精品解析：河南开封市第二十七中学等校2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期末调研检测 九年级数学试卷 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、C、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 2. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解的性质，是解题的关键． 根据方程解的定义把代入方程求解，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， 解得． 故选：A． 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程配方法的解题步骤，准确计算是解题的关键． 通过配方法，将方程转化为完全平方式的形式即可． 【详解】， ， ， ． 故选． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，一定有50次正面向上 B. “367人中至少有2人生日相同”是必然事件 C. 通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 D. “垂直于弦的直径平分这条弦”是不确定事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了游戏的公平性，事件的分类．利用随机事件、必然事件的定义判断选项A、B、D，根据概率相等判断游戏规则的公平性来分析选项C，即可作答． 【详解】解：A、任意掷质地均匀的硬币，每次正面向上是随机事件，100次不一定有50次正面向上，故该选项不符合题意； B、一年最多366天，367人中必然至少有2人生日相同，367人中至少有2人生日相同是必然事件，故该选项符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上和反面向上的概率均为，该比赛规则公平，故该选项不符合题意； D、垂直于弦的直径平分这条弦是垂径定理，是必然成立的确定事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，半圆（直径）所对的圆周角是直角，根据直径所对的圆周角是直角可得，然后求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比列式解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， 故选：C． 7. 在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据k>0判断出反比例函数的增减性，再根据其坐标特点解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵B（x2，y2），C（x3，y3）是双曲线上的两点，且， ∴点B、C在第一象限，0＜y3＜y2， ∵A（x1，y1）在第三象限， ∵y1＜0， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，理解基本性质是解题关键． 8. 在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是了解利润=销售量x单位利润， 根据利润=单台利润×销售数量，设定价为元，单台利润为元．原售价2900元时每天售出8台，每降价50元多售4台．当售价为元时，降价元，相当于降价个50元，因此销量增加台，总销量为．由此列方程即可． 【详解】解：设定价为元，则单台利润为元． 售价降低元，对应降价次数为次，销量增加台，总销量为． 总利润方程为： 故选：B． 9. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与的函数解析式是 B. 当时， C. 随的增大而增大 D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动， ∴点Q运动到点C的时间为4÷2=2秒． 由题意得，当0≤t≤2时，即点P在AB上，点Q在BC上，AP=t，BQ=2t， ，为开口向上的抛物线的一部分． 当2＜t≤4时，即点P在AB上，点Q在DC上，AP=t，AP上的高为4， ，为直线（一次函数）的一部分． 观察所给图象，符合条件的为选项D．故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 12. 如图所示，已知，将绕点C按逆时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为_________． 【答案】52 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性． 根据旋转得到，，然后由等边对等角得到，再由三角形内角和定理即可求解旋转角度数． 【详解】解：绕点C按逆时针方向旋转后得到， 旋转角的大小为的度数，， ． ， ， ， ， ， 旋转角的大小为． 故答案为：52． 13. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据频率估计概率的原理，通过分析发芽频率数据的稳定趋势，估计概率值． 本题考查了频率估计概率，熟练掌握计算方法是解题的关键． 【详解】解：从试验数据可知，随着每批粒数的增加，发芽频率逐渐稳定在附近，当每批粒数为4000时，频率为，精确到即为， 因此该油菜籽种子发芽的概率估计为． 故答案为：． 14. 如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为_______． 【答案】8米## 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键． 根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，FD的长是______． 【答案】或 【解析】 【分析】分∠DA'F= 90°和∠A'FD= 90°两种情况，再根据折叠的性质加以分析即可； 【详解】在矩形ABCD中，，， ∵将沿EF所在直线翻折，得到， ∴ 如图①所示，当∠DA'F= 90°时， ∴. E，A'，D在同一直线上， ∵点E是AB的中点， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴ ∴，即 ∴ 如图②所示，当∠A'FD= 90° ∴， ∵折叠 ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述：或； 故答案为：或 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①200； ②补全的条形统计图如图所示： ③54 （2）1120 （3） 【解析】 【分析】（1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；③用乘以 组人数所占比例即可； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解 【小问1详解】 解：（1）①； ② 组人数， ③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种， 因此，（恰好抽中甲、乙两人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 18. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并求出旋转过程中点经过的路径长． 【答案】（1） 如图所示： ； （2）如图所示， 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，点的坐标，作中心对称图形，旋转作图，求弧长，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称图形的性质，画出，再读取，即可作答． （2）先结合旋转的性质，得，再求出，最后根据弧长公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 依题意，点经过的路径长． 19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． （3）结合图象直接写出中的取值范围． 【答案】（1）， （2）15 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数，一次函数的解析式，反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据的面积为4．得出，又因为反比例函数图象在第二、四象限，得出，再分别求出，，最后代入，求解出，即可作答． （2）先求出，再分别把数值代入的面积计算，即可作答． （3）运用数形结合思想，得出符合题意的的取值范围，即可作答． 【小问1详解】 解：∵过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． ∴ ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴； ∴； ∵，的面积为4． ∴ 解得， 即， 把代入，得， 解得， ∴； 把和代入， 得 解得 ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 由（1）得，，， 令则， 解得， 则 ∴， 则的面积 ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点， 则当时，或， 即结合图象当时的取值范围为或， 20. 如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1） 证明：连接， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角性质，等边对等角，平行线的判定和性质，勾股定理，切线的判定．熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）连接，因为点是的中点，所以．又因为，所以．因为，所以，可通过角度关系证明，从而证明是的切线． （2）设半径为，根据勾股定理，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设半径为， 在中，，，， 根据勾股定理可得， 解得， ． 21. 如图，正方形的边长是，是的中点，点在射线上，过点作，垂足是点． （1）求证：； （2）当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：∵正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行论证； （2）分情况讨论不同对应关系下的相似即可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵正方形中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上：当或时，以为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理，关键是相似三角形的判定的应用． 22. 二次函数的图象经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 【答案】（1），顶点G的坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数图象的平移，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及平移规律． （1）利用待定系数法求解析式，将二次函数一般式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）根据平移规律可得新抛物线解析式为，根据对称轴与区间范围的中轴线之间的关系讨论即可． 【小问1详解】 解：将，代入， 则， 解得， ， ， 当时，取最小值，最小值为， 顶点G的坐标为． 【小问2详解】 解：根据平移规律可得新抛物线解析式为：， ∴对称轴为直线，最小值为， ， ， 新函数的最小值是， ∴，即， ∴当时，y取最小值是，代入解析式得：， 解得：（舍去），， 综上可知，． 23. 如图1，在中，，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． 初步探究： （1）如图1，线段的数量关系是____________，位置关系是_____________；若，则的长为_______________； 拓展延伸： （2）如图2，在中，，为外一点，且，线段之间满足怎样的等量关系，请证明你的结论； 综合运用： （3）如图3，已知是的直径，点是上的点，且，请直接写出线段之间满足的等量关系． 【答案】（1），，； （2）， 理由：如图，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，， ，， ， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转性质得到，，进而推出，结合证明（），得到及；再由等腰直角三角形的角度关系，推出，，最后在中用勾股定理求． （2）同样将线段绕点逆时针旋转得到，先证（）得；在等腰直角中得到，结合推出，最后在中用勾股定理建立、、的关系． （3）过点作交的延长线于，由得；利用直径所对圆周角为直角，得到，再证（）得，最后在等腰直角中用勾股定理得到、、的关系． 【详解】（1）由旋转得，， ， ， ， ，， 在中，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， 故答案为：，，； （2）略 （）结论：． 如图，过点作交的延长线于，连接，， 则有， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握旋转构造全等三角形和勾股定理的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期末调研检测 九年级数学试卷 满分120分，考试时间100分钟 一、选择题（每小题3分，共30分，下列各题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. AI智能软件已深度融入现代生活，显著提升了社会效能和生活便捷度．下列四个AI智能软件图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是一元二次方程的一个根，则a的值为（ ） A. 9 B. 10 C. D. 11 3. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 任意掷一枚质地均匀的硬币100次，一定有50次正面向上 B. “367人中至少有2人生日相同”是必然事件 C. 通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁先发球的比赛规则是不公平的 D. “垂直于弦的直径平分这条弦”是不确定事件 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知直线，直线，与直线，，分别相交于点，，，，，，且，，，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 在反比例函数（为常数）上有三点，，，若，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 在2020年元旦期间，某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，调查发现：当销售价为2900元时，平均每天能销售出8台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价应为多少元？设每台冰箱定价元，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（ ） A. 与的函数解析式是 B. 当时， C. 随的增大而增大 D. 当时，的取值范围是 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系的图象是（） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 12. 如图所示，已知，将绕点C按逆时针方向旋转后得到，此时点D在边上，则旋转角的大小为_________． 13. 从某油菜籽种子在相同条件下发芽试验的结果如下： 每批粒数 100 400 800 1000 2000 4000 发芽的频数 85 298 652 793 1604 3204 发芽的频率 根据以上数据可以估计，该油菜籽种子发芽的概率为______．（精确到） 14. 如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为_______． 15. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到，连接，则当是直角三角形时，FD的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1） （2） 17. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 18. 如图，三个顶点坐标分别为． （1）请画出关于原点成中心对称的图形，并写出点的坐标； （2）请画出绕点逆时针旋转后的，并求出旋转过程中点经过的路径长． 19. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4． （1）分别求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）求的面积． （3）结合图象直接写出中的取值范围． 20. 如图，是的直径，点是延长线上的一点，点在上，，交的延长线于点，交于点，且点是的中点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 21. 如图，正方形的边长是，是的中点，点在射线上，过点作，垂足是点． （1）求证：； （2）当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 22. 二次函数的图象经过，两点，顶点为． （1）求二次函数的表达式和顶点的坐标． （2）如图1，将二次函数的图象沿轴方向向左平移个单位长度得到一个新函数的图象，当时，新函数的最小值是，求的值． 23. 如图1，在中，，为边上一点（不与点重合），将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接． 初步探究： （1）如图1，线段的数量关系是____________，位置关系是_____________；若，则的长为_______________； 拓展延伸： （2）如图2，在中，，为外一点，且，线段之间满足怎样的等量关系，请证明你的结论； 综合运用： （3）如图3，已知是的直径，点是上的点，且，请直接写出线段之间满足的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $