1.7.1 正切函数的定义课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第一章 三角函数 互动设计 1.7.1 正切函数的定义 互动设计课程 1 学 习 目 标 理解正切函数的定义，掌握 tanα==（x≠0）。。。 返回主页 1 理解正切函数的定义，掌握 tanα=（x≠0） 掌握正切函数的定义域：{α∣α≠+kπ,k∈Z} 能利用定义求任意角的正切值，特别是特殊角的正切值理解正切线的概念，能用正切线表示正切函数值 2 经历从锐角三角函数到任意角三角函数的推广过程，体会类比思想 通过单位圆认识正切线，培养数形结合能力 情 境 引 入 【情境一：生活实例】 返回主页 【情境二：数学内部联系】 【情境三：历史背景】 【情境一：生活实例】 坡度问题：如图，某山坡的倾斜角为 α，若某人沿山坡向上行走 100 米，水平前进 80 米，则： 山坡的坡度（坡比）是多少？ 坡度与倾斜角 α 有什么关系？ 分析：设上升高度为 ，则 米 坡度 而 100 80 α 思考：当倾斜角 时，坡度存在吗？这说明了什么？ 【情境二：数学内部联系】 复习回顾： 已学：，（） 思考： 这正是初中所学的 对边比邻边！ 问题：这个比值 能否作为任意角三角函数的定义？有什么限制条件？ 【情境三：历史背景】 正切（tangent）一词源于阿拉伯语，原意是”阴影的长度”。古代天文学家测量太阳高度角时，发现影长与竿高的比值恰好是倾斜角的正切值。 互 动 设 计 【活动1：探究定义域】 返回主页 【活动2：特殊角计算】 【活动3：正切线作图】 【活动1：探究定义域】 任务：在平面直角坐标系中，角 的终边与单位圆交于点 。 讨论问题： 正切 中，对 有什么要求？ 2. 当 时，角 的终边在什么位置？ 3. 满足 的角 如何用集合表示？ 小组汇报： ，即终边不能在 轴上 终边在 轴上时，（） 定义域： 且 【活动2：特殊角计算】 填表竞赛：计算特殊角的正切值 角度 0                 思考： 为什么不存在？ 【活动3：正切线作图】 操作步骤： 画单位圆，作角 的终边，交单位圆于点 2. 过点 作单位圆的切线（即直线 ） 3. 延长（或反向延长）终边 ，交切线于点 4. 有向线段 就是角 的 正切线 验证：证明 探 求 新 知 1. 正切函数的定义 返回主页 2. 定义域的确定 3. 特殊角的正切值 4. 与正弦、余弦的关系基本关系式： 1. 正切函数的定义 定义：设角 是一个任意角， 且 （），角 的终边与单位圆交于点 ，则 等价定义： 2. 定义域的确定 关键：分母 条件 几何意义 角的集合 终边在 轴上 定义域： 或用区间表示： 3. 特殊角的正切值 0 0 1 不存在 -1 0 记忆口诀：一三正，二四负； 为 1，角度变大值变大（在 内） 4. 与正弦、余弦的关系基本关系式： 商数关系： 典 例 铺 路 【类型一：求定义域】 【类型二：求值与化简】 【类型三：符号判断】 【类型四：综合应用】 【类型一：求定义域】 例1 求下列函数的定义域： （1） （2） 解： （1）由 ，得 （） ∴ 定义域为 （2）需满足 即 （） ∴ 定义域为 【类型二：求值与化简】 例2 已知角 的终边过点 ，求 。 解： 例3 化简：（ 为第二象限角） 解：∵ 为第二象限角，∴ 原式 【类型三：符号判断】 例4 若 且 ，则角 是第______象限角。 解： - → 在第一或第三象限 – → 在第三或第四象限 取交集：第三象限 【类型四：综合应用】 例5 已知 ，求： （1） （2） 解： （1）分子分母同除以 （）： （2） 随 堂 演 练 返回主页 【基础训练】 1. （ ） A. 1 B. -1 C. D. 答案：A 解析：，终边在第三象限， 【基础训练】 2. 函数 的定义域为______。 答案： 解析：由 ，解得 ,𝒌∈ℤ 【基础训练】 3. 已知角 α 终边上一点 P(2,-3)，则 tanα=______。 答案： 【能力提升】 4. 若 tanα=，且 π<α<，则 α=______。 解析： 时，参考角为 ；又在第三象限，故 随 堂 检 测 返回主页 【选择题】 1. 的值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中正确的是（ ） A. tan B. tan0=1 C. tan =1 D. tanπ=1 3. 若 ，，则 （ ） A. B. C. D. 4. 函数 的定义域是（ ） A. （） B. （） C. D. 【填空题】（每题5分） 5. 比较大小： ______ （填”>“或”<“） 6. 已知 ，且 ，则 ______。 【解答题】（10分） 7.（10分）已知角 的终边过点 （），求 、、 的值。 一、选择题 1. B（奇函数性质：） 2. C（A 不存在，B 应为 0，D 应为 0） 3. A（） 4. A（需 且 ，即 ） 二、填空题 5. >（，，前者正后者负） 6. （由 且 在第二象限，设 ，则 ，） 7. 解： ，则 当 时，： 当 时，： 综上：，， 课 堂 小 结 1. 知识小结 返回主页 2. 方法小结 1 2 3 4 认真领会 1. 知识小结 正切函数 tan α │ ├── 定义：tan α = = sin α/cos α (cos α ≠ 0) │ ├── 定义域：α ≠ + kπ, k∈Z │ ├── 特殊角值：0, ±, ±1, ±, 不存在... │ └── 几何意义：正切线 AT（单位圆切线） 48 2. 方法小结 项目 内容 注意 定义 或 分母不为零 定义域 全体实数除去 终边不能在 y 轴 符号 一、三正；二、四负 与正余弦同号规律 特殊值 ， 不存在 $