学易金卷：高一数学下学期第一次月考（人教B版，范围：必修第三册第七章）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上具有单调性，若，则 （   ） A． B． C． D． 6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 8．已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．方程的解集是 D．的单调递增区间为 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三角形内角满足，则 . 13．已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为 . 14．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．（15分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 (1)求函数的解析式及在上的单调增区间； (2)将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 19．（17分）深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. (1)求的解析式； (2)已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A[B][CD] 3[A][B][C][D] 7[A[B][C[D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][CD] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A]B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) Wx+ 0 -2 不 3π 2π 5π 3 6 f(x)=Asin(ax+p) 0 5 -5 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B A D B C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD AC ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 2分 （2）由（1）知. 因为，，且， 4分 所以. 所以的值为. 6分 （3）因为为角终边上一点，所以， 所以，. 8分 ， 11分 原式. 13分 16．【详解】（1）由条件可知，解得：，即， 2分 代入可得， 因为，所以， 即， 5分 当时，， 所以在和上单调递增， 即在和上单调递增． 8分 （2）函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位， 得， 10分 因为，所以， 因为在上有两个不同的解， 所以函数与在上有两个交点， 12分 所以且， 解得且 15分 17．【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以， 所以. 2分 令， 得， 故的单调递减区间为. 4分 （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 6分 再将所得图象向左平移个单位长度得到. 8分 （3）令 令，则， 因为， 所以当时，取得最大值， 12分 所以， 解得或， 故实数的取值范围为. 15分 18．【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 2分 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； 4分 （2）因为在上是严格增函数， 所以， 6分 所以，又， 所以； 8分 （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 11分 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 14分 所以， 所以． 17分 19．【详解】（1）“匀速跑心率上升”阶段，时为最低心率60次／分钟，时为最高心率150次／分钟，且振幅为45次／分钟，周期为120，且，，解得， 2分 ，，又，， ，． 4分 “冲刺跑心率波动”阶段，，，显然， ，， 6分 又，且当时，心率呈上升趋势，， ，， 综上所述， 8分 （2）“匀速跑心率上升”阶段， 的最大值为150，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟， 只需，即， 10分 ，，，由解得， “匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为分钟， 12分 “冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140， 只需，即， 不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为， 一个周期内的“高效燃脂区间”内的运动时长为， 15分 共有3个周期，则有20分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长， 综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟． 17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 0 0 5 0 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间上具有单调性，若，则 （   ） A． B． C． D． 6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 8．已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．方程的解集是 D．的单调递增区间为 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三角形内角满足，则 . 13．已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为 . 14．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 16．（15分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 (1)求函数的解析式及在上的单调增区间； (2)将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 19．（17分）深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. (1)求的解析式； (2)已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版必修第三册第七章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，又，. 故选：C. 2．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】，故与的角终边相同， 其中在第二象限，故角的终边落在第四象限. 故选：B. 3．已知，则（    ） 【答案】A 【详解】由题意知，，. 由可得，， 即，. 故选：A 4．若点为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 因此函数图象的对称中心为， 而，则，， 所以的最小值为. 故选：D 5．已知函数在区间上具有单调性，若，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得， 所以函数的对称中心为 因为，且函数在区间上具有单调性， 所以点与关于函数的对称中心对称， 所以， 所以. 故选：B 6．如图，将含角的直角三角板绕顶点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，扇形的圆心角为，且 所以, 所以， 且, 所以阴影部分的面积为. 故选：C. 7．已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为函数是奇函数， 所以，而，则， 此时， 由是图象的一条对称轴， 所以，则， 又在区间上单调，则，即，则或6， 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意； 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意. 综上所述，或6. 故选：B. 8．已知函数，，则在上根的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由题设，对于在上值域为， 1、在上递增，上递减，上递增，上递减；(注意：) 2、，，. 3、由分段函数解析式知：上恒成立，且上递增，上递减，上递增，此时，，(注意：). 对于在上的值域为， 1、在上递减； 2、，. 3、由于，即为偶函数，故在上递增；，. 综上，可得如下图函数图象，在上根等价于在上交点横坐标， ∴由图知：的交点共有5个. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若角A，B，C是的三个内角，则下列结论中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】因为，则， 所以， ，A正确，B错误； 由于， 则，C错误； 由于， 所以，D正确. 故选：AD 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．直线是图象的一条对称轴 C．方程的解集是 D．的单调递增区间为 【答案】AC 【详解】对于的最小正周期为，故A正确； 对于B，因为， 所以直线不是图象的对称轴，故B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 故方程的解集为，故C正确； 对于D，由， 得， 所以的单调递增区间为，故D错误. 故选：AC 11．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ） A．筒车转动的角速度 B．当筒车旋转10秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为0 C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M 和初始点的水平距离为 D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒 【答案】ABD 【详解】A：因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒， 所以，因此A正确； B：因为当时，盛水筒位于点，所以， 所以有，因为，所以， 即， 所以，因此B正确； C：由B可知：盛水筒的纵坐标为，设它的横坐标为， 所以有，因为筒车旋转秒时，所以此时盛水筒在第三象限，故，盛水筒和初始点的水平距离为，因此C错误； D：因为，所以筒车在秒的旋转过程中， 盛水筒第一次到达最高点所需要的时间是，因此D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知三角形内角满足，则 . 【答案】 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以， 所以. 故答案为： 13．已知函数的图象关于直线对称，则在上的值域为 . 【答案】 【详解】由题设，则，又，所以， 所以，若，则，则， 所以在上的值域为. 故答案为： 14．若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 2分 （2）由（1）知. 因为，，且， 4分 所以. 所以的值为. 6分 （3）因为为角终边上一点，所以， 所以，. 8分 ， 11分 原式. 13分 16．（15分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 5 0 (1)求函数的解析式及在上的单调增区间； (2)将函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位，得到函数的图象．若关于的方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围． 【详解】（1）由条件可知，解得：，即， 2分 代入可得， 因为，所以， 即， 5分 当时，， 所以在和上单调递增， 即在和上单调递增． 8分 （2）函数图象上各点横坐标变为原来倍，纵坐标不变，再将图像向左平移个单位， 得， 10分 因为，所以， 因为在上有两个不同的解， 所以函数与在上有两个交点， 12分 所以且， 解得且 15分 17．（15分）已知函数的最小正周期为. (1)求的单调递减区间； (2)先将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求的表达式； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为的最小正周期为， 所以， 所以. 2分 令， 得， 故的单调递减区间为. 4分 （2）的横坐标变为原来的2倍得到， 6分 再将所得图象向左平移个单位长度得到. 8分 （3）令 令，则， 因为， 所以当时，取得最大值， 12分 所以， 解得或， 故实数的取值范围为. 15分 18．（17分）已知函数，． (1)若，求的最小正周期与函数图像的对称中心； (2)若在上是严格增函数，求的取值范围； (3)若方程在上至少存在2022个根，且b－a的最小值不小于2022，求的取值范围． 【详解】（1）由题可得， 所以函数的最小正周期为 ， 2分 由，可得， 所以函数的图像的对称中心 ； 4分 （2）因为在上是严格增函数， 所以， 6分 所以，又， 所以； 8分 （3）因为， 所以，，至少存在2022个根， 11分 所以可得b－a至少包含2021个周期，即， 所以b－a的最小值为，又b－a的最小值不小于2022， 14分 所以， 所以． 17分 19．（17分）深圳半程马拉松是国内知名赛事，已知某选手在“半马”中的心率变化分为“匀速跑心率上升”和“冲刺跑心率波动”两个阶段，具体如下：总运动时长为90分钟，记起跑时刻为（单位：分钟）．当时，为“匀速跑心率上升”阶段，心率从最低心率60次／分钟开始，按振幅为45次／分钟的正弦函数规律逐渐上升，当时达到最高心率150次／分钟；当时，为“冲刺跑心率波动”阶段，心率波动的最小正周期为10分钟，最高心率为180次／分钟，当时，心率为150次／分钟且呈上升趋势．设该选手的心率（单位：次／分钟）关于时间（单位：分钟）的函数为其中，，. (1)求的解析式； (2)已知，，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟，求该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长； 【详解】（1）“匀速跑心率上升”阶段，时为最低心率60次／分钟，时为最高心率150次／分钟，且振幅为45次／分钟，周期为120，且，，解得， 2分 ，，又，， ，． 4分 “冲刺跑心率波动”阶段，，，显然， ，， 6分 又，且当时，心率呈上升趋势，， ，， 综上所述， 8分 （2）“匀速跑心率上升”阶段， 的最大值为150，且“高效燃脂区间”为120-170次／分钟， 只需，即， 10分 ，，，由解得， “匀速跑心率上升”阶段的“高效燃脂区间”内的运动时长约为分钟， 12分 “冲刺跑心率波动”阶段，由（1）可知的最小值为140， 只需，即， 不难知道一个周期内的非“高效燃脂区间”内的运动时长占比为， 一个周期内的“高效燃脂区间”内的运动时长为， 15分 共有3个周期，则有20分钟的“高效燃脂区间”内的运动时长， 综上所述，该选手在“高效燃脂区间”内的运动时长约为43分钟． 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $