 解：完全平方式的形式为 ， ∴ 对应 ， 对应 ， ∴ ，， 故缺失项为 ， 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级下·全国·假期作业）若多项式是一个完全平方式，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的特点解答即可求解，掌握完全平方式的特点是解题的关键． 解：， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即的值为． ★★【题型 17】完全平方公式在几何图形中的应用 【例题17】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）对于一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如根据图1，通过计算面积我们可以得到数学等式． (1)通过求图形2的面积，你可以得到数学等式：______； (2)请根据整式乘法的运算法则，通过计算验证你所得到的数学等式； (3)若a，b，c满足，求的值． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查多项式的混合运算与图形面积的计算． （1）根据图形面积的计算求解即可； （2）运用完全平方公式计算即可； （3）根据（1）得到，再变形，代入计算即可求解． （1）解：大正方形的面积为：， 各部分的面积和为：， ∴； （2）解： ， ∴； （3）解：根据题意，， ∴， ∵ ， ∴ ． 【变式1】（23-24八年级上·广西玉林·期末）如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的木板面积为（　　）（不计接缝） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了整式混合运算的应用，根据题意，总面积减去正方形油画的面积即可． 解：根据题意，制作边框的面积是： ， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，阴影部分是两个正方形．若两个正方形面积的和与周长的和分别为5，12，则图中两个空白长方形的面积之和等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查完全平方公式的变形．设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y，根据题意得，，然后得出的值即可． 本题考查完全平方公式的变形，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 解：设大正方形的边长为x，小正方形的边长为y， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵空白部分的面积为， ∴空白部分的面积共等于4． 故答案为：4． 【变式3】（23-24八年级上·广东江门·月考）（1）下图中的①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形．小明用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积，发现了以下等量关系：________． （2）利用（1）中的等量关系解决下面的问题： ①，，求和的值； ②已知，求的值． 【答案】（1） （2）①1，，② 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式是解题的关键． （1）可以用大正方形的面积减去4个长方形的面积得到图b中的阴影部分的正方形面积；也可以直接利用正方形的面积公式得到； （2）①由（1）得到，把，，代入求，再利用完全平方公式求的值； ②由完全平方公式可知，，即则的值可求． （1）方法一：图②中的阴影部分的正方形面积等于大正方形的面积减去4个长方形的面积，即； 方法二：图②中的阴影部分的正方形的边长等于，所以其面积为； ∴； 故答案为：； （2）①由（1）可知 ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴． ②∵， ∴ 即， ∴． 二.综合培优题型精析 ★★★【题型 18】单项式乘单项多拓展运用 【例题18】（23-24七年级上·福建福州·期中）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数为“同心有理数对”，记为，如：数对，都是“同心有理数对”． (1)判断数对，是“同心有理数对”吗？如果是，请说明理由； (2)若是“同心有理数对”， ①则_________“同心有理数对”（填“是”或“不是”）； ②求的值． 【答案】(1)不是“同心有理数对” ，是“同心有理数对”，理由见详解 (2)①是② 【分析】（1）根据新定义，分别求出两数的差与两数的2倍减1的结果，进行比较，然后判断即可； （2）①根据新定义，由得即可；②先化简，再代入求值即可． （1）解：，， 故不是“同心有理数对” ． ，， ， 故是“同心有理数对”； （2）解：①是“同心有理数对”， ． ， 故是“同心有理数对”， 故答案为：是； ②由得：， ， 当时， 原式 【点睛】本题主要考查了新定义，解题关键是理解新定义运算的含义，并能够根据新定义解决问题． 【变式1】（24-25九年级下·重庆·月考）有依次排列的2个整式：，，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得之差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串：，3，，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推．通过实际操作，有同学得出了下列结论： （1）第二次操作后整式串为：，，3，，； （2）第二次操作后的整式串中，当时，所有整式的积不大于0； （3）第四次操作后整式串中共有15个整式； （4）第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为； 四个结论正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算法则、整式的乘法运算法则等知识点，灵活运用运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则和整式的乘法运算法则进行计算逐个判断即可． 解：∵第一次操作后的整式串为：，3，， ∴第二次操作后的整式串为：，，3，，，故（1）错误，不符合题意； ∴第二次操作后整式的积为：， ∵， ∴， ∴， ∴，故（2）正确，符合题意； ∵第二次操作后的整式串为：，，3，，， ∴第三次操作后的整式串个数为：， ∴第四次操作后的整式串个数为：，故（3）错误，不符合题意； 可知：第一次操作后整式的和为：，第二次操作后整式的和为：； ∵第二次操作后的整式串为：，，3，，， ∴第二次操作后的整式串为：，3，，，3，，，，， ∴第三次操作后整式的和为：； ∴第n次操作后的整式的和为：， 第2025次操作后的整式串中，所有的整式的和为，故（4）正确，符合题意， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知一个大长方形中被剪去两个小长方形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查列代数式及整式加减运算的应用，用代数式表示出大长方形和两个小长方形的面积，则阴影部分的面积等于大长方形的面积减去两个小长方形的面积． 解：观察图形可知：大长方形的长，宽， 上面小长方形的长，宽， 下面小长方形的长，宽， 因此大长方形的面积为：， 上面小长方形的面积为， 下面小长方形的面积为， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先对小明抄错指数后的整式乘法式子，利用同底数幂的乘法法则进行化简，再结合化简结果与已知结果的指数对应相等，列出方程，求解得到的值． （2）计算正确答案的分析解题思路是：将（1）中求出的的值代入原式，再利用同底数幂的乘法法则进行整式乘法运算，得到正确结果． （1）解：由题意，得 ， 即， ∴，， ∴，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， ∴原式． 一题多解法 （2）由（1）知，，， 所以原式 ． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． ★★★【题型 19】单项式乘多项式拓展运用 【例题19】（25-26八年级上·江西赣州·期末）对于任意有理数、、、，定义一种新运算：． (1)___________． (2)求的值． (3)当时，请求出（2）的值． 【答案】(1) (2)(3) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的乘法运算与化简求值． （1）根据新定义运算进行计算即可求解； （2）根据新定义可得，再根据整式的乘法进行计算即可求解； （3）将字母的值代入（2）的化简结果进行计算即可求解． （1）解：， 故答案为：． （2）解： （3）解：当时， 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·湖南湘西·月考）已知，求的值 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了代数式求值，整式乘法．根据已知等式得出，，然后对所求式子变形，整体代入计算即可． 解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2026． 【变式3】（25-26七年级上·山东枣庄·期末）阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解： ． 你能用上述方法解决以下问题吗？ (1)已知，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)2026 【分析】本题考查了单项式乘以多项式运算，积的乘方逆运算，代数式求值． （1）先利用单项式乘以多项式运算法则计算，再利用积的乘方逆运算变形，然后代入求值； （2）先将原式变形为，再整体代入求值即可． （1）解： ； （2）解：∵， ∴， ． ★★★【题型 20】多项式乘多项式的规律探究 【例题20】（25-26八年级上·湖北荆州·期末）“杨辉三角”揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将展开后，各项的系数和为_______． （2）将展开后，各项的系数和为_______． （3）写出的展开式． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行     第二行     第三行     第四行     第五行           ．．．．．． （4）请你描述一下“莱布尼茨三角形”的数字变化规律． （5）若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是多少？ 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4）见解析；（5） 【分析】（1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为4； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是； （5）利用（4）得到的规律，经过计算可得结论． 解：（1）， ， 故答案为：4； （2）第二行：，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， 第四行：，各项系数和为， 第五行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； （3）由（2）得：， 故答案为：； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是； （5）由规律可知，分子总是1， 第n行的第一个数的分母就是n， 第二个数的分母是第一个数的倍， 第三个数的分母是第二个数的分母的倍， 第四个数的分母是第三个数的分母的倍， ....， 根据图表的规律，可得第8行第6列为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对于规律性，杨辉三角和莱布尼茨三角是比较常见的数字变化类，要求学生通过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期中）贾宪三角（如图）最初于11世纪被发现，与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．在贾宪三角中第三行的三个数恰好对应着两数和的平方的展开式的系数，类似的，第四行的四个数恰好对应着两数和的立方的展开式的系数，等等．观察贾宪三角形的排列规律，下列结论正确的是（） ①展开式的第三项的系数是15； ②； ③展开式中含项的系数是2026； ④展开式中各项系数之和为32； A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了数字变化类规律．能够运用规律解决问题是解题的关键．根据贾宪三角形的排列规律判断各结论的正误即可得解． 解：①∵展开式的第三项的系数是， ∴正确； ②∵ ， ∴正确； ③∵展开式中含项是第二项，每行的第二项系数都等于行数，展开式在第2026行， ∴展开式中含项的系数是2026， ∴正确； ④∵展开式为 ， ∴其中各项系数之和为， ∴正确． ∴正确的结论有①②③④， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·重庆·期中）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）； 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，杨辉三角，解题的关键是灵活运用杨辉三角解决问题． 首先确定是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题． 解：展开式中， 第一项是， 第二项是， ∴含项的系数是， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数．                                                      1      1  1                                        1  2  1                               1  3  3  1                      1  4  6  4  1         1  5  10  10  5  1 (1)观察的展开式，各项系数和是______；猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和______（结果用含字母n的代数式表示）； (2)利用材料中的规律计算： ①写出的展开式 ② 【答案】(1)64， (2)①，②1 【分析】本题考查了数字的变化类、列代数式、多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）由已知式子列出的展开式，再计算出各项系数和即可；根据规律发现可知，（n取正整数）的展开式的各项系数之和为； （2）①根据前面发现的规律，将所求式子变形，即可运用发现的规律解答本题即可； ②利用的展开式，将式子转化为，计算得1． （1）解：， ∴各项系数和为：， ∵的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， 的展开式的各项系数之和为， ……， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和为， 故答案为：64，． （2）解：① ； ②观察式子， 将原式与进行比较，可发现当，时，两者形式完全相同， ∴原式． ★★★【题型 21】完全平方公式与平方差公式的综合运用 【例题21】（25-26七年级下·全国·周测）设，，．若，则（   ） A．27 B．24 C．22 D．20 【答案】A 【分析】观察到，，三个表达式之间存在连续整数关系，可将、用表示，再代入 已知等式求解． 解：∵ ， 将、代入 ． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用与代数式的整体代换，解题关键是通过观察变量间的连续关系，将、转化为含的表达式，从而简化计算． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）已知50个数从，0，1中取值．若，且，则： （1）中0的个数是 ； （2）的值为 ． 【答案】 13 197 【分析】本题考查了完全平方公式，有理数的乘方，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式，得到，继而推导出，得到中或的个数是37个，则中的个数是，即可解答； （2）先求出比多9个，得到的个数为（个），1的个数为（个）．则，即可解答． 解：（1）∵ 又∵， ∴； ∵个数从，，中取值， ∴中或的个数是37个， ∴中的个数是， 故答案为：13． （2）∵，或的个数是37个，的个数是13个， ∴比多9个， 即的个数为：（个），1的个数为（个）． ∴ ． 故答案为：197． 【变式2】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）观察下列各式： ， 你能口算末位数字是的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由． 【答案】先计算十位数字与它本身加的积，在结果后面写上，理由见解析 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握相关知识是解题的关键，设十位数字是，个位数字是，则两位数可以表示为，通过计算可发现规律． 解：设十位数字是，个位数字是， 则两位数可以表示为， ， 计算方法为先计算的值，再在其结果的末尾写上． ★★★【题型 22】乘法公式的简便运算 【例题22】（25-26八年级下·全国·周测）用简便方法计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，将103表示为100与3的和进行计算； （2）先将5化为6-1，再连续应用平方差公式逐步化简式子． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】第（1）题：核心技巧是凑整 + 完全平方公式，将接近整百的数拆分，简化计算；第（2）题：核心技巧是构造平方差公式，通过将 5 转化为 6−1，连续使用平方差公式，实现 “连锁化简”． 【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·期末）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键． 先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 解： ． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·北京·期中）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，设，则，，将原表达式转化为关于的简化形式，从而计算出结果． 解：设，则，， ∴ ， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）计算：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，解决此题的关键是正确的计算；先把式子变形运用完全平方公式和平方差公式运算，最后再计算即可； 解： ， ， ， ， ． ★★★【题型 23】乘法公式与最值问题 【例题23】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． （1）解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知，则代数式有（    ） A．最大值10 B．最小值 C．最小值10 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，先根据题意得到，进而推出，再根据偶次方的非负性得到，则当时，代数式有最小值10，据此可得答案． 解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值10， 故选：C． 【变式2】（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）阅读材料 例：求代数式的最小值 解：．可知当时，有最小值，最小值是－8．根据上面的方法解决下列问题： （1）最小值是 ． （2）多项式最小值可以是 ． 【答案】 5 【分析】（1）将多项式加4再减4，利用配方法后可得结论； （2）将多项式重新分组，改写成（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5，配方后可得结论． 解：（1）∵m2-4m-5 =m2-4m+4-9 =（m-2）2-9， ∴当m=2时，m2-4m-5有最小值，最小值是-9． 故答案为：-9； （2）∵a2+b2-4a+6b+18 =（a2-4a+4）+（b2+6b+9）+5 =（a-2）2+（b+3）2+5， ∴当a=2，b=-3时，多项式a2+b2-4a+6b+18有最小值，最小值是5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式，再利用非负数的性质解答是解题的关键． 【变式3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）【材料阅读】 利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由可求出多项式的最小值． 例：求多项式的最小值． 解：．因为，所以．当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 像这样，先添加一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 【问题解决】 (1)若，，请利用上面所学知识求值： ①； ②； (2)已知x是实数，，请用配方法求M的最小值； (3)某养殖场要将一块长为12米、宽为10米的长方形养殖区域进行改造，使得长减少x米，宽增加x米，问：当x取何值时，长方形区域的面积S最大？最大值是多少？ 【答案】(1)①13；②； (2)M有最小值2； (3)当时，S最大，最大值为121平方米． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）①直接根据完全平方公式变形求值即可； ②先将、看作整体根据完全平方公式将原式化为，再将，代入计算即可； （2）根据完全平方公式将原式化为，根据可知当时，M有最小值2； （3）先计算长方形区域的面积，根据完全平方公式将其转化为，根据可知当时，S最大，最大值为121平方米． （1）解：①， ∵，， ∴； ②∵， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，M有最小值2； （3）解：由题意可知， ∵， ∴， ∴当时，S最大，最大值为121平方米． ★★★【题型 24】整式乘法与新定义、阅读问题 【例题24】（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）定义：任意两个数，，按规则运算得到一个新数，称为，的“和方差数”． (1)求，的“和方差数”． (2)若两个非零数，的积是，的“和方差数”，求的值． (3)若，，求，的“和方差数”． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，完全平方公式的应用．掌握“和方差数”的定义是解题的关键； （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义，可得，即，再将其代入中所求代数式计算即可； （3）根据题意，可知，再将，代入计算即可． （1）解：； （2）解：∵， ∴， 即：，， ∴； （3）解：∵， 又，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）定义一种新运算：对于任意有理数和，都有．下列结论正确的是（　　） ①若，则； ②对于任意有理数和，恒成立； ③； ④若异号，则或． A．①③ B．①② C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算、整式的混合运算，解题的关键是理解新定义运算． 通过逐一验证每个结论的正确性：结论①由绝对值的非负性推导；结论②通过反例证明不成立；结论③考虑a的符号情况；结论④根据a、b异号时分情况讨论即可． 解：①若，则， ∵， ∴且， ∴且， 解得，故①正确； ②取， 左边： ， 右边： ， ∴左边≠右边，故②错误； ③ ， 当时，，故③错误； ④若a、b异号，设， 当时， ， 当时， ， 当时， ， 故或，故④正确． 综上所述，①④正确， 故选D． 【变式2】（24-25八年级上·重庆石柱·期中）定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是 ，第个“智慧数”是 【答案】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案为：，． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）定义，如． (1)若，求的值； (2)若的值与无关，求值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据定义将化为，解方程即可得到答案； （2）根据定义得到，再由的值与无关，得到方程组求解即可得到答案． （1）解： ， ，即， 解得； （2）解： ， ， 的值与无关， ， 解得， ． 【点睛】本题考查新定义运算，涉及解方程及方程组、整式运算、多项式无关项问题等知识，读懂题意，掌握新定义运算，灵活转化为解方程及解方程组问题是解决问题的关键． 三.中考真题专练 （一）选择题（6题） 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 解：， 故选：D． 2．（2025·四川·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了去括号，合并同类项，完全平方公式和积的乘方等计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·四川泸州·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解题的关键． 分别根据负整数指数幂，合并同类项，积的乘方运算法则，以及完全平方公式判断即可． 解：A、，原写法错误，故本选项不符合题意； B、，原写法错误，故本选项不符合题意； C、，写法正确，故本选项符合题意； D、，原写法错误，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 解： 故选：D． 5．（2024·内蒙古·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题关键．根据积的乘方与幂的乘方、完全平方公式、合并同类项法则逐项判断即可得． 解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 6．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（    ） A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5 C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，故可判断C、D选项． 解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“20”左边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； ∴上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴D选项符合题意， 当时，计算的结果大于6000，故C选项不符合题意， 故选：D． （二）填空题（6题） 7．（2024·上海·中考真题）计算 ． 【答案】 【分析】根据平方差公式计算即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 解：根据题意，得， 故答案为：． 8．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 9．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据，计算求解即可． 解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于熟练掌握：． 10．（2024·四川乐山·中考真题）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 根据，计算求解即可． 解：由题意知，， 故答案为：． 11．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个智慧优数是 ． 【答案】 【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解． 解：依题意， 当，，则第1个一个智慧优数为 当，，则第2个智慧优数为 当，，则第3个智慧优数为， 当，，则第4个智慧优数为， 当，，则第5个智慧优数为 当，，则第6个智慧优数为 当，，则第7个智慧优数为 …… 时有4个智慧优数，同理时有个，时有6个， 列表如下， 观察表格可知当时，时，智慧数为， 时，智慧数为， ，时，智慧数为， ，时，智慧数为， 第1至第10个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第11至第20个智慧优数分别为：，，，，，，，，，， 第21个智慧优数，第22个智慧优数为，第23个智慧优数为 故答案为：，． 【点睛】本题考查了新定义，平方差公式的应用，找到规律是解题的关键． 12．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：；；；；…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： ．    【答案】 【分析】根据题意单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，可发现第个数对的第一个数为：，第个数对的第二个位：，即可求解． 解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，… 即：，，，，，… 则第个数对的第一个数为：， 每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，… 即：；；；；…， 则第个数对的第二个位：， ∴第n个数对为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的排列规律，利用拐弯出数字的差的规律解决问题． （三）解答题（4题） 13．（2024·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据多项式乘多项式，单项式乘多项式的运算法则进行展开，再合并同类项，即可作答． 解： 14．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】根据，，单项式乘以多项式法则进行展开，再加减运算，代值计算即可． 解：原式 ． 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查了化简求值问题，完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则，掌握公式及法则是解题的关键． 15．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为，的正方形秧田，，其中不能使用的面积为． (1)用含，的代数式表示中能使用的面积___________； (2)若，，求比多出的使用面积． 【答案】(1) (2)50 【分析】（1）利用正方形秧田的面积减去不能使用的面积即可得； （2）先求出中能使用的面积为，再求出比多出的使用面积为，利用平方差公式求解即可得． （1）解：中能使用的面积为， 故答案为：． （2）解：中能使用的面积为， 则比多出的使用面积为， ，， ， 答：比多出的使用面积为50． 【点睛】本题考查了列代数式、平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键． 16．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为． (1)请用含a的式子分别表示；当时，求的值； (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，，当时， (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到，，将代入用a表示的等式中求值即可； （2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可． （1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：， ∴，， ∴， ∴当时，； （2），理由如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握作差比较法是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $