精品解析：福建省福州外国语学校2026届高三上学期12月适应性训练数学试题

2025-2026学年第一学期高三12月适应性训练 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率，由斜率和倾斜角的关系可得答案. 【详解】解：直线的斜率不存在， 直线的倾斜角为. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的倾斜角，属于基础题. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算和除法运算化简复数，然后根据共轭复数的概念求解即可. 【详解】由题，所以， 所以. 故选：D 3. 某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】表示出表面积后，根据二次函数性质可得. 【详解】大圆柱表面积为 小圆柱侧面积为，上下底面积为 所以加工后物件的表面积为，当时表面积最大. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】已知条件，利用辅助角公式化简可得，利用二倍角公式可求得，再利用诱导公式计算即可求得结果. 【详解】由化简可得：，即，即， 所以， . 故选：D 5. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解． 【详解】当时，，得，解得或（舍去）； 当时，令，则， 所以当时，，在上单调递增； 当时，， 在上单调递减， 所以，即当时，恒成立， 所以当时，不等式无解. 综上，所求不等式的解集为. 故选：A. 7. 已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 4048 D. 4050 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆平分另一圆周长的条件，推导出公共弦必过圆心，从而得到数列项的关系，再通过倒序相加法求出所有项的和. 【详解】由题意联立， 两式相减可得公共弦所在直线方程为，即， 因为圆平分圆的周长， 所以公共弦过圆C的圆心， 圆C的标准方程为，则圆心为， 所以，即， 又的所有项的和为， 则， 两式相加得， 则. 故选：D 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交双曲线左支于点，连结，依题意设，则根据双曲线的性质得，根据双曲线的定义及勾股定理计算可得，进而在中，利用勾股定理得，即可求解渐近线. 【详解】 如图，延长交双曲线左支于点，连结， 由双曲线的对称性及知，设，， 则有，，又， 在中，，即，解得， 又在中，，即， 所以，即，所以， 所以双曲线C的渐近线方程为. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 若事件A与B互斥，且，，则 D. 样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A利用二项分布的方差公式即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用互斥事件的概率公式即可判断，对于D利用平均数和方差的性质即可判断. 【详解】对于A：由，所以，故A错误； 对于B：由，所以数据2，3，4，5，6的第60百分位数是，故B错误； 对于C：事件A与B互斥，且，，所以，故C正确； 对于D：利用平均数和方差的性质有：样本数据，，，的平均数为， 方差为，则，，…，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：CD. 10. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 的图象向右平移个单位长度后得到函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得，，再根据正切函数的性质依次判断各选项即可. 【详解】由题知，，故A选项正确； 由于正切函数取绝对值后不影响函数的周期性， 所以，， 所以，，，即，故C选项错误； 由图可知函数的对称轴方程为，故是函数的对称轴，所以函数的图象关于直线对称，故B选项正确； 的图象向右平移个单位长度后得到函数，故D选项正确. 故选：ABD 11. 正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 点的轨迹是一段圆弧 C. 的最小值为 D. 动点的轨迹长为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，先求出三棱锥底面外接圆半径，因为一条棱垂直于底面，因此可根据底面半径与三棱锥的高，运用勾股定理求解出三棱锥外接球的半径，进而得解；对于B，易证得平面,又因为,可逐步证得，进而确定点就在线段上；对于C，根据的长度易得出点的轨迹是圆的一部分，再运用圆外一点到圆上一点的距离知识求解；对于D，建系后，设出点,求出平面的法向量，与向量垂直，可得到的关系式，进而确定的轨迹是一条线段，再求出其长度即可. 【详解】对于A： 由题可知，点是线段上靠近点的四等分点， 三棱锥底面外接圆的半径， 平面,则三棱锥外接球的半径, 因此三棱锥外接球的表面积.故A选项正确； 对于B： 在正方体中，易证, 又平面,平面. ,平面. 又平面,. 又平面. ,即点的轨迹是线段,不是圆弧.故B选项错误； 对于C：在正方体中，有平面, 平面,. ,计算得, 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆心角为度的圆弧. 由上图易知，=. 因此，当时，最小，此时,故C正确； 对于D： 建立如图所示的空间直角坐标系. 则,设点, , 设平面的法向量为,因此有 ,得,得. 平面,,,因此有： ,化简得：. 因此点的轨迹为一条线段. 当时，,设该点为点,此时点在点位置; 当时，,此时点在点位置. 因此点的轨迹为四边形内的线段 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中四点，，，共面，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量共面基本定理求解. 【详解】因为， 所以，即不共线， 又四点共面， 所以有唯一一组有序实数对，使得, 即， 所以，解得， 故答案为： 13. 已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题可得抛物线方程与圆的圆心半径，由抛物线定义可得点到直线的距离与之和为，然后由图可得四点共线时取最小值. 【详解】圆的圆心为，半径． 如图，由抛物线的定义可得，解得， 可知抛物线的方程为，焦点坐标为，准线为直线， 则点到直线的距离．可得， 当四点共线时，取得最小值， 所以． 故答案为：3. 14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”. 【答案】 【解析】 【分析】根据这5个数至少取集合中3个不同的数字，且为最大的数，为最小的数，按照取自集合中元素个数进行分类，结合排列组合的知识求解即可. 【详解】因，，， 则这5个数至少取集合中3个不同的数字，至多取5个不同的数字， 且为最大的数，为最小的数， ①取3个数：，分别自动选取最大的数和最小的数（以下均采取相同的做法，不再赘述），则取剩下的数，共有种； ②取4个数：共有种； ③取5个数：则从剩下的3个中各自匹配一个数，共有种； 故共有个“九曲正弦数”. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用正方形和梯形的性质证明线面平行，然后再根据线面平行证明面面平行即可； （2）根据题意建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关的向量，然后求出平面的一个法向量，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.   则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 16. 已知数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用两式相减法计算即可求得； （2）由错位相减法计算即可求得，再解不等式即可. 【小问1详解】 由，可得， 当时，有， 两式作差得，所以时，， 时，符合上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减得 ， 所以，随着正整数的增大而增大， 由，得， 时，， 时，， 所以使的最小的正整数n的值为8. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，，求的值； （2）当时，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过正弦定理将边的关系转化为角的关系，求出，再在中用正弦定理求出，最后用二倍角公式计算 （2）利用三角形面积关系得到与、的关系，再结合余弦定理和基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由正弦定理，将化为， 整理得： 因为，所以，即. 由于，，得，则. 设，在中，由正弦定理， 代入、，得：. 因为是角平分线，，由二倍角公式：. 【小问2详解】 因为是角平分线，，. 由面积关系，得： 化简可得：即. 在中，由余弦定理，代入和， 得： 将代入上式： 整理得： 由基本不等式，得， 代入上式： 当且仅当时取等号，故的最小值为. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得切线方程斜率与切线所过点，据此可得答案； （2）分类讨论，两种情况下，的正负性可得单调区间； （3）由题可得，结合单调性，可得，最后由单调性可得答案. 【小问1详解】 若，则，． 又，所以， 故曲线在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 的定义域为，． 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 由，可得， 即， 令，易知单调递增， 由，可得， 则，即． 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 所以，因此的取值范围为． 19. 如图，圆锥的底面半径和高都为2，线段是圆锥底面圆的直径，点是线段的中点，是底面上圆的动点，过作于点，点在圆锥底面形成的曲线为. （1）判断曲线是何种曲线，并求的离心率； （2）在曲线上是否存在异于两点的点，使得平面平面？若存在，求出直线与平面所成角，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）曲线是椭圆，. （2）存在，直线与平面所成角为. 【解析】 【分析】（1）曲线是椭圆.如图建系，可得圆O的方程，设，可得，代入圆O的方程，化简整理，即可得答案. （2）根据条件，分析可得当时，，根据面面垂直的判定定理，即可证明平面平面；设，根据结合椭圆的方程，可求出E点坐标，进而可求出平面的法向量为坐标，根据线面角的向量求法，代数计算，即可得答案. 【小问1详解】 曲线是椭圆. 以为圆心，为轴，过且垂直的直线为轴，建立如图的平面直角坐标系， 可以得到圆的方程为， 设，且，代入圆的方程可得， 其离心率为. 【小问2详解】 由于平面，平面，则. 当时，A、E、O在以C为圆心，半径为1的圆上，所以， 又，平面，此时平面， 又平面，所以平面平面. 设，则， 由，可得，即. 由，得到，解得或（舍去）， 即. 如图，以为轴建立空间直角坐标系，由对称性， 设， 则. 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 设是直线与平面所成角，，则. 故直线与平面所成角为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三12月适应性训练 数学试卷 （满分：150分 时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 不存在 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（ ） A. B. C. 4 D. 5 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 4048 D. 4050 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知分别是双曲线的左、右焦点，点分别在C的左，右两支上，且在x轴上方，若，则C的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的有（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 若事件A与B互斥，且，，则 D. 样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 10. 函数 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 的图象向右平移个单位长度后得到函数 11. 正方体的棱长为2,点在面内（包括边界），若,且满足平面,则（ ） A. 三棱锥的外接球表面积为 B. 点的轨迹是一段圆弧 C. 的最小值为 D. 动点的轨迹长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间中四点，，，共面，则______． 13. 已知抛物线上的一点到焦点的距离为为上一动点，为圆上一动点，则点到直线的距离与之和的最小值为___________. 14. 已知集合.若九位数满足，且，，，如212323212，则称这个九位数为“九曲正弦数”，则共有______个“九曲正弦数”. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 16. 已知数列满足 （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前n项和为，求使的最小的正整数n的值. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点D为线段上的一点，为的平分线，. （1）若，，求的值； （2）当时，求的最小值. 18. 已知函数． （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若，恒成立，求的取值范围． 19. 如图，圆锥的底面半径和高都为2，线段是圆锥底面圆的直径，点是线段的中点，是底面上圆的动点，过作于点，点在圆锥底面形成的曲线为. （1）判断曲线是何种曲线，并求的离心率； （2）在曲线上是否存在异于两点的点，使得平面平面？若存在，求出直线与平面所成角，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $