数学二模模拟卷01（上海专用）学易金卷：2026年高考第二次模拟考试

■■■ ■■■ ■■■■ 2026年高考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 % 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 2 123 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 1234 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 6 6 5. 正确填涂■ 缺考标记 789 789 56789 456789 45678 6789 6789 123456789 456789 12345678 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6， 题每题4分，第7-12 题每题5分) 艾南 3 5 6 8. 10 11. 12 箭 二、 选择题（本大题共有4题，满分18分，第1314题每题4分，第 1516题每题5分) 9阳 13[A]B][C][D] 14[A][B][CD] 15[A]B][C][D] 16[A][B][C[D] 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本题满分14分) G A B D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本题满分14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(本题满分18分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第二次模拟考试 数学·参考答案 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 1 2.220 3. 4. 5.1025 6. 7.5000 8. 9.（1，＋∞） 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13 14 15 16 A D B A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（14分） 【详解】（1） 取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，，（2分） 因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形，（4分） 所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF；（6分） （2）因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直， 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设， ， 则，，，，所以，，， 设平面DCF的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以点B到平面DCF的距离（14分；注：建系全对，有一个向量错，就直接全扣） 18．（14分） 【详解】（1）因为，所以，（2分） 又因为 所以，，得，（3分） 所以，由余弦定理得，（4分） 又B为三角形内角，（5分） 所以，（6分） （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又，（8分） 因为BD为的中线，所以，，（10分） 所以，，（13分） 所以（14分） 19．（14分） 【详解】（1）由题意，，的概率等于．（3分） 令，则．因此，．（6分） 故净含量误差不小于5g的概率约为0.046． （2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的．（8分；注：发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）． （3）可能的取值为、、、．（9分） 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为．（10分） 故服从二项分布，记， ，，，（12分） 从而的分布列为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此．（14分） 20．（18分） 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，（1分） 则椭圆的焦点坐标为，半焦距，而椭圆过点，（2分） 于是，，，（3分） 所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）①，由（1）知，，设直线：（），， 由，得，（5分） ， 且，（*），（6分） 由与互补，可得直线的斜率满足，（7分） 则， 则，则，（8分） 将（*）代入上式，可得，整理得，而，解得， 所以动直线恒过轴上的定点；（10分） ②由①知，，，且由可得，（12分） 又，（14分） 令，则， 因此，当且仅当时取等号，（17分） 所以面积的最大值为.（18分） 21．（18分） 【详解】（1）当时，，满足条件①；（1分） 对，满足条件②.（2分） 所以是上的次可加函数. 由题意，得.（3分） 由上面的论证过程，可得.（4分） （2）证明：对， （i）若中至少有一个为0，不妨设，则. 由，知，所以；（6分） （ii）若均不为0，则. . 又在上单调递减，所以，（8分） 由不等式的性质，得. 综上，是次可加函数.（10分） （3）当时，因为，所以是增函数，.满足条件①；（11分） ，所以满足条件②.（12分） 综上，是次可加函数. 当时， .（14分） 令，则， 显然在上单调递增，所以当时，， 因为在上是增函数，所以，所以，（16分） 所以当时，. 所以在上单调递增. 所以当时，，所以（18分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，且，则实数的值是 ． 2．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形.（结果用数值表示） 3．某长方体的长、宽、高分别为，，，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 . 4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为 . 5．若函数是偶函数，则 ． 6．若边长为6的等边三角形，是其外接圆上任一点，则的最大值为 7．若数列，则 . 8．已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为 . 9．已知函数，则不等式的解集为 . 10．存在实数使得，则实数的取值范围为 ． 11．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 12．以下五个关于圆锥曲线的命题中： 双曲线与椭圆有相同的焦点； 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 设，为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线； 过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于，两点，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条； 过定圆上一点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 15．在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数，关于原点的中心对称点的组数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， (1)已知G为AF的中点，求证：平面DCF； (2)若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分2分，第3小题满分6分） 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设不过点B的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且与互补为坐标原点. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. (1)判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； (2)设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； (3)判断是否是次可加函数，并证明：当时，. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，且，则实数的值是 ． 【答案】1 【分析】由子集定义分类讨论即可. 【详解】因为，所以，， 当时，无意义，不满足题意； 当时，，满足题意； 当时，，不满足题意. 综上，实数的值1. 故答案为：1 2．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形.（结果用数值表示） 【答案】220 【分析】根据题意，由组合数公式计算总12个点中任选3个的取法，又由任何3点不在同一直线上，分析可得答案． 【详解】根据题意，在12个点中，任取3个，有种取法， 又由平面的12个点中，任何3点不在同一直线上，则可以做220个三角形； 故答案为220． 3．某长方体的长、宽、高分别为，，，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 . 【答案】 【分析】根据题中条件，先求出长方体的体积，再由长方体的体对角线等于其外接球的直径，求出外接球半径，得到外接球体积，即可求出体积之比. 【详解】因为长方体的长、宽、高分别为，，， 所以其体积为； 其外接球直径为，故； 所以其外接球体积为， 因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为. 故答案为 4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为 . 【答案】 【分析】根据题意，确定总的基本事件个数，以及满足“这个数能被3整除”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即为所求概率. 【详解】选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，包含的基本事件个数为； 这个数能被3整除包含的基本事件有：，，，，，共个， 则这个数能被3整除的概率为. 故答案为：. 5．若函数是偶函数，则 ． 【答案】1025 【分析】由函数是偶函数，则，则，结合分段函数的解析式代入运算即可得解. 【详解】解：因为函数是偶函数， 所以， 故答案为1025. 6．若边长为6的等边三角形，是其外接圆上任一点，则的最大值为 【答案】 【分析】计算外接圆半径为，得到（其中为向量与的夹角），计算得到最值. 【详解】边长为6的等边三角形，则外接圆半径为， （其中为向量与的夹角）， 当，即和同向时，有最大值为. 故答案为：. 7．若数列，则 . 【答案】5000 【分析】按奇偶项分组，再利用等差数列的求和公式代入计算即可. 【详解】， 由已知可得， ，所以原式. 故答案为5000. 8．已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简得到，得到，，计算得到答案. 【详解】复数是实数， 所以，得. 所以， 当且仅当，取等号，所以的最小值为. 故答案为： 9．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】（1，＋∞） 【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集. 【详解】因为，所以函数为奇函数， 又，当时，，所以函数在时单调递增； 当时，，所以函数在时单调递增， 所以函数在R时单调递增. 所以不等式化为，所以，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 10．存在实数使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先利用三角函数化简已知，转化为，利用两点间距离公式构造几何意义，求距离差的最大值，再根据存在问题求的取值范围. 【详解】 ， 设，，， 则， 如图， 又，故的最大值为， 因为存在实数使得 所以 即 故答案为： 11．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 12．以下五个关于圆锥曲线的命题中： 双曲线与椭圆有相同的焦点； 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 设，为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线； 过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于，两点，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条； 过定圆上一点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）. 【答案】 【分析】根据双曲线方程和椭圆方程求出双曲线和椭圆的焦点即可判断；求得方程的两根，根据双曲线和椭圆离心率的取值范围即可判断；根据双曲线的定义即可判断；易知直线的斜率存在且不为时，设直线的斜率为，则直线为，代入抛物线消去得，结合韦达定理及，两点的横坐标之和等于，即可判断；设定圆的方程为，其上定点，设，，根据及向量的坐标运算可得，消掉参数，得动点的轨迹为圆，即可判断. 【详解】对于，由方程得双曲线的焦点在轴上，且，， 则，即，故双曲线的焦点为和， 由方程得椭圆的焦点在轴上，，， 则，即，故椭圆的焦点为和，所以双曲线和椭圆有相同的焦点，故正确； 对于，方程的两根分别为和，根据双曲线和椭圆离心率的取值范围可知不能分别作为椭圆和双曲线的离心率，故不正确； 对于，平面内与两个定点，距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示一条射线，故不正确； 对于，过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于，两点， 当直线的斜率不存在时，横坐标之和等于，不合题意，舍去； 当直线的斜率为时，只有一个交点，不合题意，舍去； 设直线的斜率为，则直线为， 代入抛物线得，，则. ，两点的横坐标之和等于，，解得， 这样的直线有且仅有两条，故正确； 对于，设定圆的方程为， 其上定点，设，， 由， 得，消掉参数， 得：，即动点的轨迹为圆，故错误. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求出时，或，从而得到是的充分不必要条件. 【详解】当时，直线的斜率为，的斜率为， 又，所以，充分性成立； 直线，， 若，则有，解得或，必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 15．在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数，关于原点的中心对称点的组数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由于图象关于原点对称后对应解析式是，因此只要研究函数和的图象的交点个数即可． 【详解】由于是奇函数，因此图象关于原点对称后对应解析式是， 由题意的中心对称点的组数就是函数与的图象交点个数（原点除外），作出它们的图象，如图，    ，，而在是是增函数， 它们在上只有一个交点， ∴函数，关于原点的中心对称点的组数为1. 故选：B. 16．在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角的关系，再用角的三角函数表示的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角的三角函数值，再利用角的关系，求. 【详解】因为， 又由余弦定理：，所以， 所以. 由正弦定理得：， 所以或（舍去），故. 因为，所以. 由正弦定理：. 所以. 因为，所以. 设，. 则， 由， 由， 所以在上单调递增，在上递减， 所以当时，有最大值. 即当时，的面积最大. 此时 . 故选：A 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， (1)已知G为AF的中点，求证：平面DCF； (2)若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 【分析】（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离. 【详解】（1） 取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，，（2分） 因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形，（4分） 所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF；（6分） （2）因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直， 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设， ， 则，，，，所以，，， 设平面DCF的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以点B到平面DCF的距离（14分；注：建系全对，有一个向量错，就直接全扣） 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【详解】（1）因为，所以，（2分） 又因为 所以，，得，（3分） 所以，由余弦定理得，（4分） 又B为三角形内角，（5分） 所以，（6分） （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又，（8分） 因为BD为的中线，所以，，（10分） 所以，，（13分） 所以（14分） 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分2分，第3小题满分6分） 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）计算这两包糖果其净含量误差均不小于5g的概率，并用这个概率值的大小下结论； （3）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于．（3分） 令，则．因此，．（6分） 故净含量误差不小于5g的概率约为0.046． （2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的．（8分；注：发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）． （3）可能的取值为、、、．（9分） 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为．（10分） 故服从二项分布，记， ，，，（12分） 从而的分布列为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此．（14分） 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设不过点B的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且与互补为坐标原点. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【分析】（1）求出椭圆的焦点，再利用椭圆的定义求解椭圆的方程. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合计算推理得证；②由①中定点，求出面积的函数关系并借助于基本不等式求面积的最大值. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为，（1分） 则椭圆的焦点坐标为，半焦距，而椭圆过点，（2分） 于是，，，（3分） 所以椭圆的标准方程为.（4分） （2）①，由（1）知，，设直线：（），， 由，得，（5分） ， 且，（*），（6分） 由与互补，可得直线的斜率满足，（7分） 则， 则，则，（8分） 将（*）代入上式，可得，整理得，而，解得， 所以动直线恒过轴上的定点；（10分） ②由①知，，，且由可得，（12分） 又，（14分） 令，则， 因此，当且仅当时取等号，（17分） 所以面积的最大值为.（18分） 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. (1)判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； (2)设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； (3)判断是否是次可加函数，并证明：当时，. 【分析】（1）利用三角函数的和角公式及绝对值性质，结合三角不等式及次可加函数定义即可判断； （2）根据函数在上单调递减及不等式性质可推得，即可证明； （3）先根据题给条件及次可加函数定义得到是次可加函数，利用对数的换底公式化简所求不等式，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性，并求其最小值，则，即可得证. 【详解】（1）当时，，满足条件①；（1分） 对，满足条件②.（2分） 所以是上的次可加函数. 由题意，得.（3分） 由上面的论证过程，可得.（4分） （2）证明：对， （i）若中至少有一个为0，不妨设，则. 由，知，所以；（6分） （ii）若均不为0，则. . 又在上单调递减，所以，（8分） 由不等式的性质，得. 综上，是次可加函数.（10分） （3）当时，因为，所以是增函数，.满足条件①；（11分） ，所以满足条件②.（12分） 综上，是次可加函数. 当时， .（14分） 令，则， 显然在上单调递增，所以当时，， 因为在上是增函数，所以，所以，（16分） 所以当时，. 所以在上单调递增. 所以当时，，所以（18分） / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第二次模拟考试 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（本题满分18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第二次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．已知集合，，且，则实数的值是 ． 2．平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上. 如果任取3点作为顶点作三角形，那么一共可作 个三角形.（结果用数值表示） 3．某长方体的长、宽、高分别为，，，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为 . 4．珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的《数术记遗》•2013年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产.如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”.未记数（或表示零）时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是5515.现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁（其它各珠不动），则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为 . 5．若函数是偶函数，则 ． 6．若边长为6的等边三角形，是其外接圆上任一点，则的最大值为 7．若数列，则 . 8．已知，、，是虚数单位.若复数是实数，则的最小值为 . 9．已知函数，则不等式的解集为 . 10．存在实数使得，则实数的取值范围为 ． 11．已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为 ． 12．以下五个关于圆锥曲线的命题中： 双曲线与椭圆有相同的焦点； 方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； 设，为两个定点，为常数，若，则动点的轨迹为双曲线； 过抛物线的焦点作直线与抛物线相交于，两点，则使它们的横坐标之和等于的直线有且只有两条； 过定圆上一点作圆的动弦，为原点，若，则动点的轨迹为椭圆. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13．已知，则是成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 14．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 15．在直角坐标系中，如果不同的两点都在函数的图象上，那么称为函数的一组关于原点的中心对称点（与看作同一组），函数，关于原点的中心对称点的组数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， (1)已知G为AF的中点，求证：平面DCF； (2)若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分2分，第3小题满分6分） 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的右焦点为，设不过点B的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且与互补为坐标原点. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题6分，第3小题满分8分） 如果函数满足条件：①；②，则称是次可加函数.次可加函数在数学的多个领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､控制理论等. (1)判断是否是次可加函数，并说明理由；若，试判断与的大小关系； (2)设函数，若在上单调递减，证明：是次可加函数； (3)判断是否是次可加函数，并证明：当时，. / 学科网（北京）股份有限公司 $