精品解析：2026年2月湖北省部分学校中考一模数学试题

数 学 本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 2. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图， 判断这个几何体的俯视图即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图为： 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、单项式乘单项式法则分别计算判断即可． 【详解】解：A、，该选项错误，不符合题意； B、，该选项错误，不符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项正确，符合题意． 故选：D． 4. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板．先得出，再根据平行线的性质得出，进而根据，得出答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 故选：D． 5. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，因为，所以，因为，所以，则方程与所有实数根的乘积等于，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴方程与所有实数根的乘积等于， 故选：A． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 B. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 C. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定 D. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查 【答案】D 【解析】 【分析】利用调查方式的选择、方差的意义及概率公式分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是随机事件，故原说法错误，该选项不符合题意； B、一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次可能有1次中奖，故原说法错误，该选项不符合题意； C、∵，∴则甲的成绩比乙的稳定，故原说法错误，该选项不符合题意； D、对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查，故原说法正确，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，概率公式，方差和概率的意义，理解各个概念是正确判断的前提． 7. 如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的变化—旋转，作出旋转后的图形，由图可知，的横坐标为的值，的纵坐标为的值，即可得到的坐标．掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，如图， ∴，， ∵点的坐标是，在第二象限，且绕点顺时针旋转， ∴点在第一象限，，， ∴． 故选：B． 8. 在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 9. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，三角形的外角定理和直角三角形的性质，以及角平分线定义．根据直径所对的圆周角是直角可求出，根据作图可得是的角平分线，从而得到，再由三角形的外角性质可得答案． 【详解】解：∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， 由作图知，是的角平分线， ∴， ∴． 故选：D 10. 如图，将正方形纸片对折得到折痕，连接线段，沿折痕折叠使落在线段上，点D的对应点为点N，连接线段．图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形基本性质，相似三角形基本性质以及黄金分割比，能够正确作出辅助线证得三角形相似是解题关键； 延长，交的延长线交于点，先证得，进而，再通过折叠得，，，进而，，设，则，，进而求出，进而可得到，进而可求解． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， ∵四边形是正方形． ∴，，， ∴，， ∴， 由折叠得，，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是， 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. x减去y不大于，用不等式表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，关键是要抓住题目中的关键词，首先表示x减去y为，再表示“不大于”即为． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 【答案】y=x（答案不唯一） 【解析】 【详解】试题分析：设此正比例函数的解析式为y=kx（k≠0）， ∵此正比例函数的图象经过一、三象限，∴k＞0． ∴符合条件正比例函数解析式可以为：y=x（答案不唯一）． 13. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法活画树状图求随机事件的概率，根据题意，把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【详解】解：《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》分别用表示， ∴用列表法把所有等可能结果表示出来如下， 共有中等可能结果，其中恰好选中《海岛算经》的结果有种， ∴恰好选中《海岛算经》的概率为， 故答案为：． 14. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的减法，再计算乘法即可解答． 【详解】解：． 故答案为：1 15. 如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段的长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 【答案】 ①. 3 ②. 54 【解析】 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要能读懂题意，结合图象进行分析是关键． （1）由函数图象得； （2）当时，，连接，当点与点重合时，的值最大，先证明，再证明，利用相似三角形的性质求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由函数图象得，函数图象经过点，， ∴， 故答案为：3； （2）由函数图象得，当动点运动到达点后，， 当时，，此时，图象如图所示， 连接，当点与点重合时，的值最大， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴的最大值为54， 故答案为：54． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的运算．先根据零指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值、绝对值的定义计算，再合并即可． 【详解】解： ． 17. 已知：如图，点P为矩形内一点，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】欲证明只要证明即可． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定． 18. 根据以下素材，解决探究任务． 素材1 丁丁家安装的圆形户外遮阳伞如图1所示，图2是它的截面示意图．已知遮阳伞的竖支架垂直于地面，与地面平行，米，米，． （参考数据：，，） 素材2 丁丁家所在地区某日12点时的太阳光线与地面的夹角为． 任务1 请求出离地面的高度的长．（结果保留一位小数） 任务2 请求出这天12点时该遮阳伞能挡住的阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】任务1：米；任务2：米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、扇形的面积公式等知识点，正确构造直角三角形、解决实际问题成为解题的关键． 任务1：在中解直角三角形求得（米），然后再根据线段的和差求解即可； 任务2：在中解直角三角形求得（米），然后根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：任务1：在中，米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：离地面的高度的长约为1.4米． 任务2：在中，米，， ∴（米）， ∴（米）． 答：这天12点时该遮阳伞能挡住的阴影部分的面积约为米． 19. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 b 九年级 8 a 9 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 【答案】（1）， （2）八 （3）我认为九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差的意义，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求出答案； （2）根据中位数的定义即可求出答案； （3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可． 【小问1详解】 解：把九年级10名学生的测试成绩排好顺序为：6，6，7，7，8，9，9，9，9，10，根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为； 八年级10名学生每周锻炼8小时的最多有3人，所以众数， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：A同学平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平，而八年级学生的平均每周锻炼时长的中位数是8，由此可判断他是八年级的学生； 故答案为：八； 【小问3详解】 解：我认为九年级学生体育锻炼情况的总体水平较好． 理由：因为八、九年级的平均数相等，九年级每周锻炼时间的方差小于八年级每周锻炼时间的方差，所以九年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好 20. 如图是2025年11月的月历表： （1）如图1阴影部分所示，小明选取其中的7个连续数字进行研究，请探求这7个数字的总和与中间数9的关系，并说明理由； （2）小明想探究非连续的9个数字是否也存在规律．他框出了如图2阴影部分的方框，并移动方框．若按日期的先后顺序给方框内的这9个数字依次编号，设这9个数字的和为S，第⑤个数字为请探求S与a的关系，并说明理由； （3）小明经过研究发现，除中的方案外，仍可以在上面月历中选取非连续的9个数字，使结论与中的一样，请你把选取的9个数字用铅笔上色． 【答案】（1）这7个数字的总和是中间数9的7倍，理由见解析 （2），理由见解析 （3）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及一元一次方程的应用，熟知月历中各数之间的关系是解题的关键． 根据题意，计算出阴影部分7个数的和，据此进行判断即可； 根据题意，计算出阴影部分9个数的和，据此进行判断即可； 根据题意，涂出符合要求的非连续的9个数字即可． 【小问1详解】 解：这7个数字的总和是中间数9的7倍，理由如下： 因为，， 所以这7个数字的总和是中间数9的7倍； 【小问2详解】 解：，理由如下： 因为第⑤个数字为a， 所以其余数字依次为，，，，，，，， 则这9个数字的和， 所以S与a的关系为； 【小问3详解】 解：如图所示， （答案不唯一） 21. 如图，是的直径，点C、D在上，． （1）求证：是的切线； （2）若时，求劣弧的长． 【答案】（1）见解析 （2）劣弧AC的长为 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定定理、圆周角定理（同弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角为直角）、等边三角形的判定与性质以及弧长公式的应用，解题的关键是利用圆周角与圆心角的关系、直径的特殊性质推导角度和线段长度，进而完成切线证明与弧长计算． （1）由是的直径，根据直径所对的圆周角为直角得；利用同弧所对的圆周角相等，得，进而算出；结合已知，求出，即，根据切线判定定理证明是的切线； （2）连接，由且（圆的半径相等），判定是等边三角形，得（即半径；根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，得；代入弧长公式（n为圆心角度数，r为半径），计算出劣弧的长． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即：， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，且， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴劣弧的长为． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 【答案】任务1：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元；任务2：共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本；方案2：购买20支钢笔，30本笔记本；任务3：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 【解析】 【分析】任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元，根据“钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设购买a支钢笔，b本笔记本，利用总价单价数量，可列出关于a，b的二元一次方程，结合“a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数”，即可得出各购买方案； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本，根据兑换后笔记本与钢笔数量相同，可列出关于m，n的二元一次方程，结合“，，且m，n均为整数”，可得出各兑换方案，任取其一即可得出结论． 【详解】解：任务1：设钢笔的单价是x元，笔记本的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：钢笔的单价是10元，笔记本的单价是5元； 任务2：钢笔最多购买支，笔记本最多购买本， 设购买a支钢笔，b本笔记本， 根据题意得：， ∴， 又∵a为不少于20的整数，b为不少于20且为10的倍数的整数， ∴或， ∴共有2种购买方案， 方案1：购买25支钢笔，20本笔记本； 方案2：购买20支钢笔，30本笔记本； 任务3：设用其中的n张兑换钢笔，则用张兑换笔记本， 根据题意得：或， 整理得：或， ∵，，m，n均为整数， ∴或， ∴共有两种兑换方案， 方案1：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记本； 方案2：用5张兑换钢笔，2张兑换笔记本． 答：用3张兑换钢笔，1张兑换笔记（答案不唯一）． 23. 在和中，，点P在上，且．连接交于点Q． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，当A，P，C 三点共线时，求 的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得到，再证明四边形是平行四边形，即可求证； （2）证明，即可求解； （3）显然，而，因为，那么，设，则 ，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 解：由（1）可知，四边形平行四边形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ， 又∵， 解得； 【小问3详解】 解：∵， ， ， 又∵， ， 设， 则 ， 解得或 (不符合题意，舍去)， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，公式法解一元二次方程，难度较大，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； （2）若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）①或；②；③或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可． （2）①设，当点位于轴左侧时，即，当点位于轴右侧时，且时，当点位于轴右侧时，且时，再进一步求解即可. ②设，且，求解直线为：，可得，，再进一步求解即可． ③如图，当的横坐标为，当时，此时只有，此时不符合题意，舍去，当在之间时，即，如图，同理可得：此时只有，延长，过作于点，过作轴的平行线交于，交轴于，如图，当在之间时，此时不符合题意，舍去，当在的左边时，即时，此时只有，如图，记与轴的交点为，再进一步求解即可. 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点．， ∴， 解得：， ∴抛物线． 当时，， ∴. 【小问2详解】 解：①设， 当点位于轴左侧时，即， 函数最大值为，当时，函数最小值为， ． ∴． 解得，（舍去）． 当点位于轴右侧时，且时， 当时，函数最大值为， 当时，函数值为，即抛物线顶点为 ∵， ∴此时最高点和最低点的纵坐标之差不超过1，即此时无解； 当点位于轴右侧时，且时， 函数最大值为，当时，函数最小值为， ∴， 解得 ，（舍去）． 综上所述，或． ②设，且， ∵，， 设直线为，则， 解得：， ∴直线为：， ∴， ∴， 当时，的长有最大值，最大值为． ③如图，当的横坐标为，当时， 此时， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，即， 此时都不等于，不符合题意，舍去， 当在之间时，即，如图， 此时，，故只有， 延长，过作于点，过作轴的平行线交直线于，交轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴，， ∴， 将代入抛物线解析式得：， 解得：，（舍去）， ∴， 如图，当在之间时， 设直线：与抛物线有一个交点，在轴上， ∴方程有两个相等的实数根， ∴方程中， 解得：， ∴直线为， ∴， ∴，而， ∴，， ∴，而 ∴， ∴， ∴，而，此时不符合题意，舍去， 当在的左边时，即时， 此时，，只有，如图，记与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线为， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 综上：或. 【点睛】本题考查的二次函数与几何综合，难度很大，涉及待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数 学 本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个长方体从中间去掉一个圆柱得到的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将含角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 方程与所有实数根的乘积等于（ ） A. B. 2 C. D. 5 6. 下列说法正确的是（ ） A. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯是必然事件 B. 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖 C. 甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、．若，，，则乙的成绩比甲的稳定 D. 对端午节期间市场上粽子质量情况的调查，采用抽样调查 7. 如图，点的坐标是，将绕点顺时针旋转得到，点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，为半圆O的直径，点C为半圆上一点，且．①以点B为圆心，适当长为半径作弧，交于D，E；②分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点P；③作射线，与交于点F，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，将正方形纸片对折得到折痕，连接线段，沿折痕折叠使落在线段上，点D的对应点为点N，连接线段．图中与正方形纸片的边长成黄金比的线段是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. x减去y不大于，用不等式表示为___________． 12. 请写出一个图形经过一、三象限的正比例函数的解析式___． 13. 中国古代数学在世界数学史上占有重要地位，其成就辉煌，影响深远．《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要名著．实验中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《海岛算经》的概率为_____________． 14. 计算：______． 15. 如图1，在中，，为边上一点．动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为（单位：秒），为．在动点运动的过程中，与的函数图象如图2所示． （1）线段长为________； （2）在整个运动过程中，的最大值为________． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： 17. 已知：如图，点P为矩形内一点，，求证：． 18. 根据以下素材，解决探究任务． 素材1 丁丁家安装的圆形户外遮阳伞如图1所示，图2是它的截面示意图．已知遮阳伞的竖支架垂直于地面，与地面平行，米，米，． （参考数据：，，） 素材2 丁丁家所在地区某日12点时的太阳光线与地面的夹角为． 任务1 请求出离地面的高度的长．（结果保留一位小数） 任务2 请求出这天12点时该遮阳伞能挡住的阴影部分的面积．（结果保留） 19. 为了解学生的体育锻炼情况，学校以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．通过问卷，收集了八、九年级学生的平均每周锻炼时长数据，现从两个年级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行统计： 八年级：9，8，11，8，7，5，6，8，6，12； 九年级：9，7，6，9，9，10，8，9，7，6． 整理如下： 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 8 8 b 九年级 8 a 9 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）A同学说：“我平均每周锻炼小时，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是 年级的学生； （3）你认为哪个年级的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出一条理由． 20. 如图是2025年11月月历表： （1）如图1阴影部分所示，小明选取其中7个连续数字进行研究，请探求这7个数字的总和与中间数9的关系，并说明理由； （2）小明想探究非连续的9个数字是否也存在规律．他框出了如图2阴影部分的方框，并移动方框．若按日期的先后顺序给方框内的这9个数字依次编号，设这9个数字的和为S，第⑤个数字为请探求S与a的关系，并说明理由； （3）小明经过研究发现，除中的方案外，仍可以在上面月历中选取非连续的9个数字，使结论与中的一样，请你把选取的9个数字用铅笔上色． 21. 如图，是的直径，点C、D在上，． （1）求证：是切线； （2）若时，求劣弧的长． 22 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计奖品购买及兑换方案？ 素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价比笔记本贵5元，购买60个笔记本和30支钢笔的所花的钱一样多． 素材2 某学校花费350元购买该文具店的钢笔和笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”，两种奖品的购买数量均不少于20件，且购买笔记本的数量是10的倍数． 素材3 学校花费350元后，文具店赠送m张兑换券（如图），笔记本与钢笔数量相同． 问题解决 任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价． 任务2 探究购买方案 探究购买钢笔和笔记本数量的所有方案． 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定一种符合条件的兑换方式． 23. 在和中，，点P在上，且．连接交于点Q． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图1，若，求的值； （3）如图2，当A，P，C 三点共线时，求 的值． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式，并直接写出点的坐标； （2）若点为抛物线上一动点（点不与点重合）．设点的横坐标为． ①设抛物线上点，之间的部分（含）为图象，当图象的最高点和最低点的纵坐标之差为8时，求的值； ②如图2，点在第四象限抛物线上，过点作轴交直线与点，求线段长的最大值； ③连接，若的内角或中至少有一个角与相等，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $