精品解析：云南昆明市第十四中学等2025-2026学年上学期期末考试九年级数学试题

昆十四中教育集团2025-2026学年（上）学期期末考 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年9月28日，世界第一高桥——花江大峡谷大桥正式建成通车．这座“横竖”都是世界第一的超级大桥，首次采用了锻焊结构索鞍，通过数万次精密锻造，使鞍体最大单件重量减至41300千克，抗压强度反而提升．新工艺不仅减轻了重量，更降低了运输吊装难度，真正实现“轻装承重”．将数字41300用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，则（ ） A. B. C. D. 3. 汉字字体，蕴含着千年的历史沉淀与艺术魅力．将“昆十四中”四字写成华文彩云字体能得到下列选项图形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 女子跳台运动员对体重有严格的要求，按一定的标准，4位女子跳台运动员的体重情况如下表，请判断超出标准体重的是（ ） 运动员 甲 乙 丙 丁 超出标准体重的千克数 0.5 A. 甲运动员 B. 乙运动员 C. 丙运动员 D. 丁运动员 5. 函数的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的正中央有个圆孔的立方体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（ ） A. B. C. D. 9. 将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，内接于，则为（ ） A. B. C. D. 11. 分子是由原子构成的，例如：1个甲烷分子是由1个碳原子和4个氢原子构成，可以用如图①的分子结构模型表示．小宇通过查阅资料得到：1个乙烷分子是由2个碳原子和6个氢原子构成，可以用如图②的分子结构模型表示；1个丙烷分子是由3个碳原子和8个氢原子构成，可以用如图③的分子结构模型表示；⋯⋯按照这一规律，1个丁烷分子结构模型中碳原子和氢原子的个数总和是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 12. 在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（ ） A. B. C. D. 13. 已知和是方程两个根，则整式的最大值为（ ） A. B. C. 2.5 D. 4.25 14. 如图，在中，的平分线交于点，，垂足为点，过点作交于点，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 15. 若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 三角形的内角和等于_______________度 17. 为提倡学生“环保低碳，绿色出行”，某校对学生的出行方式的情况以问卷调查的形式，随机调查了部分学生的主要出行方式（参与问卷调查的学生都只从以下六种方式中选择一种），并将调查结果绘制成如下的统计图．该校共有学生1000人，将出行方式为“地铁”、“公交”、“新能源车”的视为“绿色出行”，并给予鼓励和表扬．据此估计，该校“绿色出行”学生大约为__________人． 18. 不等式组的解集为__________． 19. 如图，是半圆的直径，点是圆上一点，交的反向延长线于点，则弧长为__________（保留）． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 21. 如图，是线段的垂直平分线；交于点，连接和．求证：． 22. 数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数． 23. 某学习论坛准备开展主题为“工农武装割据”的研究性学习活动，于是分配该论坛成员甲和乙去收集学习资源，包括视频资源、图片资源、文献资源，要求每个成员收集学习资源中的一种即可． （1）甲成员被分配收集“文献资源”的概率是__________； （2）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求甲、乙两位成员被分配收集同一种学习资源的概率． 24. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 25. 市场调查 资料查阅 昭通苹果，产自云南昭通这片海拔1800米以上的高原沃土，是“中国苹果之城”的璀璨名片．依托低纬度高原独特的气候优势——年均1901小时充足日照、显著昼夜温差与微酸性沙质土壤，孕育出“早熟、甜脆、香浓”的卓越品质． 市场现状 1箱瑞雪苹果比2箱红富士苹果的售价总额多10元，2箱瑞雪苹果比3箱红富士苹果的售价总额多100元． 购买需求 某顾客欲购买12箱苹果，且红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍． 问题解决 任务1确定单价 请你计算瑞雪苹果和红富士苹果的单价． 任务2拟定购买方案． 请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低，并计算最低总价． 26. 已知抛物线的图象经过点和点，且与轴的交点的纵坐标为． （1）求与的值； （2）若点在此抛物上，且．设，判断与1的大小关系，并说明理由． 27. 【活动背景】 某学校社团在活动中设计一块圆形场地，场地的三等分点三处分别装配有1条长的磁浮轨道，1条平面镜带，1条彩光带．在磁浮轨道上有一辆自由运动的磁浮车，磁浮车上的点能垂直发射1束激光（即：，垂足为点），激光通过平面镜带形成镜面反射光光束的点到达后被吸收，彩光带吸收到反射光束时会发生漫反射产生炫彩光（炫彩光能辐射到整个圆形场地），当炫彩光线传播到点时磁浮车会响起悦耳的音乐（此时点三点组成的三角形周长最小）． 【活动探究】 在磁浮车运动的过程中保持匀速，老师带领同学们将以上活动抽象成为如图所示的几何图形，探究并解决下列问题： （1）求的度数； （2）光束的长是否会发生变化？若会发生变化，请说明理由；若不会发生变化，求出其长度； （3）光束和，光线传播的速度保持不变，探究当点三点组成的三角形周长为多少时，磁浮车上的点会响起悦耳的音乐？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆十四中教育集团2025-2026学年（上）学期期末考 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年9月28日，世界第一高桥——花江大峡谷大桥正式建成通车．这座“横竖”都是世界第一的超级大桥，首次采用了锻焊结构索鞍，通过数万次精密锻造，使鞍体最大单件重量减至41300千克，抗压强度反而提升．新工艺不仅减轻了重量，更降低了运输吊装难度，真正实现“轻装承重”．将数字41300用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键在于依据科学记数法的定义（，其中，为整数）确定与的值． 根据科学记数法的表示方法，表示数字41300即可． 【详解】解：∵科学记数法的表示形式为，其中，为整数． ∴将41300转变为符合范围的，得． ∵从41300到4.13，小数点向左移动了4位． ∴． ∴41300用科学记数法表示为． 故选：D． 2. 如图，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 3. 汉字字体，蕴含着千年的历史沉淀与艺术魅力．将“昆十四中”四字写成华文彩云字体能得到下列选项图形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故B选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 4. 女子跳台运动员对体重有严格的要求，按一定的标准，4位女子跳台运动员的体重情况如下表，请判断超出标准体重的是（ ） 运动员 甲 乙 丙 丁 超出标准体重的千克数 0.5 A. 甲运动员 B. 乙运动员 C. 丙运动员 D. 丁运动员 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际意义，正数表示超出标准体重，负数表示低于标准体重，只需找出表格中对应正数的运动员即可． 【详解】解：∵超出标准体重的千克数为正数时，代表体重超出标准体重 又∵表格中丙运动员对应的数值为（正数） ∴超出标准体重的是丙运动员， 故选：C． 5. 函数的自变量的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，核心依据是分式的分母不能为0的性质，根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为． 故选：A． 6. 如图所示的正中央有个圆孔的立方体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，根据从上面看到的几何体的平面图形判断即可． 【详解】解：如图所示的正中央有个圆孔的立方体的俯视图是 ， 故选：B． 7. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式除法、二次根式乘法、积的乘方运算及同类项合并，根据相关运算法则逐一计算各选项判断正误． 【详解】解：∵分式除法法则为除以一个分式等于乘它的倒数， ∴选项A：，计算正确，不符合题意； ∵二次根式乘法法则为（）， ∴选项B：，计算正确，不符合题意； ∵积的乘方法则为，幂的乘方法则为， ∴选项C：，计算错误，符合题意； ∵同类项合并法则为同类项系数相加，字母及指数不变， ∴选项D：，计算正确，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在矩形中，交于点，将翻折得到，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，特殊角三角函数值，先求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 9. 将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 10. 如图，内接于，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键． 设交于点，由圆周角定理可求，根据，可得，利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 11. 分子是由原子构成的，例如：1个甲烷分子是由1个碳原子和4个氢原子构成，可以用如图①的分子结构模型表示．小宇通过查阅资料得到：1个乙烷分子是由2个碳原子和6个氢原子构成，可以用如图②的分子结构模型表示；1个丙烷分子是由3个碳原子和8个氢原子构成，可以用如图③的分子结构模型表示；⋯⋯按照这一规律，1个丁烷分子结构模型中碳原子和氢原子的个数总和是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的变化类—规律型，从根据所给图形发现氢原子的个数依次增加个是解题的关键．根据所给图形，依次求出模型中氢原子的个数，碳原子的个数即可解决问题． 【详解】解：1个甲烷分子中氢原子的个数为：，碳原子的个数为， 1个乙烷分子中氢原子的个数为：，碳原子的个数为， 1个丙烷分子中氢原子的个数为：，碳原子的个数为， 1个丁烷分子中氢原子的个数为：，碳原子的个数为， ∴1个丁烷分子结构模型中碳原子和氢原子的个数总和是， 故选：C ． 12. 在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数的实际应用，先将一组数据从小到大排序后，求解中位数，根据约半数的数据不超过中位数，因此只需计算该组数据的中位数即可． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排序为：37，45，45，47，58，58，59，63，72，83， 又∵数据共有10个，为偶数个，中位数为中间两个数的平均数， ∴中位数为． ∴大约有半数的机动车的时速不会超过． 故选：C． 13. 已知和是方程两个根，则整式的最大值为（ ） A. B. C. 2.5 D. 4.25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 先根据一元二次方程的根与系数关系得，，设，可得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵和是方程两个根， ∴，， 设， 则， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为， 即整式的最大值为4.25， 故选：D． 14. 如图，在中，的平分线交于点，，垂足为点，过点作交于点，，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可得，证明，，可得是的中位线，进一步求解即可． 【详解】解：∵的平分线交于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15. 若点都在反比例函数为常数，且）的图像上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征．将点代入反比例函数解析式求出m、n与k的关系，再根据比较大小即可． 【详解】解：∵点,,都在反比例函数的图像上， ∴将点代入解析式得：， ∴， ∵将点代入解析式得：， ∴， ∵， ∴，即． 故选：B． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 三角形的内角和等于_______________度 【答案】180 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度进行求解即可． 【详解】解：三角形的内角和等于180度， 故答案为：180． 17. 为提倡学生“环保低碳，绿色出行”，某校对学生的出行方式的情况以问卷调查的形式，随机调查了部分学生的主要出行方式（参与问卷调查的学生都只从以下六种方式中选择一种），并将调查结果绘制成如下的统计图．该校共有学生1000人，将出行方式为“地铁”、“公交”、“新能源车”的视为“绿色出行”，并给予鼓励和表扬．据此估计，该校“绿色出行”学生大约为__________人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图中获取信息，利用样本估计总体，由总人数乘以“绿色出行”的占比即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：该校“绿色出行”学生大约为： （人）， 故答案为：． 18. 不等式组的解集为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组的解法，分别解两个不等式，再取解集的公共部分． 【详解】解： 由①得：， 解得：． 由②得：， ∴， 解得：． 不等式组的解集为． 故答案为：． 19. 如图，是半圆的直径，点是圆上一点，交的反向延长线于点，则弧长为__________（保留）． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，证明，，可得，求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴弧长为． 故答案为： 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，弧长的计算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20. 计算：． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，乘方运算，求解算术平方根，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ． 21. 如图，是线段的垂直平分线；交于点，连接和．求证：． 【答案】 证明：∵是线段的垂直平分线； ∴，， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的定义，先证明，，进一步证明即可． 【详解】略 22. 数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数． 【答案】第一次分钱的人数为2人 【解析】 【分析】设第一次分钱的人数为x人，由题意：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设第一次分钱的人数为x人． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 答：第一次分钱的人数为2人． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23. 某学习论坛准备开展主题为“工农武装割据”的研究性学习活动，于是分配该论坛成员甲和乙去收集学习资源，包括视频资源、图片资源、文献资源，要求每个成员收集学习资源中的一种即可． （1）甲成员被分配收集“文献资源”的概率是__________； （2）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求甲、乙两位成员被分配收集同一种学习资源的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查画树状图法或列表法求概率，理解题意，得到所有的可能结果数是解答的关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）画树状图得到所有的结果数，从中找出符合条件的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，甲成员被分配收集“文献资源”的概率是； 【小问2详解】 解：设视频资源、图片资源、文献资源分别为A、B、C， 画树状图如下： 一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两位成员被分配收集同一种学习资源的有3种， ∴甲、乙两位成员被分配收集同一种学习资源的概率为． 24. 如图，是直角三角形，且，点、分别是、的中点，连接并延长至点，使得，连接、、． （1）求证：四边形是菱形； （2）若的周长为30，且，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ． ， ∴四边形是平行四边形． 是直角三角形，点是的中点， ． 四边形是菱形． （2）30 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形．再结合直角三角形的性质可得，即可得证； （2）设，．则，，由勾股定理可得，求出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，． 的周长为，． ，． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． ∵点、分别是、的中点， ∴， ∵， ∴． ∴． 答：四边形的面积为30． 25. 市场调查 资料查阅 昭通苹果，产自云南昭通这片海拔1800米以上的高原沃土，是“中国苹果之城”的璀璨名片．依托低纬度高原独特的气候优势——年均1901小时充足日照、显著昼夜温差与微酸性沙质土壤，孕育出“早熟、甜脆、香浓”的卓越品质． 市场现状 1箱瑞雪苹果比2箱红富士苹果的售价总额多10元，2箱瑞雪苹果比3箱红富士苹果的售价总额多100元． 购买需求 某顾客欲购买12箱苹果，且红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍． 问题解决 任务1确定单价 请你计算瑞雪苹果和红富士苹果的单价． 任务2拟定购买方案． 请你为该顾客设计购买方案，使得购买总价最低，并计算最低总价． 【答案】任务1：瑞雪苹果单价为170元/箱，红富士苹果单价为80元/箱 任务2：购买瑞雪苹果4箱、红富士苹果8箱时总价最低，最低总价为1320元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． 任务1：设瑞雪苹果单价为x元/箱，红富士苹果单价为y元/箱，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买瑞雪苹果a箱，则红富士苹果箱，购买总价为w元，根据题意可得，，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】解：任务1：设瑞雪苹果单价为x元/箱，红富士苹果单价为y元/箱， 根据题意，得， 解得， 答：瑞雪苹果单价为170元/箱，红富士苹果单价为80元/箱； 任务2：∵红富士苹果的箱数不超过瑞雪苹果箱数的2倍， ∴，解得， 由题意，， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为， ∴（箱）， 答：购买瑞雪苹果4箱、红富士苹果8箱时总价最低，最低总价为1320元． 26. 已知抛物线的图象经过点和点，且与轴的交点的纵坐标为． （1）求与的值； （2）若点在此抛物上，且．设，判断与1的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数表达式、分子有理化，利用作差法比较大小是解答的关键． （1）利用二次函数的性质求得对称轴为直线可求得；利用抛物线与y轴的交点可求得； （2）先对M分子有理化，再判断，最后作差判断与0的大小即可解答． 【小问1详解】 解：∵抛物线的图象经过点和点， ∴该抛物线的对称轴为直线，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点的纵坐标为， ∴当时，； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵点在此抛物线上， ∴，即， ∵， ∴，则， ∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴． 27. 【活动背景】 某学校社团在活动中设计一块圆形场地，场地的三等分点三处分别装配有1条长的磁浮轨道，1条平面镜带，1条彩光带．在磁浮轨道上有一辆自由运动的磁浮车，磁浮车上的点能垂直发射1束激光（即：，垂足为点），激光通过平面镜带形成镜面反射光光束的点到达后被吸收，彩光带吸收到反射光束时会发生漫反射产生炫彩光（炫彩光能辐射到整个圆形场地），当炫彩光线传播到点时磁浮车会响起悦耳的音乐（此时点三点组成的三角形周长最小）． 【活动探究】 在磁浮车运动的过程中保持匀速，老师带领同学们将以上活动抽象成为如图所示的几何图形，探究并解决下列问题： （1）求的度数； （2）光束的长是否会发生变化？若会发生变化，请说明理由；若不会发生变化，求出其长度； （3）光束和，光线传播的速度保持不变，探究当点三点组成的三角形周长为多少时，磁浮车上的点会响起悦耳的音乐？请说明理由． 【答案】（1） （2）不变， （3） 点三点组成的三角形周长为米时，磁浮车上的点会响起悦耳的音乐．理由： 过点A作于点G，连接，取的中点O，连接，过O作于点H， ∵， ∴， ∴A、D、E、F四点在上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点E与点G重合时， ，最小， ∴，最小， ∴，最小． ∵， ∴周长的最小值为， ∴当点三点组成的三角形周长为米时，磁浮车上的点会响起悦耳的音乐． 【解析】 【分析】（1）根据弧、弦的关系得是等边三角形，得，由，得 （2）过点A作于点G，连接，求出，根据，得，即得，不变； （3）取的中点O，连接，过O作于点H，根据，得A、D、E、F四点在上，得，，当点E与点G重合时，，最小，，最小，,最小.得周长的最小值为． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵A、B、C是圆的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由光的反射规律知，， ∴在和中，． 【小问2详解】 解：的长度不会发生变化．理由： 过点A作于点G，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，不变． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握弧、弦关系，等边三角形的判定和性质，面积法求三角形的高，点与圆的位置关系，圆周角定理及其推论，含的直角三角形性质，勾股定理，垂线段最短，添加辅助线，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $